基于Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌時(shí)間序列預(yù)測

李瑞國 張宏立 王 雅

基于Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的混沌時(shí)間序列預(yù)測

李瑞國1張宏立1王 雅2

1(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830047)

2(新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 新疆 烏魯木齊 830047)

針對混沌時(shí)間序列的混沌性，提出一種改進(jìn)的相空間重構(gòu)方法——交集尋優(yōu)法；針對傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及AR模型對混沌時(shí)間序列預(yù)測效率和預(yù)測精度較低的缺點(diǎn)，提出兩種不同的Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型。以四階蔡氏電路為模型，結(jié)合粒子群算法建立預(yù)測模型。仿真結(jié)果表明，利用交集尋優(yōu)法進(jìn)行相空間重構(gòu)能很好地保留原系統(tǒng)的動力學(xué)特性，證實(shí)了該方法的有效性；Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)較傳統(tǒng)的預(yù)測模型精度更高，便于基于粒子群算法的Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法的推廣和應(yīng)用。

相空間重構(gòu) Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 粒子群算法 混沌時(shí)間序列預(yù)測

0 引 言

混沌時(shí)間序列是指對混沌系統(tǒng)進(jìn)行觀測采樣而得到的一個(gè)單變量時(shí)間序列，在混沌動力學(xué)系統(tǒng)中，通過時(shí)間序列來研究整個(gè)系統(tǒng)的動力學(xué)行為并對混沌序列進(jìn)行預(yù)測[1]。目前，混沌時(shí)間序列預(yù)測已經(jīng)在天氣預(yù)報(bào)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測、電力負(fù)荷預(yù)測、股市預(yù)測等方面得到了廣泛應(yīng)用[2]。混沌時(shí)間序列預(yù)測模型的構(gòu)造包括兩個(gè)關(guān)鍵流程：一是混沌時(shí)間序列的相空間重構(gòu)；二是預(yù)測模型的確定。

相空間重構(gòu)有兩個(gè)關(guān)鍵的參數(shù)，即延遲時(shí)間τ和嵌入維數(shù)m[3]。對于延遲時(shí)間τ的估計(jì)方法有自相關(guān)法、復(fù)自相關(guān)法、互信息法和平均位移法等， 嵌入維數(shù)m的選取方法有飽和關(guān)聯(lián)維數(shù)法(即G-P法)、偽最近鄰域法、Cao方法以及τ和m的聯(lián)合算法等。但這些方法實(shí)現(xiàn)過程較復(fù)雜，效果不理想。為解決這個(gè)問題，提出了一種改進(jìn)的相空間重構(gòu)方法——交集尋優(yōu)法。

傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測模型有BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]及AR模型等。但混沌時(shí)間序列對初始條件具有敏感依賴性，是一組具有非線性和時(shí)變的數(shù)據(jù)，采用傳統(tǒng)的預(yù)測模型很難把這種復(fù)雜規(guī)律表達(dá)出來。傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算效率低、泛化能力低，預(yù)測精度不高[5]。AR模型是一種線性模型，對于混沌時(shí)間序列預(yù)測往往不能滿足精度要求。鑒于此，提出了兩種不同結(jié)構(gòu)的Hermite正交基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，以解決神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過程中出現(xiàn)的運(yùn)算量大、收斂慢及容易陷入局部最小值等問題[6]。粒子群PSO算法作為一種并行優(yōu)化算法，操作簡單，而且保留了基于種群的全局搜索策略，它特有的記憶功能使其可以動態(tài)跟蹤當(dāng)前的搜索情況。因此，提出了基于PSO算法與Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合預(yù)測的方法。

1 相空間重構(gòu)

1.1 τ→m方法尋優(yōu)最小嵌入維數(shù)

τ→m方法，就是根據(jù)給定的一組τ(2≤τ≤tf,τ∈N),利用Cao方法[7]求出相應(yīng)的一組m(ms≤m≤mf,m∈N)。Cao方法表述如下：

m維相空間中的重構(gòu)時(shí)間延遲相量為：

Ym,i=[x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ)]T(i=1,2,…,N-(m-1)τ)

(1)

令：

(2)

其中，‖·‖2為向量的2—范數(shù)。

令：

(3)

如果時(shí)間序列是有吸引子產(chǎn)生的，則m≥m0后，若EE(m)<ε，那么最小嵌入維數(shù)為m0。其中，ε為任意給定得很小的正數(shù)。

1.2 m→τ方法尋優(yōu)最佳延遲時(shí)間

m→τ方法，就是根據(jù)給定的一組m(2≤m≤mf,m∈N),利用復(fù)自相關(guān)函數(shù)求出相應(yīng)的一組τ(τs≤τ≤τf,τ∈N)。復(fù)自相相關(guān)函數(shù)[8]表述為：

(4)

1.3 交集尋優(yōu)法重構(gòu)相空間

交集尋優(yōu)法，就是通過兩種不同組合的相空間重構(gòu)法(τ→m方法和m→τ方法)求公共的一組解[m,τ]或最近(所謂最近，就是兩者的2—范數(shù)最小)的兩組解[m1,τ1]和[m2,τ2]，可表述為：

[m,τ]={(m,τ)|min{‖(m,τ)τ→m方法-(m,τ)m→τ方法‖2}}

(5)

2 兩種不同的Hermite正交基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

正交多項(xiàng)式具有獨(dú)特的性質(zhì)，在現(xiàn)實(shí)問題中有著廣泛應(yīng)用。Hermite正交基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種以Hermite正交多項(xiàng)式為激勵(lì)函數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在函數(shù)逼近、預(yù)測等領(lǐng)域具有優(yōu)越的性能。

2.1 Hermite正交基函數(shù)

Hermite正交基函數(shù)為：

(6)

其遞推關(guān)系為：

(7)

在Hermite正交基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，采用Hermiten次多項(xiàng)式的遞推公式作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱層的激勵(lì)函數(shù)。

2.2 混沌時(shí)間序列預(yù)測模型

相空間重構(gòu)后，m維相空間中的重構(gòu)時(shí)間延遲相量為：

Xm,i-(m-1)τ=[x(i),x(i-τ),…,x(i-(m-1)τ)]Ti=(m-1)τ+1,(m-1)τ+2,…,N

(8)

Takens定理[10]證明了存在一個(gè)光滑函數(shù)f(X)，使得：

x(i+1)=f(Xm,i-(m-1)τ)

(9)

構(gòu)建一個(gè)三層多輸入的Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為預(yù)測模型。網(wǎng)絡(luò)中，隱層、輸出層各神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)全為恒等映射，且所有神經(jīng)元的閾值均為零，其拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖1中，W、R分別為隱層神經(jīng)元輸入權(quán)值矩陣和輸出權(quán)值向量；H為隱層神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)向量。

當(dāng)圖1為Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一時(shí)，H、R和W分別為：

H= [H1(net1),H2(net2),…,Hp(netp),

H1(netp+1),H2(netp+2),…,Hp(net2p),…,

H1(net(m-1)p+1),H2(net(m-1)p+2),…,Hp(netmp)]

(10)

R=[r1,r2,…,rmp]T

(11)

(12)

當(dāng)圖1為Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二時(shí)，H、R和W分別為：

H=[H1(net1),H2(net2),…,Hq(netq)]

(13)

R=[r1,r2,…,rq]T

(14)

W(k,j)=W(k,l) k=1,2,…,m j≠l j,l=1,2,…,m

(15)

輸入層神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)為恒等映射，故隱層神經(jīng)元輸入為：

(16)

由于輸出層神經(jīng)元激勵(lì)函數(shù)采用的也是恒等映射，因此Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一輸出為：

(17)

Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二輸出為：

(18)

訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時(shí)，采用PSO算法對權(quán)值W、R進(jìn)行修正，使輸出期望值和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)際輸出值誤差平方和最小。

3 基于PSO算法的Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

PSO[11]算法的基本思想是，每個(gè)優(yōu)化問題的潛在解都是搜索空間的粒子，所有的粒子都有一個(gè)被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)度，每個(gè)粒子還有一個(gè)速度向量決定它們飛翔的方向和距離，然后粒子們就隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。PSO初始化為一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解)，然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每次迭代中，粒子通過跟蹤兩個(gè)“極值”來更新自己，一個(gè)是粒子本身所找到的最優(yōu)解——個(gè)體極值Pid，另一個(gè)是整個(gè)種群目前所找到的最優(yōu)解——全局極值Pgd。當(dāng)找到這兩個(gè)最優(yōu)解時(shí)，每個(gè)粒子根據(jù)式(19)、式(20)來更新自己的速度和位置。

vid(t+1)= wvid(t)+η1rand()(Pid-

xid(t))+η2rand()(Pgd-xid(t))

(19)

xid(t+1)=xid(t)+vid(t+1)

(20)

其中，vid(t+1)表示第i個(gè)粒子在第t+1代中第d維上的速度，xid(t+1)表示第i個(gè)粒子在第t+1代中第d維上的位置，w為慣性權(quán)重，η1、η2為加速常數(shù)。此外，為使粒子速度和位置不致過大，設(shè)置速度上限vmax、下限-vmax和位置上限xmax、下限-xmax。

在基于PSO算法的Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測中，PSO算法的適應(yīng)度函數(shù)取為混沌時(shí)間序列預(yù)測的誤差平方和，其基本流程如下：

Step1 初始化粒子群，即設(shè)定種群數(shù)量Q及各粒子的初始位置X=[X1,X2,…,XQ]T和初始速度V=[V1,V2,…,VQ]T。其中，Xi=[xi1,xi2,…,xir]；r為粒子維數(shù)；Vi=[vi1,vi2,…,vir](i=1,2,…,Q)。

Step2 計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值。

在利用Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一作預(yù)測時(shí)，其適應(yīng)度值計(jì)算為：

(21)

其中，xp(n)為對x(n)的估計(jì)值；m為嵌入維數(shù)。

在利用Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二作預(yù)測時(shí)，其適應(yīng)度值計(jì)算為：

(22)

Step3 根據(jù)初始位置和初始速度及式(19)、式(20)更新各粒子的位置。

Step4 計(jì)算每個(gè)粒子的新適應(yīng)度值。

在利用Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一作預(yù)測時(shí)，其新適應(yīng)度值計(jì)算為：

(23)

在利用Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二作預(yù)測時(shí)，其新適應(yīng)度值計(jì)算為：

(24)

Step5 計(jì)算自身極值。對每個(gè)粒子，比較它的適應(yīng)度值和它所經(jīng)歷過的最好位置Pid的適應(yīng)度值，如果比Pid更好，更新自身最優(yōu)解Pid。

Step6 計(jì)算全局極值。對每個(gè)粒子，比較它的適應(yīng)度值和群體所經(jīng)歷過的最好位置Pgd的適應(yīng)度值，如果比Pgd更好，更新全局最優(yōu)解Pgd。

Step7 如果達(dá)到約束條件(最大進(jìn)化代數(shù)Gen)，則結(jié)束，否則轉(zhuǎn)至Step2繼續(xù)。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 四階蔡氏電路模型

混沌現(xiàn)象及其應(yīng)用是非線性科學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。由于電學(xué)量易于觀測和顯示，非線性電路逐漸成為混沌應(yīng)用研究的重要途徑之一，最典型的混沌電路就是蔡氏電路。1983年，蔡少棠教授設(shè)計(jì)了一個(gè)能夠產(chǎn)生復(fù)雜混沌現(xiàn)象的三階自治電路——蔡氏電路，從中可以觀察到極豐富的非線性動力學(xué)特性。為了產(chǎn)生更復(fù)雜的混沌現(xiàn)象，使其具有更強(qiáng)的不可預(yù)測性，在蔡氏電路的基礎(chǔ)上，提出了四階變形蔡氏電路，從中可以觀察到單渦旋和雙渦旋混沌吸引子的非線性物理現(xiàn)象。四階蔡氏電路模型表示為：

(25)

仿真過程中，初值x0、y0、z0、w0分別取為-1、0、1、0，步長h取為0.01。利用四階Runge-Kutta法計(jì)算包含600個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的混沌時(shí)間序列，通過前500個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)建立預(yù)測模型，后100個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作預(yù)測分析。

4.2 系統(tǒng)最佳重構(gòu)參數(shù)及混沌特性分析

本文取ε=0.01，利用τ→m方法與m→τ方法相結(jié)合的交集尋優(yōu)法對相空間重構(gòu)，參數(shù)尋優(yōu)如圖2所示。

圖2 相空間重構(gòu)參數(shù)尋優(yōu)圖

從圖2可以看出，兩條曲線距離最近的兩個(gè)點(diǎn)為(10,15)和(12,15)。根據(jù)1.3節(jié)理論知，相空間最佳重構(gòu)參數(shù)為 [m1,τ1]=[10,15]和[m2,τ2]=[12,15]。

利用系統(tǒng)最佳重構(gòu)參數(shù)及非最佳重構(gòu)參數(shù)，比較系統(tǒng)厡吸引子與重構(gòu)吸引子的動力學(xué)特性，如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)原吸引子及不同dt值重構(gòu)吸引子軌跡圖

其中，dt=0.01τ。圖3(a)是雙渦旋吸引子在x-y平面軌跡圖，圖3(b)-(e)是τ取不同值時(shí)變量y的單渦旋重構(gòu)吸引子軌跡圖，證明了四階蔡氏電路系統(tǒng)單渦旋和雙渦旋混沌吸引子的存在。可見，τ=15時(shí)，重構(gòu)吸引子軌跡圖既不壓縮也不折疊；τ<15時(shí)，重構(gòu)吸引子軌跡圖出現(xiàn)了明顯的壓縮現(xiàn)象；而τ>15時(shí)，重構(gòu)吸引子軌跡圖邊緣出現(xiàn)了明顯的折疊現(xiàn)象。因此，τ=15很好地保留了原系統(tǒng)吸引子的動力學(xué)特性，同時(shí)也驗(yàn)證了交集尋優(yōu)法重構(gòu)相空間的有效性。

4.3 混沌時(shí)間序列預(yù)測及誤差分析

PSO算法參數(shù)初始化及參數(shù)優(yōu)化如表1和表2所示。本文p、q分別取為2、3，即可滿足精度要求，圖表中將Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)簡稱為H網(wǎng)絡(luò)。

表1 PSO算法參數(shù)初始化表

表2 PSO算法優(yōu)化參數(shù)表

(26)

其中，wmax=0.9及wmin=0.4分別是最大和最小加權(quán)系數(shù)；t為進(jìn)化代數(shù)。

圖4 不同嵌入維數(shù)時(shí)序列y的預(yù)測圖

圖5 不同嵌入維數(shù)時(shí)序列y的預(yù)測誤差圖

從圖4和圖5可以看出，Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一、Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二對混沌時(shí)間序列的擬合及預(yù)測均要優(yōu)于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及AR模型。為了定量比較預(yù)測值與觀測值的差異，引用三個(gè)誤差評價(jià)指標(biāo)。

定義1[12]設(shè)n個(gè)觀測值ypi(1≤i≤n)，對應(yīng)的n個(gè)實(shí)際值yi(1≤i≤n)，令：

(27)

稱由式(27)確定的EMAE為平均絕對誤差, 反映了預(yù)測值與觀測值的平均偏離程度，其值越小，預(yù)測精度越高。

定義2 令：

(28)

定義3[13]令：

(29)

稱由式(29)確定的EMSE為均方根誤差, 反映了預(yù)測值與觀測值偏離程度的波動大小，其值越小，預(yù)測越穩(wěn)定。

誤差定量評價(jià)如表3所示。

從圖5及表3可以看出，Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一、Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二較BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及AR模型預(yù)測精度更高；當(dāng)m值相同時(shí)，Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一比Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二預(yù)測精度更高，但其參數(shù)相對較多；對于Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一，m=10相對于m=12時(shí)預(yù)測效果更好；對于Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二，m=12相對于m=10時(shí)預(yù)測更準(zhǔn)確。由此可見，Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一、Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二要優(yōu)于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及AR模型，預(yù)測誤差更小、精度更高，可在一些領(lǐng)域推廣和應(yīng)用。但在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，要根據(jù)具體要求的精確度和實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度對Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)一和Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二進(jìn)行擇優(yōu)選擇。

5 結(jié) 語

由于混沌時(shí)間序列具有混沌性，據(jù)此提出了一種新的方法——交集尋優(yōu)法，對相空間進(jìn)行重構(gòu)。仿真結(jié)果表明，所提方法能很好地恢復(fù)原系統(tǒng)的動力學(xué)特性；針對傳統(tǒng)預(yù)測方法預(yù)測精度較低的缺點(diǎn)，提出了PSO算法與Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合預(yù)測的新算法。利用PSO算法和Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各自的優(yōu)勢，在預(yù)測模型的權(quán)值訓(xùn)練過程中，將兩者結(jié)合對混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測。通過四階蔡氏電路模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)預(yù)測效果優(yōu)于傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及AR模型，證明了所提算法的有效性，因此可將Hermite神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于序列預(yù)測、系統(tǒng)辨識和故障診斷等領(lǐng)域。

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[11] 高玉明,張仁津.一種GA-PSO算法優(yōu)化BP網(wǎng)絡(luò)的流量預(yù)測[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2014,31(4):106-110.

[12] 應(yīng)國良,潘仙張,李慧桂,等.基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的流量自回歸預(yù)測研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2014,31(6):151-153,157.

[13] 劉付斌,馮麗娜.基于EEMD與RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2014,31(6):72-74,83.

CHAOTIC TIME SERIES PREDICTION BASED ON Hermite NEURAL NETWORK

Li Ruiguo1Zhang Hongli1Wang Ya2

1(CollegeofElectricalEngineering,XinjiangUniversity,Urumqi830047,Xinjiang,China)2(CollegeofMechanicalEngineering,XinjiangUniversity,Urumqi830047,Xinjiang,China)

For chaotic property of chaotic time series, we proposed an improved phase space reconstruction method — the intersection optimisation method. In view of the shortcomings of traditional BP neural network, RBF neural network and AR model in low prediction efficiency and accuracy on chaotic time series, we put forward two different Hermite neural network prediction models. Taking the fourth-order chua's circuit as the model we built the prediction model in combination with PSO algorithm. Simulation results indicated that to reconstruct phase space using intersection optimisation method could well keep the dynamics characteristic of original system, thus the effectiveness of the method was confirmed. Hermite neural network has higher prediction accuracy than traditional neural network, it is easy to promote and apply the PSO-based Hermite neural network prediction method.

Phase space reconstruction Hermite neural network Particle swarm optimisation (PSO) Chaotic time series prediction

2014-10-06。李瑞國，碩士生，主研領(lǐng)域：智能優(yōu)化與應(yīng)用。張宏立，副教授。王雅，碩士生。

TP391.9

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.04.063