《函數(shù)的單調(diào)性復(fù)習(xí)課》 課例

潘淑淑

一、教材分析

《函數(shù)的單調(diào)性》是人教版高中數(shù)學(xué)必修一的內(nèi)容，該內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性的定義與判斷及其證明。函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識(shí)是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識(shí)的延續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱(chēng)為函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，它是研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域（或最值）、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小、求方程的根的個(gè)數(shù)（或函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)）等具體問(wèn)題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、學(xué)情分析

本節(jié)復(fù)習(xí)課安排在必修一所有內(nèi)容都完成后的一節(jié)期中復(fù)習(xí)課。依據(jù)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大，函數(shù)值增大”的變化趨勢(shì)，且能用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)密的代數(shù)證明。在教學(xué)過(guò)程中，要注意讓學(xué)生掌握代數(shù)證明的格式，要注意讓學(xué)生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

2.會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)根的個(gè)數(shù)、函數(shù)的值域等問(wèn)題

3.體會(huì)函數(shù)思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想

在本節(jié)課的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線，它始終貫穿于教師的整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程；利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結(jié)論”過(guò)程學(xué)生不易掌握。所以對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定如下：

四、教學(xué)重點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明。

五、教學(xué)難點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性的靈活應(yīng)用。

六、課前準(zhǔn)備

學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的定義，并完成題目：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；②求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

七、教學(xué)設(shè)計(jì)

[教學(xué)環(huán)節(jié) 問(wèn)題展示 設(shè)計(jì)意圖 課前預(yù)習(xí) 已知函數(shù)①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)； 復(fù)習(xí)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，強(qiáng)調(diào)其步驟：取值——作差——變形——定號(hào)——結(jié)論 課內(nèi)探究（一題多問(wèn)） ②求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

③不等式

對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 1.會(huì)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間或利用函數(shù)的奇偶性解決單調(diào)區(qū)間有關(guān)的問(wèn)題

2.利用函數(shù)的單調(diào)性，知道自變量的大小關(guān)系會(huì)求自變量的大小關(guān)系

3.解決恒成立問(wèn)題 一題多變 變式1：已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

變式2：設(shè)函數(shù)在 [1，2]上的最小值為，求 1.已知函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)問(wèn)題

2.會(huì)利用單調(diào)性求最值

3.體會(huì)轉(zhuǎn)換思想和分類(lèi)討論思想 ]

八、精彩回放

師：求方程的根

生1：方程的根為

師：方程就只有一個(gè)根嗎？并說(shuō)明理由。

生2：方程的根等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)，而函數(shù)是單調(diào)遞增的，故方程就只有一個(gè)根

師：這里我們用到了函數(shù)的什么性質(zhì)？

生2：函數(shù)的單調(diào)性

師：這節(jié)課我們就來(lái)復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性（板書(shū)課題）。

師：請(qǐng)同學(xué)們看例題：

例題：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；

師：復(fù)習(xí)增函數(shù)的定義。

生3：當(dāng)x1

師：用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。

生4：取值——作差——變形（乘積的形式或平方和的形式）——定號(hào)——結(jié)論

師：本題中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并說(shuō)明理由。

生5：的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)。

生6：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，令單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間。

師：本題中若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

生7：將變量帶入解析式去解不等式。（做了一段時(shí)間后）發(fā)現(xiàn)計(jì)算量太大，沒(méi)法解決。

生8：利用函數(shù)的單調(diào)性，，

師：已知函數(shù)的單調(diào)性，并且知道函數(shù)值的大小關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？

生9：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當(dāng)f（x1）

師：變式1： 已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

生10：任取，且

師：你能總結(jié)一下思路嗎？

生10：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當(dāng)x1

師：你們還有其他的解法嗎？

生11：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，令單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

要使在單調(diào)遞增，則，∴

綜上所述，

師：變式2： 設(shè)函數(shù)在 [1，2]上的最小值為g（a），求g（a）。

生12：令，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，

師：總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和思想方法。

生13：知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性①當(dāng)x1f（x2）），則函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)。

思想方法：數(shù)學(xué)結(jié)合思想，轉(zhuǎn)換思想，分類(lèi)討論思想。

九、教后說(shuō)教

本節(jié)課是必修一內(nèi)容上好后為學(xué)生期中考試準(zhǔn)備的一節(jié)復(fù)習(xí)課。

（1）通過(guò)求方程的根的個(gè)數(shù)引出函數(shù)的單調(diào)性，而這個(gè)方程的根學(xué)生容易看出來(lái)，但為什么只有1個(gè)根，只能利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決。這樣讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)單調(diào)性的重要性，更加激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的積極性，大大提高了課堂效率。

（2）例題及變式歸納出證明函數(shù)單調(diào)性的方法、步驟及注意點(diǎn)，還對(duì)單調(diào)性進(jìn)行靈活應(yīng)用：①已知當(dāng)x1f（x2））則函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，當(dāng)x1f（x2））；③函數(shù)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù)，當(dāng)f（x1）x2）

（3）題目設(shè)置一題多問(wèn)，一題多變，復(fù)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性涉及的題型，讓問(wèn)題更集中，更加突出問(wèn)題的本質(zhì)。

（4）本節(jié)課內(nèi)容完整，思路清晰。符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神。例題及變式由淺入深，完整，全面。

十、教后點(diǎn)評(píng)

本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容落實(shí)的很好，課的流程清晰，重點(diǎn)突出，難點(diǎn)突破。教師注重學(xué)生的能力培養(yǎng)，注重函數(shù)單調(diào)性概念本質(zhì)的落實(shí)，詳略得當(dāng)。學(xué)生的積極性高，參與度廣，從課堂練習(xí)中看出學(xué)生對(duì)內(nèi)容的掌握不錯(cuò)，是一節(jié)有效的課。有效性的體現(xiàn)：這節(jié)課的引例是有效的，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的積極性；教師的引導(dǎo)語(yǔ)是有效的，淺顯易懂把學(xué)生引入課堂，比如對(duì)增（減）函數(shù)的理解：自變量越大函數(shù)值越大（小）；例題的選取上是有效的，例題突出重點(diǎn)，例題的第三問(wèn)可以鍛煉學(xué)生的逆向思維；在數(shù)學(xué)思想方法上的落實(shí)上是有效的，本節(jié)課很好的落實(shí)了整體思想、轉(zhuǎn)換思想、分類(lèi)思想等。