滲流理論在多個染病階段的疾病傳播中的應用

霍婭鮮，靳　禎

(1.中北大學理學院，山西太原　030051；2.山西大學復雜系統研究所, 山西太原　030006)

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滲流理論在多個染病階段的疾病傳播中的應用

霍婭鮮1，靳禎2

(1.中北大學理學院，山西太原030051；2.山西大學復雜系統研究所, 山西太原030006)

摘要：為了研究具有多染病期的疾病在人群中傳播所形成的疾病爆發情況，將疾病傳播網絡研究和生成函數理論與滲流原理結合起來，使得網絡的拓撲結構更加清晰和便捷。把染病期分為n個階段：I1，I2，…，In，得出了由一個染病節點開始在網絡中傳播所引起的疾病的爆發閾值、爆發規模、疾病爆發時染病節點的平均度、未染病節點的平均度等的計算方法。

關鍵詞：應用數學；生成函數；滲流原理；染病階段；爆發閾值；爆發規模

隨著科學技術的發展，科研工作者對網絡的研究所涉及的不僅有社會網絡[1-3]、技術網絡[4-5]、合作網絡，還有生物網絡[6-7]，并且從中獲得了一系列細節方面的計算、檢查和模擬，許多研究者已經把這些理論應用到了疾病傳播方面[8-14]。

許多疾病是通過人與人之間的接觸在人群中傳播的。當染病者和易感者接觸時，疾病會從染病者傳向易感者，這種引起疾病傳播的接觸形式就形成了一個網絡。假設網絡中每個節點代表1個人，2個人有接觸就在這2個節點之間連邊。連接在1個節點的邊數叫做節點的度。假設網絡中任意1個節點度為k的概率為Pk，可以通過設置網絡的概率密度函數Pk來得到一個網絡。

把每個個體的狀態分為易感者S，染病者I,所處的不同染病階段記為I1，I2，…，In，恢復者R。 易感者S是指沒有染病，但易被染病者傳染的個體；染病者I指已經染病且具有傳染能力的個體；I1，I2，…，In指染病者I所處于染病期的不同階段，在不同的染病階段染病者I具有不同的傳染能力；恢復者R指染過病，但已經痊愈的個體，這樣的個體具有免疫能力不會再被感染。把染病者I所處的階段分為n個階段是有意義的，因為在有些疾病中，有的染病階段染病者具有高傳染性，有的染病階段染病者具有低傳染性。所以把染病期假設為n個階段更精確，也更加符合實際情況。

?

以上的分析是在時間連續的情況下進行的。而在有些情況下，需要指定一段時間長為單位1，這樣時間就可以看成是離散的。在時間離散的情況下，不取極限，而是簡單地令δt=1[15]， 此時有：

?

(1)

(2)

?

(3)

對于時間離散的情況，有[15]：

(4)

(5)

?

(6)

在下面的分析中，直接用每一階段的平均傳染率T1,T2,…,Tn。

1生成函數

依據有邊占用概率T1，T2，…，Tn的邊滲流原理進行分析，由一個染病節點開始在網絡中傳播所形成的疾病爆發情況，使得網絡研究更加清晰便捷。采用生成函數的方法來解決[16-17]。 參照NEWMAN 等[18]的定義，對關于度分布的生成函數定義如下：

(7)

若Pk被正規化，則當x為1時，有G0(1)為1。在下面的討論中，都假設Pk被正規化。

這個函數包含了關于度分布的所有信息。給了這個生成函數，就能夠計算出任意一個節點度為k的概率[18]：

(8)

生成函數具有以下性質：

1)冪： 如果已知網絡中所有節點度分布的生成函數G0(x)，那么如果任選m個節點，關于這m個節點度的和的分布可由[G0(x)]m得到[18]。

比如，要計算網絡中任選2個節點度的和為3的概率，則可以先計算[G0(x)]2。

[G0(x)]2= [∑kPkxk]2=∑j,kPjPkxj+k=

P0P0x0+(P0P1+P1P0)x1+

(P0P2+P1P1+P2P0)x2+(P0P3+P1P2+P2P1+P3P0)x3+…。

那么網絡中任選2個節點度的和為3的概率為式中x3的系數。對于生成函數的更高次冪也符合上面的性質[18]。

2)矩： 由一個生成函數生成的網絡中節點度的平均值是由這個生成函數的一階導數在自變量為1時計算出的[18]。例如，一個節點的平均度是：

(9)

分布的高階矩也能夠通過高階導數計算出來[18]，即：

設G1(x)是隨機選擇一條邊到達的節點的余度分布的生成函數。余度指除選的那條邊以外的邊的數目，即度減去1。根據NEWMAN等[18]的描述，有以下結論：

(10)

且

(11)

這里z是節點的平均度。

利用滲流原理來研究網絡中由一個染病節點開始引起的疾病傳播，把疾病(病原體)通過的邊做標記或者說它被“占用”。那么疾病的最終爆發規模正是那些通過占用邊到達的節點的巨連通片的大小[15]。

為了建立網絡中的疾病傳播和物理中滲流理論之間的關系，當邊中有病原體在傳播時，可對邊做標記或者說它被“占用”[15]。 那么對于一個度為k的節點，它有m條邊被占用的概率如下：

因此m的概率分布的生成函數(即m的概率母函數)是[15，19]:

G0(x;T1,T2,…,Tn)= ∑∞k=0Pk∑km=0km?è???÷∑mm1=0mm1?è???÷Tm11∑m-m1m2=0m-m1 m2?è???÷Tm22?è?…

(1-T1-T2-…-Tn)k-mxm=

G0(1+(x-1)T1+(x-1)T2+…+(x-1)Tn),

(12)

同理，隨機選擇一條邊，通過跟隨這條邊到達的節點的其余的邊中有m條邊被占用的概率是：

G1(x;T1,T2,…,Tn)=G1(1+(x-1)T1+(x-1)T2+…+(x-1)Tn),

(13)

根據定義，有：

G0(x;1,1,…,1)=G0(nx-n+1),

G0(1;T1,T2,…,Tn)=G0(1),

對于G1(x;T1,T2,…,Tn)，同樣有:

G1(x;1,1,…,1)=G1(nx-n+1),

G1(1;T1,T2,…,Tn)=G1(1),

圖1　連通片包含情況示意圖Fig.1　Internal components of the connected component

圖1中的正方形表示一個連通片，圓圈表示1個節點。這個圖表示跟隨隨機選擇的1條邊到達的終端是1個連通片，包括以下情況：這個連通片包括1個節點；這個連通片包括1個節點以及由這個節點引出的1個小連通片；這個連通片包括1個節點以及由這個節點引出的2個小連通片；……；這個連通片包括1個節點以及由這個節點引出的n個小連通片。

2疾病的爆發規模

疾病的爆發規模，即在網絡中通過占用邊連接在一起的節點的連通片的規模。為了得到這一重要數據，定義一個關于爆發規模的生成函數(即爆發的節點數量為s的概率母函數)：

(14)

為了得到s的平均值，先來定義H1(x;T1,T2,…,Tn)是通過隨機選擇1條邊到達的1個連通片的大小的生成函數。在這里假設圖中沒有環，完全是樹狀的。由圖1可以看出該連通片包含以下情況：只有1個節點；有1個節點，并且節點連接著1個連通片；有1個節點，并且節點連接著2個連通片；……；有1個節點，并且節點連著n個連通片。

H1(x;T1,T2,…,Tn)=xq0+xq1H1(x;T1,T2,…,Tn)+xq2[H1(x;T1,T2,…,Tn)]2+

…+xqk[H1(x;T1,T2,…,Tn)]k+…,

即：

H1(x;T1,T2,…,Tn)=xG1(H1(x;T1,T2,…,Tn);T1,T2,…,Tn)。

(15)

圖2　　　隨機選擇1個點所在的連通片　　　包含情況示意圖Fig.2　　　Internal components of the component to 　　　which a randomly chosen verticle belongs

如果從隨機選擇的1個節點開始，從這個節點出發的每1條邊都有1個這樣的連通片，如圖2所示，那么包含這個節點在內的整個連通片的大小的生成函數為

H0(x;T1,T2,…,Tn)=

xP0+xP1H1(x;T1,T2,…,Tn)+

xP2[H1(x;T1,T2,…,Tn)]2+

…+

xPk[H1(x;T1,T2,…,Tn)]k+

…，

即：

H0(x;T1,T2,…,Tn)=

xG0(H1(x;T1,T2,…,Tn);T1,T2,…,Tn)。

(16)

與式(8)類似，當有了H0(x;T1,T2,…,Tn)，就能用式(14)得到Ps(T1,T2,…,Tn)。但是在大多數情況下，找到H0的任意階導數是不可能的。所以用柯西積分來找它的近似算法:

Ps(T1,T2,…,Tn)= 1s!dsH0dxs|x=0=

(17)

這樣把求導轉化為了求周線上的積分。根據文獻[20]甚至可以找到一個方程的第一千階導數。所以根據滲流理論，假設的模型中疾病將感染s個人的概率為Ps(T1，T2，…，Tn)。

3爆發規模、爆發閾值以及被感染個體的均度

假設Ps(T1，T2，…，Tn)為爆發規模的完整分布，現在求平均爆發規模。

由式(9)和式(16)得：

把式(15)進行微分，有：

因此:

(18)

這樣，就得出了對于任何的T1，T2，…，Tn值，染病者的平均數目，即疾病的平均爆發規模。

(19)

當T1+T2+…+Tn≥Tc時，有一個染病者巨連通片，即“巨片”在滲流中。此時網絡不再是樹狀結構，所以式(15)和式(16)不再有效。

現在再來討論網絡中存在“巨片”的情況。需要對H0重新定義為除“巨片”以外的其他小連通片大小的生成函數，即不連接到染病者巨連通片的孤立的小連通片。因此在T1+T2+…+Tn≥Tc時，有：

(20)

在這里s(T1，T2，…，Tn)是染病者巨連通片在整個圖中所占的比例。

由式(16)和式(20)，得：

s(T1,T2,…,Tn)=1-H0(1;T1,T2,…,Tn)=1-G0(u;T1,T2,…,Tn)，

(21)

這里u≡H1(1;T1,T2,…,Tn)，由式(15)得，它是下列自相容方程的解：

u=G1(u;T1,T2,…,Tn)。

(22)

(23)

相似的，在所有染病的節點中選擇一個節點度為k的概率是由生成函數[G0(x)-G0(vx)]/[1-G0(v)]生成的[15]，下式給出了“巨片”中一個節點的平均度zin：

(24)

可以證明：

u[1-T1-T2-…-Tn+(T1+T2+…+Tn)u]/[1-s(T1,T2,…,Tn)]≤1,

[1-u[1-T1-T2-…-Tn+(T1+T2+…+Tn)u]]/s(T1,T2,…,Tn)≥1,

所以zout≤z,zin≥z。 即染病節點的平均度大于等于所有節點的平均度，未染病節點的平均度小于等于所有節點的平均度。

由此可以得出，度小的節點不易染病，因此在有傳染病威脅時可以通過減少自己與他人的接觸來預防疾病，如減少走親訪友與外出旅游的次數，戴口罩以減少直接接觸的次數等。

4結語

本文應用滲流原理和生成函數理論研究了網絡中的疾病傳播。其特別之處在于，把染病期分為n個階段，染病者在每一階段的傳染率都不同，計算出了疾病的爆發閾值、爆發規模、染病節點的平均度等。本文的研究方法可以應用于疾病傳播以及信息傳播方面的研究。在信息傳播研究方面，可以假設以天為單位，每一個得知信息的人在得知信息以后，隨著時間的推移，把信息傳播出去的概率是不同的，采用本文介紹的方法，可以得到最后這個信息有多少人獲得等數據，從而預判信息在人群中所造成的影響力。

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Application of percolation theory in pathophoresis during multiple stages of the infected period

HUO Yaxian1， JIN Zhen2

(1.School of Science, North University of China, Taiyuan，Shanxi 030051, China；2.Complex Systems Research Center, Shanxi University, Taiyuan， Shanxi 030006, China)

Abstract:Network study combined with the generating function and percolation theory is used to study the outbreak of infectious disease with multiple infected stages among people, so the network topology is made more clear and convenient. The infected period is divided into n stages: I1, I2,…,In. The calculation of the disease outbreak threshold, the scale of outbreaks,the mean degree of infected nodes, and the mean degree of uninfected nodes in the spreading epidemic caused by one infected individual are obtained.

Keywords:applied mathematics; generation function; percolation theory; stages of infected period; the outbreak threshold; the scale of the outbreak

中圖分類號：O173；N949MSC(2010)主題分類：34N05

文獻標志碼：A

通訊作者：靳禎教授。E-mail：jinzhn@263.net

作者簡介：霍婭鮮(1991—)，女，山西晉城人，碩士研究生，主要從事生物數學方面的研究。

基金項目：山西省科技創新團隊項目(2015013001-06)；山西省高校優秀創新團隊項目(232548901001)；山西省回國留學人員重點科研資助項目(2013-重點)

收稿日期：2015-10-09；修回日期：2015-12-12；責任編輯：張軍

doi:10.7535/hbkd.2016yx02008

文章編號：1008-1542(2016)02-0160-07

霍婭鮮，靳禎.滲流理論在多個染病階段的疾病傳播中的應用[J].河北科技大學學報,2016,37(2):160-166.

HUO Yaxian，JIN Zhen.Application of percolation theory in pathophoresis during multiple stages of the infected period[J].Journal of Hebei University of Science and Technology,2016,37(2):160-166.