一類具有時滯的非線性SIRS傳染病模型的分析

石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石　435002)

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一類具有時滯的非線性SIRS傳染病模型的分析

石棟梁,李必文,龔純浩,黃華英

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石435002)

摘要：研究了一個具有時滯的非線性 SIRS傳染病模型，首先確定模型的基本再生數，并利用線性化，Hurwitz 定理和漸進穩定判定理分析了無病平衡點的穩定性，然后運用時滯微分方程的穩定性理論對正平衡點的局部穩定性進行討論，從而推斷出達到相應平衡狀態的充分條件。結果表明在傳播過程中引入時滯會破壞系統的穩定，當時滯作為分支參數時周期解也會產生Hopf 分支。6

關鍵詞：SIRS模型；時滯；非線性發生率；穩定性

在流行病學上，用數學模型深入探索傳染病的傳播已然經過了一個多世紀。 Anderson和May總結了傳染病的演化和基本模型理論.眾所周知，傳染病的傳播過程涉及到很多相關因素，比如致病源、傳染方式、潛伏期、感染期、易感染期和免疫期.近幾十年已經產生了各種各樣的傳染病模型，比如具有或者不具有時滯的 SIR,SIS,SEIR模型[1～4]。

近年來自從發現時滯能改變系統的定性行為時滯模型被廣泛關注，比如它能破壞系統的穩定和最終導致 Hopf分支的周期解[1～6].因此，本文考察的是時滯對于一個具有非線性SIRS傳染率傳染病模型的動力學行為。

本文在文獻[7]的建模思想基礎之上，建立了一類具有時滯的非線性SIRS傳染病模型，確定了模型的基本再生數，并討論了模型的無病平衡點和正平衡點的穩定性。

1不帶時滯的SIRS模型

S(t)表示易感者的數量，I(t)表示感染者的數量，R(t) 表示恢復者的數量。假設非線性傳染率是βSI/(1+αI) ，其中βI是感染力和 1/(1+αI) 是當感染者數目增加或者感染者擁擠時控制易感者行為變化的抑制力，當α=0時，傳染率就是雙線性傳染率βSI.那么在這種假設情況下，具有非線性傳染率的SIR模型如下：

(1)

這里 Λ表示種群的常數輸入率； β是單位時間內感染者適度接觸的平均數；假設自然死亡率是常數 μ； γ是感染者的恢復率以及 α是抑制率； p表示染病者得生育能力，其取值范圍為 0≤p≤1； q表示染病者所生的新生兒中為然病者得比例，其取值范圍為 0≤q≤1.后面的研究中帶有時滯 τ，其表示為疾病的感染期；模型(1)中的所有相關參數和狀態變量都是非負數。從生物學的角度考慮，我們可以得到系統(1)的可行域

1.1模型分析

1.1.1無病平衡點正平衡點和基本再生數

當IE=0時，是系統(1)的一個非負平衡點。

從而得到：

S*=

將S*代入I*的表達式中得到：

i) 當R0< 1時，I*< 0不滿足染病者必是非負數，系統(1)只存在無病平衡點E1=(Λ/μ,0,0);

ii) 當R0=1時，I*=0系統(1)只存在無病平衡點E1=(Λ/μ,0,0)；

iii) 當R0>1時，I*>0 系統(1)有兩個平衡點，分別為無病平衡點E1=(Λ/μ,0,0)；地方病平衡點E2=(S*,I*,R*).

1.1.2正平衡點的穩定性分析

定理2當Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ< 1,D>αμR0(μ+η)時，正平衡點E2是局部漸進穩定的。

通過計算可以得到：

其中：D= μγηR0-βΛ(μ+η)-qpμ2R0(μ+η).

那么系統(1)在E2=(S*,I*,R*) 處的Jacobian 矩陣為：

(2)

由 Routh-Hurwitz定理[8]，(2)所以根有負實部。因此當Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η) 時，正平衡點E2是局部漸進穩定的。

定理3當Λ>1,D<αμR0(μ+η)或者Λ<1,D>αμR0(μ+η)時，正平衡點E2是局部漸進穩定的。

2帶時滯的SIRS模型

引入時滯反映模型的動力學行為是更合理的[9].事實上，時滯的引入使流行病數學模型更切合實際，說明了疾病潛伏期或者免疫期的作用.本文假設個體從易感者到感染者的流動受制于時滯.因此(2)引入時滯如下：

(3)

τ>0表示疾病的潛伏期，其他狀態變量和參數與系統(2)保持一致.系統(3)的初始條件是

S(θ)=?1(θ)>0,E(0)=E10≥0,I(θ)=?2(θ)≥0,(-τ≤θ≤0)

(4)

利用泛函微分方程的基本理論[10],系統(3)有滿足初始條件(4)的唯一解 .(詳見文獻[11]系統(3)滿足初始條件(4)的所有解都定義在 [0，∞)上，并且當t≥0時所有解是正數.

2.1正平衡點的穩定性

引理1令P(z)=b0zm+b1zm-1+…+bmQ(z)=c0zn+c1zn-1+…+cn

其中b0≠0,c0≠0,n

引理2當τ≥ 0時如果滿足Pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0, 那么方程λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0的所有根不具有正實部。

不失一般性地，令此方程的一個根是λ=iω(ω>0)當且僅當

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實部和虛部，得到

將兩個等式平方再相加，得

(5)

令z=ω2,方程(6)變成一個關于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(6)

根據文[5]的引理3.3.1和文[6]的引理2.2得到以下引理.

引理3如果方程(6)

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么方程(6)沒有正實數解.

ii)如下條件之一成立

那么方程(6)有正實數解.

引理4一個三次超越方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(7)

滿足pi>0,i=1,2,3,p1p2-p3>0，就有以下結論：

i)如下條件之一成立

a)r≥0,p≥0,q>0;b)r≥0,△=p2-3q≤0;

那么?τ≥ 0，方程(7)的所有根都有負實部.

ii)如下條件之一成立

那么對某些可能值τ，方程(7)的所有根有負實部.

下部分將直接引用這個引理確定一個三次超越多項式方程的所有根都有負實部的充分條件.另外，由定義1和引理4可知，以下引理給出兩種類型的穩定.

引理5平衡點的穩定性

2.2正平衡點E2的穩定性

在E2處的特征方程是一個三次超越多項式方程

λ3+p1λ2+p2λ+p3+(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ=0

(8)

q1=B-Aq2=(2μ+η)B-(d+2μ+γ+η)A

q3=μ(μ+η)B-(γη-(μ+γ)(d+μ+γ))A

當τ=0時(8)等價于(2).因此根據定理2，當τ=0時E2是局部漸近穩定的.

令(8)的根是λ=iω(ω>0)當且僅當

-ω3i-p1ω2+p2iω+p3+(-q1ω2+q2iω+q3)(cosωτ-isinωτ)=0

分離根的實部和虛部，得到

(9)

將兩個等式平方再相加，得

(10)

令z=ω2，方程(10)變成一個關于z的三次等式

f(z)=z3+pz2+qz+r=0

(11)

+AB(2μ(d+r)+5μ(μ+η)+2η(η+r))+B2((d+μ+r)2+(μ+η)2+2γη)

下面討論兩種情況：

μ2>(η+μ)2,B>A時，p>0,q>0,r≥0則有pi>0,i=1,2,3

因此，由引理4(a)可知，對 ?τ≥0，(8)的所有根都有負實部.再根據引理5(i)得到以下定理

定理4如果

那么 ,?τ≥0，時滯模型的正平衡點E2是絕對穩定的.

時，r<0.由引理3(c)可知,(11)有正實根，即特征方程(8)有一對型如λ=±iω的純虛根.

把ω=ω0代入(9)解出τ，我們可以得到相應的τk>0,k=0,1,2,…使得

其中pi,qi,i=1,2,3.根據引理4(c),當τ∈[0,τ0)時(8)的所有根都具有負實部.于是，由引理5(ii)可推斷出以下定理：

為了分析分支情況，時滯作為時滯參數。令

λ(τ)=α(τ)+iω(τ),ω>0

反證法，假設 λ(τ0)=iω0不是(8)的一個單根，(8)關于τ 求導

(12)

方程(12)變成

λ(q1λ2+q2λ+q3)e-λτ0=0

(13)

把 λ=iω0代入(13),得到

(14)

把ω=ω0,τ=τ0代入(9)得

(15)

由此，我們可以推出

(16)

綜上所述，當 τ從小于 τ0微小地增加到大于τ0時特征方程(11)的根從左到右橫截穿過虛軸。因此，在τ=τ0時滿足Hopf分支[12]產生的條件.

根據以上定理4和定理5可以獲得以下定理.

定理6如果

那么?τ≥0， 時滯模型的正平衡點E2是絕對穩定的。如果

那么時滯模型(3)的正平衡點E2是條件穩定的，即當τ∈[0,τ0)時E2是漸近穩定的。系統(3)在τ=τ0處產生Hopf分支。

參考文獻：

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doi:10.3969/j.issn.1009-2714.2016.01.016

中圖分類號：O193

文獻標識碼：A

文章編號：1009-2714(2016)01- 0083- 07

作者簡介：石棟梁(1987—)，男，湖北陽新人，碩士研究生，主要研究方向為微分方程與控制論.

收稿日期：2015—09—02