磁針磁矩的測量和耦合磁針的實驗研究

王思慧，劉振宇，江洪建，周 進

（南京大學物理學院，江蘇南京210093）

?

磁針磁矩的測量和耦合磁針的實驗研究

王思慧，劉振宇，江洪建，周 進

（南京大學物理學院，江蘇南京210093）

摘 要：第3屆全國大學生物理實驗競賽基礎實驗題包括3部分：測量磁針處局域磁場水平分量的大小，測量磁針的磁矩和轉動慣量以及地磁場中耦合磁針的運動研究.介紹競賽試題的實驗內容并給出解答，分析了參賽學生的實驗考試結果.

關鍵詞：局域磁場；水平分量；轉動慣量；磁矩；耦合振子；耦合磁針

本文介紹的是第3屆全國大學生物理實驗競賽基礎實驗試題、解答及分析.實驗包括3部分：測量磁針處局域磁場水平分量的大小，測量磁針的磁矩和轉動慣量，以及地磁場中耦合磁針的運動.

試題第一部分采用動力學方法測量磁場，是大學物理實驗中的基礎性實驗內容［1］.題目雖然涉及的是動力學原理，器材和測量卻為電磁學范圍.第二部分借鑒了扭擺和已知配重測量轉動慣量的方法［1－2］，作為基礎的實驗方法進行考察.第三部分耦合振子的簡正模是重要的基礎物理概念［3］，演示或定量實驗通常需要專門的器材，或者采用模擬方法實現［4］.本題設計了簡單的實驗裝置，不僅能夠演示各個簡正模及其疊加形成的拍運動，測量各個簡正模的頻率，而且能夠定量測量耦合系數.這部分原理與常見的耦合擺有所不同，因此試題簡單介紹了物理背景和現象，再提出觀察和研究的任務，可以考察學生理解物理概念、自主實驗、探索物理規律的能力.

1 實驗試題

懸掛在磁場中磁針的運動方程是

這里θ是磁矩方向與外磁場水平方向之間的夾角，M是磁針的磁矩，I是磁針的轉動慣量，B是磁針處的磁感應強度，它由局域磁場（地磁場）水平分量B0和線圈磁場B1疊加而成.當線圈軸線與外磁場水平方向平行時，位于軸線上的磁場水平分量B＝B0＋B1.由此得到磁針擺動周期與磁場的關系：

亥姆霍茲線圈由2個半徑均為R、匝數均為N的通電線圈組成，當2個線圈彼此同軸平行而且距離為R時，其圓心連線中點即O點附近的磁場是近似均勻的，其方向由安培定律確定，其大小與線圈半徑R、匝數N、通電電流i有關，理論公式為

其中μ0＝4π×10－7H／m是真空磁導率.

1.1 實驗器材

直流穩壓電源、滑線變阻器、2個相同的磁針（磁鐵厚度為4.15mm）、計時器、雙向開關、安培表、亥姆霍茲線圈（線圈參量為：N＝500，平均半徑R＝10.00cm）、帶刻度的支架、塑料尺、配重（質量m＝0.73g）、游標尺.

1.2 實驗任務

1.2.1 第一小題：測量磁針處局域磁場水平分量的大小（40分）

1）畫出實驗連線電路圖，使得線圈供電電流的大小和方向都可以改變.

2）如何判斷線圈附加磁場與局域磁場是反向還是同向？

3）選取適當的測量范圍，測量不同電流下磁針的振動周期.

以1／T2為縱坐標，線圈電流i為橫坐標作圖，外推計算1／T2為零時的電流，此時的線圈磁場完全抵消軸線方向的外部磁場，由此可以計算局域磁場水平分量的大小.

4）通過作圖給出局域磁場水平分量的值.

1.2.2 第二小題：測量磁針的磁矩以及轉動慣量（30分）

1）設計實驗方案，用以測量磁針的轉動慣量以及磁針的磁矩.方案需包含必要的公式.可以用示意圖表示裝置的安排.（測量方案可以申請提示，提示卡扣10分）

2）測量磁針的轉動慣量以及磁矩.

1.2.3 第三小題：地磁場中耦合磁針運動的觀察與測量（30分）

在地磁場中放置2枚相同的磁針，并使它們沿著地磁場方向處于1條直線上.當相鄰磁針的磁場不可忽略時，它們構成耦合振動系統.由于耦合的存在，磁針的運動形式將更加豐富.

將2個磁針沿著局部磁場的方向共線放置，使它們同相位運動，則磁針共同運動的角頻率為ω.將2個磁針沿著局部地磁場的方向共線放置，使它們反相位運動，則磁針共同運動的角頻率為ω＊.這2個頻率都與單獨1個磁針的角頻率ω0不同.

1）請比較ω，ω＊以及ω0三者的大小.

當2個磁針由靜止釋放，其中一個磁針的初始角位移為零，另一個磁針則有非零的初始角位移；此時會發生2種簡正模式的疊加，2個磁針的振幅交替增減，能量互補，形成“拍”運動.此時的拍頻由2個簡正模式的頻率之差決定，即

2）改變2個磁針之間的距離L，觀察拍頻隨L的增加如何變化？（回答變大、變小、不變）

3）改變2個磁針之間的距離L，測量ω和ω＊隨L的變化情況.

4）確定系數α和β的值.

已知2個磁針之間的耦合系數其中α和β是常量，M是磁矩.由以上實驗數據確定系數α和β的值.

2 解答與分析

2.1 測量磁針處局域磁場水平分量的大小

畫實驗連線電路需要注意直流電源的輸出是固定的，需要連接分壓電路.亥姆霍茲線圈應串聯連接，否則式（2）不成立.注意換向開關的正確連接.

判斷線圈與附加磁場是反向還是同向.當附加磁場與局域磁場同向時，磁針擺動頻率增加，正向勵磁流越大，頻率越高.反向時起初頻率隨電流增加而減小，隨后磁針指向翻轉，翻轉后隨電流增加，頻率又加快.

圖1 1／T2與線圈電流i關系圖

第一小題考察學生的基本實驗能力和習慣，例如基本的電路設計、連接，換向開關的使用，外磁場與線圈磁場軸線的準直，合理測量范圍的判斷，有效數字、作圖規范，等等.為此，此處沒有在實驗方法上設置障礙.

表1是50名參賽學生實驗成績的統計結果.第一小題的得分率接近50%.將近一半的學生正確使用了分壓電路.只有大約40%的學生正確得出被測量磁場的大小.本小題已經給出了實驗思路，僅要求學生根據實驗條件恰當地使用電路，判定測量范圍，結果卻差強人意.反映出學生習慣于按照規定步驟完成實驗，應變和判斷能力尚有欠缺.

表1 成績統計結果

2.2 測量磁針的磁矩以及轉動慣量

從學生的遷移能力的實際情況出發，這里設置了提示卡.

由式（3）可知，測量磁針的周期T0以及加載配重以后的周期T可以計算出磁針轉動慣量.要求多次測量取平均結果.參考值為T／T0＝1.35，I0＝1.6×10－7kg·m2.

本小題得分率28.7%，零分率為28%（14人）.申請提示卡的有14位同學，其中13人被扣分后都有凈得分.得分主要來自于測量方案以及測量數據等中間過程，在提示卡的幫助下，多數學生基本上都有思路.但是只有少于20%的學生能夠正確地計算配重的轉動慣量，極個別學生求出了磁針轉動慣量或者磁矩的正確結果，沒有1人同時正確地得到轉動慣量和磁矩.轉動慣量的計算屬于比較基礎的知識，說明多數學生靈活運用知識的能力有待提高.

2.3 地磁場中耦合磁針運動的觀察與測量

作為背景知識，給出沿著外磁場方向平行排列的1對耦合磁針的運動方程.把磁針視為磁偶極子，可以導出該耦合磁針系統的運動方程：

式（4）以及這一部分原理與α和β的數據沒有在實驗試題中給出.出題者希望學生通過實驗觀察和測量導出其中的物理規律，從而理解簡正模及其疊加運動、耦合系數這些較為抽象的概念.

以下是這一部分的實驗解答：

1）由實驗現象容易觀察到3個頻率的大小滿足ω＞ω＊＞ω0.

2）減小.拍頻隨L增加減緩也是很容易觀察到的.

3），4）改變磁針之間的距離L，測量同相及反相振動20個周期的時間.實驗上為了確定系數α 和β的值，根據

計算每個距離對應的k′.求出ln k′與ln L的值并作圖，見圖2.根據定義，

擬合方程為y＝－3.21x－3.52，可得β＝3.21，ln（αM2）＝l－3.52.代入前面測量的磁矩M＝0.26A·m2，計算可得α＝0.45mA－1·s－2.

圖2 ln k′－ln L關系

第三小題的一些問題設置帶有提示性，例如：“請比較ω，ω＊以及ω0三者的大小”，“觀察拍頻隨L的增加如何變化？”等問題.既是為了設置一些容易的內容“送分”，使得難度合理區分，同時也提醒考生關注實驗包含的物理現象及規律，而不是機械地完成任務.因為有了“送分”，第三小題的均分達到7.36，只有26%的零分.多數考生能夠理解題意，不同程度地觀察到了實驗現象.在定量測量部分，約1／4的學生得到了部分測量數據，只有個別學生能夠正確選擇測量范圍，正確記錄、處理數據，最終完成實驗.有2位學生得到了β的正確結果，沒有學生給出α的正確結果.除了部分學生因為考試時間緊張、沒有合理分配時間等原因，多數學生基本功不夠扎實，沒有形成規范地記錄數據、處理數據等習慣，也缺乏靈活應變、獨立處理問題的能力.

注：文章中給出的局域磁場等實驗數據為某組實驗得到的結果.

3 結束語

本實驗綜合了力學和電磁學知識，采用簡單的組裝式器材，緊湊的實驗場地，合理地設計實現了物理原理和實驗內容的擴展和延伸.通過本實驗，不僅能夠考察學生的基礎知識和基本實驗技能，同時引導學生通過觀察現象、實驗測量探索物理規律，理解一些較為抽象的概念和知識.

參考文獻：

［1］ 胡小鵬，高文莉，萬春華.大學物理實驗（理科）［M］.南京：南京大學出版社，2012：102.

［2］ 朱曄明，王思慧，周進.磁場及磁矩的測量實驗［J］.大學物理，2006，25（4）：58－59.

［3］ 梁昆淼，鞠國興，施毅.力學：理論力學（下）［M］.4版.北京：高等教育出版社，2009：124.

［4］ 姚盛偉，徐平，Tabuteau.耦合擺特性模擬及振動耦合現象演示［J］.大學物理，2012，31（4）：28－32.

Measuring the magnetic moment of the magnetic needles and study on coupled needles

WANG Si－hui，LIU Zhen－yu，JIANG Hong－jian，ZHOU Jin
（School of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093，China）

Abstract：The fundamental test problems of the third National College Students’Physics Experiment Competition contained three sections：measurement of horizontal component of local magnetic field，measurement of the moment of inertia and magnetic moment of a magnetic needle，coupled oscillations of a pair of magnetic needles.This paper introduces the contents of the competition problem，then the solution，and gives the analysis on the performances of the contestants.

Key words：local magnetic field；horizontal component；moment of inertia；magnetic moment；coupled oscillators；coupled magnetic needle

作者簡介：王思慧（1964－），女，北京人，南京大學物理學院教授，博士，從事基礎物理理論與實驗教學.

收稿日期：2016－01－11

中圖分類號：O441

文獻標識碼：A

文章編號：1005－4642（2016）03－0019－05

［責任編輯：任德香］