噪聲魯棒的水平集演化模型

劉金彥 何傳江 吳永飛

噪聲魯棒的水平集演化模型

劉金彥 何傳江 吳永飛

(重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 重慶 401331)

針對(duì)噪聲圖像，基于曲線演化理論與水平集方法，提出一個(gè)對(duì)噪聲魯棒的水平集分割模型。利用圖像局部和全局信息，構(gòu)造一個(gè)新的速度函數(shù)，得到一個(gè)水平集演化偏微分方程。實(shí)驗(yàn)表明，該模型對(duì)含有高噪聲的合成和真實(shí)圖像有很好的分割效果，同時(shí)能準(zhǔn)確提取弱邊緣和模糊邊緣，而且對(duì)輪廓初始化有很強(qiáng)的魯棒性。

圖像分割 噪聲圖像 水平集方法 偏微分方程

0 引 言

圖像分割是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域的基本問題，其目的是把目標(biāo)從圖像背景分離出來。由于成像傳感器的性能受各種因素的影響，比如圖像獲取過程中的環(huán)境條件和傳感器質(zhì)量，以及圖像在傳輸過程中由于傳輸信道的干擾而被污染。因此噪聲經(jīng)常出現(xiàn)在各種各樣的圖像中，如激光圖像、顯微鏡圖像、聲吶圖像、光電圖像等。

近年來，基于水平集的活動(dòng)輪廓模型已成為圖像分割領(lǐng)域一個(gè)熱門研究課題，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。活動(dòng)輪廓模型可以分為兩類，一類是基于邊緣的模型[1]，另一類是基于區(qū)域的模型[2-4]。

基于邊緣的模型主要利用圖像的梯度信息牽引活動(dòng)輪廓形變到目標(biāo)的邊界。如Caselles等[1]提出的測(cè)地線活動(dòng)輪廓模型，唐利明等[5]提出的幾何活動(dòng)輪廓模型的多尺度擴(kuò)散分割算法等。然而，它們不適用于被噪聲污染的圖像。

基于區(qū)域的活動(dòng)輪廓模型充分利用圖像灰度值、紋理等區(qū)域信息控制輪廓的運(yùn)動(dòng)，因此，在處理噪聲圖像方面具有先天的優(yōu)勢(shì)。例如，著名的CV模型[2]和RSF模型[3]都具有一定的抗噪性，但是不能分割被噪聲嚴(yán)重污染的圖像，此外分割結(jié)果對(duì)輪廓初始化較為敏感。然而，有文章將這兩個(gè)模型有機(jī)組合得到的新模型[6]同時(shí)具備了CV和RSF模型的優(yōu)勢(shì)。最近，Zhang等[7]提出了一個(gè)基于全局灰度信息的活動(dòng)輪廓模型(本文簡稱Zhang模型)，對(duì)不含噪聲或噪聲較弱的圖像有很好的分割效果，然而對(duì)強(qiáng)噪聲十分敏感。為此，他們?cè)跀?shù)值實(shí)現(xiàn)時(shí)采用了高斯濾波正則化水平集函數(shù)的方法來提高模型對(duì)噪聲的魯棒性。此外，Zhang模型對(duì)模糊邊緣和弱邊緣的提取效果不是很好。

基于曲線演化理論與水平集方法，本文提出一個(gè)結(jié)合全局和局部灰度信息的水平集演化模型。該模型根據(jù)速度函數(shù)的特性，利用演化曲線內(nèi)外的圖像的局部和全局統(tǒng)計(jì)信息構(gòu)造一個(gè)新的速度函數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，該模型對(duì)含有高噪聲的圖像有很好的分割效果。此外，該模型對(duì)輪廓初始化不敏感，也能夠很好地提取模糊邊緣和弱邊緣。

1 相關(guān)活動(dòng)輪廓模型

1.1 水平集方法[8]

設(shè)連續(xù)閉合曲線C(p,t),0

C(p,t)={(x,y)|φ(x,y,t=0)}

(1)

這里，我們假定{x:φ(x,t)>0}和{x:φ(x,t)<0}分別是閉曲線C的內(nèi)部和外部。

水平集方法的原理就是要使φ(x,y,t)在演化過程中其相對(duì)應(yīng)的曲線為零水平集，即：

φ(c(t),t)=0

(2)

對(duì)?t>0，令式(2)關(guān)于t求偏導(dǎo):

(3)

(4)

并假設(shè)封閉曲線C，按照如下方程演化：

(5)

(6)

將式(6)代入式(5)得：

由此得到曲線C的水平集演化方程為

(7)

1.2 Zhang模型

基于式(7)，Zhang等[7]提出了如下水平集演化方程：

(8)

其中，I(x)是待分割圖像，α>0是常數(shù)，c1和c2定義為[2]：

(9)

其中，|ω|表示區(qū)域ω的面積。顯然，c1和c2分別是活動(dòng)輪廓C內(nèi)外的灰度平均值。

上述模型能有效分割無噪聲的圖像，對(duì)于含有高噪聲的圖像分割效果較差。為此，Zhang等[7]引入高斯濾波對(duì)每次迭代得到的水平集函數(shù)進(jìn)行正則化，大大提高了模型的抗噪能力。

2 本文模型

類似于Zhang等[7]的工作，我們提出如下水平集演化方程：

(10)

其中，α>0是常數(shù)，c1和c2由式(9)給出，f1(x)和f2(x)定義為[3]：

(11)

這里，Kσ是高斯核函數(shù)，其表達(dá)式為：

因?yàn)槭?11)可表達(dá)為如下的卷積形式：

(12)

其中，H(·)是Heaviside函數(shù)，本文模型采用局部擬合均值代替原始圖像每一點(diǎn)的灰度值，相當(dāng)于采用局部高斯濾波對(duì)圖像進(jìn)行光滑，所以本文模型在一定程度上具有抑制噪聲的能力。參數(shù)σ是局部高斯濾波方差，其決定濾波窗口大小。當(dāng)σ趨于0時(shí)，我們的模型變?yōu)閆hang模型，因此我們的模型要比Zhang模型適用范圍更廣。根據(jù)噪聲級(jí)別的不同，本文需要選取不同的σ：當(dāng)噪聲較嚴(yán)重時(shí)選擇較大的σ，反之選擇較小的σ。

下面，我們分析輪廓曲線演化的過程。

由1.1節(jié)可知，水平集演化方程式(10)等價(jià)于曲線演化方程：

(13)

不妨假設(shè)目標(biāo)的灰度值大于背景的灰度值，如圖1所示。對(duì)于輪廓曲線位于背景內(nèi)的部分，其上任意一點(diǎn)的某個(gè)充分小鄰域中有(f1+f2)/2<(c1+c2)/2(即速度函數(shù)小于0)，此時(shí)輪廓向法向量的反方向移動(dòng)，從而靠近目標(biāo)，當(dāng)?shù)竭_(dá)目標(biāo)邊緣時(shí)有(f1+f2)/2≈(c1+c2)/2，曲線停止演化；對(duì)于輪廓位于目標(biāo)內(nèi)的部分，其上任意一點(diǎn)的某個(gè)充分小鄰域內(nèi)有(f1+f2)/2>(c1+c2)/2(即速度函數(shù)大于0)，此時(shí)輪廓沿法方向靠近目標(biāo)，當(dāng)?shù)竭_(dá)目標(biāo)邊緣時(shí)有(f1+f2)/2≈(c+c2)/2，曲線停止演化。

因此，對(duì)于任意的初始輪廓，在演化方程式(13)的控制下，演化曲線向著目標(biāo)邊緣移動(dòng)，并最終停止在目標(biāo)邊緣上，從而分割出目標(biāo)。

圖1 曲線演化示意圖

本文模型的算法可歸納如下：

Step 1 初始化φ(x,t=0)=φ0(x)。

Step 2 計(jì)算c1(φ)、c2(φ)、f1(φ)和f2(φ)的值。

Step 3 通過式(6)演化水平集函數(shù)φ。

Step 4 檢查演化曲線是否達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；否則，返回Step2。

水平集演化式(10)的數(shù)值求解采用簡單的有限差分格式。

此算法是在Matlab環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的，根據(jù)上述算法步驟，核心編程如下：

//讀入圖像

Img = imread(['num2str(imgID).jpg′]);

Img = double(Img(:,:,1));

//設(shè)定初始輪廓

initialLSF = ones(size(Img(:,:,1))).*c0;

initialLSF(32:62,32:62) = -c0;

u = initialLSF;

for n=1:iterNum

//初始輪廓演化過程

u=local_global(u,I,K,KI,KONE,timestep,epsilon,1);

if mod(n,20)==0

pause(0.1);

imagesc(Img,[0,255]);colormap(gray);

hold on;axis off,axis equal

[c,h] = contour(u,[0 0],′r′);

iterNum=[num2str(n),′iterations′];

title(iterNum);

hold off;

end

end

//將最終的分割獲取的圖像輪廓用白色線條，其余用黑色表示

[m,n]=size(Img);

a=ones(m,n)*0;

Img(u<0)=0;

Img(u>0)=255;

figure;imagesc(Img,[0,255]);colormap(gray);

hold on;

axis off,axis equal

figure;imagesc(a,[0,255]);colormap(gray);hold on;axis off,axis equal

[c,h] = contour(u,[0 0],′w′);

figure;

mesh(u);

title(′Final level set function′);

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本節(jié)主要驗(yàn)證本文模型對(duì)被不同種類的噪聲污染的圖像的分割效果，并與Zhang模型[7]在分割結(jié)果與收斂速度方面進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)環(huán)境為Matlab7.5，Windows 7，Pentium雙核CPU 2.6 GHz。

實(shí)驗(yàn)1 本文模型對(duì)輪廓初始化的魯棒性

圖2顯示了含有自然噪聲圖像的分割結(jié)果，初始水平集函數(shù)分別是符號(hào)距離函數(shù)以及兩種不同的二值函數(shù)(輪廓內(nèi)外分別取1和-1)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，不同的初始輪廓得到相同的分割結(jié)果，從而說明了本文模型對(duì)輪廓的初始位置具有魯棒性。

圖2 本文模型對(duì)不同初始輪廓的分割結(jié)果

實(shí)驗(yàn)2 兩個(gè)模型對(duì)含有兩種噪聲的圖像的分割

圖3中分別顯示兩幅圖像被方差為0.5的乘性斑點(diǎn)噪聲和被方差0.02的椒鹽噪聲污染的CT圖像切(兩幅圖像來源于文獻(xiàn)[9])。由于噪聲污染較小，我們選取參數(shù)σ為1，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，Zhang模型不能分割出目標(biāo)，而本文模型準(zhǔn)確提取了目標(biāo)的邊緣。

圖3 兩個(gè)模型對(duì)含有斑點(diǎn)和椒鹽噪聲圖像的分割結(jié)果

實(shí)驗(yàn)3 兩個(gè)模型對(duì)含有不同級(jí)高斯噪聲的圖像的分割

圖4的第一列顯示了含有均值為0、方差分別為0.0015、0.05和0.1的高斯噪聲的樹葉圖像及初始輪廓。從圖4可看出，當(dāng)噪聲較弱時(shí)，Zhang模型能夠檢測(cè)到目標(biāo)的邊緣。然而，隨著高斯噪聲的方差逐步變大，Zhang模型的分割效果越來越差。相反，本文模型不受噪聲的干擾，準(zhǔn)確提取出目標(biāo)的邊緣。

圖4 不同程度的高斯噪聲圖像的分割

實(shí)驗(yàn)4 兩個(gè)模型對(duì)含有不同噪聲的遙感圖像的分割

圖5中顯示了Zhang模型和本文模型對(duì)含有不同噪聲遙感圖像的分割結(jié)果。可以看出，兩幅圖像被噪聲污染的較嚴(yán)重，因此我們選取較大參數(shù)σ為7，Zhang模型誤將噪聲作為目標(biāo)分割，不能準(zhǔn)確提取出目標(biāo)，而本文模型能夠不被噪聲干擾，其輪廓能成功演化到目標(biāo)邊緣，很好提取出目標(biāo)。

圖5 對(duì)含有噪聲的合成圖像和真實(shí)圖像的分割結(jié)果

從實(shí)驗(yàn)2到實(shí)驗(yàn)4，對(duì)于Zhang模型，我們?cè)趯?shí)現(xiàn)時(shí)沒有采用高斯濾波正則化水平集函數(shù)的方法，可以看出，此時(shí)Zhang模型對(duì)噪聲的魯棒性較差。若采用高斯濾波正則化水平集函數(shù)的方法，Zhang模型也能得到與本文模型幾乎一樣的實(shí)驗(yàn)效果。

最后，我們給出兩個(gè)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，研究兩個(gè)模型對(duì)模糊邊緣和弱邊緣的提取效果。此處，對(duì)于Zhang模型，我們?cè)趯?shí)現(xiàn)時(shí)采用了高斯濾波正則化水平集函數(shù)的方法以提高該模型對(duì)噪聲的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)5 兩個(gè)模型對(duì)模糊邊緣和弱邊緣的提取

圖6顯示了兩個(gè)模型對(duì)兩幅模糊邊緣圖像的分割結(jié)果。本文模型的分別選取1和2.5。可以看出，Zhang模型漏掉了某些目標(biāo)，而本文模型完全提取所有的目標(biāo)，得到準(zhǔn)確的分割結(jié)果。

圖6 對(duì)邊緣模糊的圖像的分割結(jié)果的對(duì)比

實(shí)驗(yàn)6 兩個(gè)模型對(duì)含有噪聲圖像的弱邊緣的提取

圖7顯示了兩個(gè)模型對(duì)兩幅含有弱邊緣的噪聲圖像的分割結(jié)果。本文模型的分別選取2和3。可以看出，Zhang模型不能正確分割這兩幅圖像，而本文模型卻得到較好的分割結(jié)果。

圖7 對(duì)邊緣模糊且被噪聲污染的圖像的分割結(jié)果

實(shí)驗(yàn)7 實(shí)際應(yīng)用

圖8是三幅皮膚損傷圖像的分割結(jié)果，其特征為具有復(fù)雜的背景且目標(biāo)具有不規(guī)則性。然而本文模型能很好地將它們分割出來。

圖8 對(duì)皮膚損傷圖像的分割結(jié)果

表1顯示了本文模型與Zhang 模型的收斂速度的對(duì)比結(jié)果，分別給出了實(shí)驗(yàn)2 (圖3)、實(shí)驗(yàn)4 (圖5)、實(shí)驗(yàn)5 (圖6) 和實(shí)驗(yàn)6 (圖7) 中的相應(yīng)兩幅圖像的迭代時(shí)間與迭代次數(shù)。從表中可以看出，本文模型在收斂速度上優(yōu)于Zhang模型。

表1 Zhang模型與本文模型分割噪聲圖像的時(shí)間比較

4 結(jié) 語

本文提出了一個(gè)基于偏微分方程的水平集演化模型。該模型有效利用圖像的局部和全局灰度信息，對(duì)噪聲具有很強(qiáng)的魯棒性且對(duì)輪廓初始化不敏感，同時(shí)還能較好提取模糊邊緣和弱邊緣。并且本文模型能夠分割皮膚損傷圖像，具有一定的應(yīng)用效果。

[1] Caselles V,Kimmel R, Sapiro G. Geodesic active contours[J]. International Journal of Computer Vision,1997,22(1):61-79.

[2] Chan T F,Vese L A. Active contours without edges[J]. IEEE Transaction on Image Processing,2001,10(2):266-277.

[3] Li C,Kao C,Gore J C,et al. Minimization of region-scalable fitting energy for image segmentation[C]//IEEE Transaction on Image Processing,2008,17(10):1940-1949.

[4] 劉瑞娟，何傳江，原野.融合局部和全局圖像信息的活動(dòng)輪廓模型[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào)，2012,24(3):364-371.

[5] 唐利明,何傳江,申小娜.幾何活動(dòng)輪廓模型的多尺度擴(kuò)散分割算法[J].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)報(bào)，2007,19(5):661-666.

[6] 吳永飛，何傳江，陳強(qiáng).基于CV和LBF模型結(jié)合的圖像分割算法研究與實(shí)現(xiàn)[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件,2013,30(7):98-100,146.

[7] Zhang K H,Zhang L,Song H H,et al. Active contours with selective local or global segmentation: a new formulation and level set method[J]. Image Vision and Computing,2010,28(4):668-676.

[8] Osher S,Sethian J. Fronts propagation with curvature dependent speed: algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations[J]. Journal of Computational Physics,1988,79:12-49.

[9] Liu L,Zeng L,Luan X. 3D robust Chan-Vese model for industrial computed tomography volume data segmentation[J]. Optics and Lasers in Engineering,2013,51(11):1235-1244.

LEVEL SET EVOLUTION MODEL ROBUST TO NOISE

Liu Jinyan He Chuanjiang Wu Yongfei

(SchoolofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversity,Chongqing401331,China)

For noisy images,based on curve evolution theory and level set method,in this paper we propose a level set segmentation model robust to noise. It uses local and global image information to construct a new speed function,and derives evolution partial differential equation for level set. Experimental results show that the proposed model has desirable segmentation performance for synthetic and real images with high level noises,meanwhile it can accurately extract weak and fuzzy edges. In addition,this model is very robust to initialisation of contours.

Image segmentation Noisy image Level set method Partial differential equation

2014-09-11。國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11371384)。劉金彥，碩士生，主研領(lǐng)域：偏微分方程與圖像處理。何傳江，教授。吳永飛，博士。

TP3

A

10.3969/j.issn.1000-386x.2016.04.041