直線運動相遇和追及問題的模型構建與探究お

鄭行軍

相遇和追及問題是指兩物體能否在同一時刻到達空間的同一位置，此問題有兩個關鍵點：一是同時；二是同一位置.解決此類問題時，首先對兩物體的運動情況分別進行研究，然后列出兩物體的位移方程；再利用時間關系、位移關系、速度關系來建立兩物體的運動關系的橋梁，最終找出相遇和追及問題的條件或特點，所以解決此類問題的關鍵在于尋找兩物體運動的時間、位移和速度關系.

1 模型構建

1.1 軌跡模型的構建

同一直線上的相遇和追及問題常見情況：相向運動模型、同向運動-同時同地模型、同向運動-同時不同地模型、同向運動-同地不同時模型，四種模型的位移和時間關系如下：

1.2 問題模型的構建及分析

【模1】 涉及相遇時的物理量分析：

分析思路：①根據題目條件畫出物體運動的軌跡，利用軌跡圖找出物體運動的位移關系和時間關系.②分析物體運動的規律，選擇適當的運動公式利用位移關系和時間關系求解，可先求時間后求其它物理量.

【模2】 涉及相距最近（遠）的物理量分析：

處理方法：函數法、圖象法、結論法.

分析思路：

①利用兩物體末速度相等求兩物體運動的時間.

②求出在運動時間內兩物體運動的位移.

③根據條件畫出兩物體運動的軌跡，利用軌跡圖找出兩物體的最近（遠）距離關系.

【模3】 涉及恰好不相撞問題的物理量分析：

問題特征：恰好不相撞問題應同時滿足以下關系：（1）末時刻兩物體相遇，應存在位移關系和時間關系；（2）末時刻兩物體速度相等.

分析思路：

①利用末速度相等求出兩物體運動的時間.

②求出在運動時間內兩物體運動的位移.

③根據條件畫出兩物體運動的軌跡，利用軌跡圖求出臨界狀態下的待求量.

【模4】 涉及前物做不可逆勻減速直線運動的物理量分析：

問題特征：后物在與前物相遇前可能存在前物已處于靜止.

分析思路：

①假設前物做勻減速的末速度為零，求出前物減速至零所需的時間.

②求出前物減速至零時，兩物體運動的位移.

③根據位移畫出兩物體運動的軌跡，根據軌跡圖判斷前物減速零時，后物是否已和前物相遇.

【模5】 涉及物體運動最大速度的物理量分析：

問題特征：兩物體在相遇前，物體的速度可能已達到最大值.

分析思路：

①假設兩物體在相遇前，物體一直做勻加速直線運動.

②分析題目條件畫出物體運動的軌跡，利用軌跡圖尋找兩物體運動的位移關系和時間關系.

③分析物體運動的規律，選擇適當的運動學公式利用位移關系和時間關系求解，判斷物體的末度是否超越最大值.

2 模型應用及分析

例1 同向運動的甲、乙兩質點在某時刻恰好同時通過同一個路標，以此時為計時零點，此后甲質點的速度隨時間的變化關系為v=4t+12，乙質點位移隨時間的變化關系為x=2t+4t2，以上各式均使用國際單位.（1）甲質點的位置-時間表達式；（2）兩質點何時再次相遇；（3）兩質點相遇之前何時相距最遠.

解析 本題由題目條件可知應為同向運動的同地同時模型，相遇軌跡如圖6所示：

通過對以上不同類型的相遇和追及問題的題目分析，采用模型化構建的探究模式優點在于：

（1）五類軌跡模型的構建抓住了相遇和追及問題的軌跡特點，使得在分析不同表象的題目時，都能有一個清晰的軌跡模型，從而簡化了題目的解題思路，提高了解題的效率，實現了化繁為簡的目的.

（2）問題模型的構建挖掘了模型中可能存在隱含知識，抓住了問題的本質和相應的分析思路，提高了解題的應變能力.

（3）軌跡模型和問題模型的構建完善了相遇和追及問題的知識體系，通過對兩種模型合理組合，活化的知識結構，觸發了聯想性思維的有效遷移.