數學歸納法教學新策略

【摘 要】從教學設計和教學過程闡述數學歸納教學的新策略，設計好問題，提出問題，借助視頻和學生的實驗操作，讓學生自主探究、總結、理解數學歸納法的原理。

【關鍵詞】數學歸納法 多米諾骨牌 自主探究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）03B-0108-02

為了更好地總結數學歸納法的應用情況，筆者就2015年秋季學期上的一節有關應用數學歸納法的授課新策略進行闡述，以便得到同行的指正。本節課的授課對象是本校普通班的學生，學生的數學基礎一般，推理能力及運算能力比較弱。針對這種情況，筆者從教學設計和教學過程兩方面進行新設計。

一、數學歸納法教學的新設計

在使用大綱版教材時，教學重點是讓學生能用數學歸納法的格式：“兩個步驟一個結論”證明與正整數有關的命題。至于什么是數學歸納法，學生不太理解。為了突破重難點，教師主要是通過“忽略了兩個步驟之一”的錯題練習讓學生在解題和糾錯過程中加深理解格式的套用方法。這最終會出現的結果是：能力較弱的學生在證明過程中通常會出現“忽視奠基步驟的作用”或“沒有利用歸納假設”等問題。在借鑒大量的資料基礎上，筆者決定將數學歸納法的教學設計為解決以下四個問題：（1）為什么要使用數學歸納法？（2）什么是數學歸納法？（3）什么時候使用數學歸納法？（4）怎樣正確使用數學歸納法？這樣的設計不僅加深學生對數學歸納法原理的理解，而且能更好地突破重難點，較好地完成了課程目標。

二、數學歸納法的教學新過程

上課時，先由引例開始。

在此基礎上提出：如果我們進一步把所有的項都求出來驗證滿足通項公式an 也可以，但是不具備操作性。能不能找到一種用有限的步驟卻能逐一驗證的方法？即我們能否構造一種方法，借助“遞推關系”，用有限個步驟的推理，就能對所有的進行檢驗，證明 n 取所有正整數都成立。

在尋找解決問題的方法中我們往往可以從實踐經驗中得到啟發。比如上面的問題在現實生活中可以找到影子，如多米諾骨牌游戲。由此筆者介紹多米諾骨牌，讓學生觀看多米諾骨牌的視頻。提出問題：使得所有的骨牌都倒下，必須滿足什么條件？

請同學們小組交流討論。此時發現有一個小組中的兩個同學正在用7本字典擺多米諾骨牌陣，筆者趁機請他們到講臺來展示。這是筆者沒有課前預設的。當時筆者課前預設的是讓學生再觀看Flash動畫：幾片骨牌，第一塊的倒下導致第二塊的倒下，第二塊的倒下導致第三塊的倒下，直到全部的骨牌倒下。當時筆者給學生交流討論的時間比較充足，讓他們積極主動地參與到學習中來，也因此才有這個“閃光點”，有了很好的課堂生成。當時筆者心里非常高興，決定不用課前的預設了，好好利用這一生成，讓學生自主探索，使課堂更活躍。

在學生回答第一個問題后，筆者繼續提出：你認為怎么做會使多米諾骨牌陣不完全倒下？這是一個好的問題。它不是提問“是或不是”“對或不對”，而是讓學生自主去探索思考，培養學生的思維能力和解決問題能力。通過兩個學生將條件補充完整后，又讓剛才的兩個學生動手操作：（1）拿走中間的一塊并推倒；（2）拿走第一塊骨牌后推倒。通過視頻與實驗操作，學生總結出：使得所有的骨牌都倒下必須滿足兩個條件：（1）第一塊先倒下；（2）前一塊倒下能壓到后一塊并導致后一塊倒下。筆者再乘勝追擊：只是某兩塊嗎？此時學生補充：相鄰的兩塊。此時補充（1）（2）兩個條件的作用，條件（1）起到了歸納奠基作用，條件（2）是給出一個遞推關系：第 k 塊倒下一定導致第 k+1 塊倒下。并將游戲“理想化”，由有限轉換成無限。通過這個環節不僅使學生理解了多米諾骨牌游戲的原理，而且也助于學生理解數學歸納法兩個步驟“歸納奠基”“歸納遞推”的作用，為他們能更好地理解數學歸納法原理打下了堅實的基礎。

讓學生思考教科書第93頁的“思考”，將多米諾骨牌游戲與求數列的通項公式類比。通過引導，學生容易類比得出猜想成立的兩個條件：（1）n=1時猜想成立；（2）如果 n=k 時猜想成立，那么 n=k+1 時猜想也成立，而且必須得利用 n=k 這一假設（因為是前一塊倒下導致后一塊倒下），從而給出了數學歸納法的原理。為了加強知識的內在關聯，請學生用程序框圖去表示這一原理，進一步加深學生對數學歸納法的理解。

本節課較好地完成了課前的預設，也有一定的生成。本節較好地提出問題，讓學生自主探究，滲透類比思想方法。利用理解數學歸納法的無限思想，又把程序框圖知識再復習了一遍。這不僅能說明數學之間的內容是相互關聯的，而且還能使得程序框圖知識螺旋上升。讓學生歸納總結出數學歸納法的兩個步驟缺，而且明白步驟二具有傳遞性，總結出本節的重難點。《學記》中說：“君子之教，喻也。道而弗牽，強而弗抑，開而弗達，道而弗牽則和，強而弗抑則易，開而弗達則思，和易以思，可謂善喻也。”這節課基本達到了這一思想。但仍然有兩個主要的遺憾。上完課后筆者查閱“中學數學核心概念、思想方法結構體系及其教學設計的理論與實踐”第八次課題會成果，發現陶維林先生的一個說法，從數學歸納法“n=k”到“n=k+1”過程來看，當“n=k”時，盡管 k∈N*可以任取，一旦取定總歸是一個有限的數，“k+1”也是有限的數，但由于“n=k+1”有無窮盡的“+1”的過程，從而 n 走向了無限。筆者在課堂上僅僅讓學生類比多米諾骨牌游戲從而歸納出數學歸納法，接著再用程序框圖初步體會了無限的思想，沒有能像陶維林先生這么精準地提練出來。學生對數學歸納法本質的理解還得進一步深化，還得加強無限思想的滲透。這本節課的第一個遺憾。第二個遺憾是本節課著重讓學生理解數學歸納法的原理，學生也知道這兩個步驟缺一不可，清楚地認識到證明“n=k+1”時必須利用假設，可是怎么用？最終要轉化成怎么樣的形式，筆者只是一筆帶過。這使得中下水平的同學在第二步驟時，碰到了困難。筆者通過這一節課的教學對原理課的教學有了更深層次的認識，在今后的課堂中還要進一步發揮主導作用，提好問題，啟發引導好學生。

【參考文獻】

[1]陶維林.數學歸納法和它的教學[J].中小學數學高中版，2009（10）

[2]洪秀滿.理解教材 有效“對話”——以“數學歸納法”為例[J].中國數學教育，2013（20）

【作者簡介】謝玉瓊（1981— ）女，壯族，中教一級教師，廣西賓陽人，廣西民族師范學院附屬中學教師，研究方向：中學數學教學。

（責編 盧建龍）