一類粘性四階退化拋物方程弱解的存在性

梁波，張亞杰，彭曦霆，高馨(大連交通大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連116028)*

一類粘性四階退化拋物方程弱解的存在性

梁波，張亞杰，彭曦霆，高馨
(大連交通大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連116028)*

研究一類粘性四階退化拋物方程弱解的存在性問題.在初始函數(shù)的一些假定下，首先考慮半離散問題，利用極小元泛函方法證明構(gòu)造的橢圓方程弱解的存在性;其次構(gòu)造此粘性四階退化拋物方程的逼近解，通過選取恰當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)函數(shù)對(duì)逼近解的作一致性估計(jì)，得到逼近解的收斂性結(jié)果，進(jìn)而獲得弱解的存在性.

退化拋物方程;弱解;存在性

0 引言

本文考慮如下粘性四階退化拋物方程的弱解問題

其中，Ω?RN為具有光滑邊界的有界開區(qū)域，p＞1為常數(shù)，u0( x)為初值函數(shù)，k＞0為粘性系數(shù)，表示粘性松弛因子或粘性.稱為p－雙調(diào)和算子.文獻(xiàn)［1］對(duì)于齊次方程情形給出了解的存在性，這里重點(diǎn)關(guān)注非齊次情形.方程( 1)為文獻(xiàn)［2］提出的粘性四階退化拋物方程的變形.定義弱解如下:

定義1一個(gè)函數(shù)u被稱為問題( 1)～( 3)的弱解，若其滿足如下條件:

( 1) u∈L∞( 0，T;C( 0，T; L∞(Ω) )

( 3)在L2(Ω)中，u( x，0) = u0( x).

為敘述方便，假設(shè)k = 1，當(dāng)k≠1，時(shí)，證明方法相同.本文約定C表示一般的實(shí)常數(shù)，不同位置也許取值不同.主要結(jié)論如下:

定理1 設(shè)f∈Lp'(Ω)，，則( 1)～( 3)存在弱解

1 半離散問題

為證明定理1，首先進(jìn)行時(shí)間離散化.設(shè)N為正整數(shù)，把區(qū)間( 0，T)分為N等分，取0，考慮如下橢圓問題

其中，u0是初值函數(shù)，f( x，( k + 1) h) = fk+1.

引理1 對(duì)固定的k，若uk∈W2，p(Ω)∩，存在H1(Ω)，使對(duì)有

這里也稱滿足( 6)的函數(shù)uk+1為問題( 4)～( 5)的弱解.

由( 1)知

故uk→u弱收斂于，Δuk→Δu弱收斂于

2 弱解存在性

問題( 1)～( 3)的逼近解定義如下:

其中，uh( x，0) = u0( x)，χk+1( t)是區(qū)間[kh，( k－1)h]上的特征函數(shù).問題( 1)～( 3)所描述的解將由{uh}的某個(gè)子序列的極限獲得.為此需要一些關(guān)于{uh}的一致性估計(jì).

引理2問題( 4)～( 5)的弱解uk滿足

其中，C是不依賴于h和k的常數(shù).

證明 在( 6)中取φ= uk+1，有

其中，

應(yīng)用Young不等式并整理，得

由于上式第二項(xiàng)非負(fù)，應(yīng)用Young不等式，從而有

引理3對(duì)于問題( 1)～( 3)的逼近解{uh}，存在{uh}的一個(gè)子序列(此處及后面都用原來

對(duì)任意的，取φ( x，( k + 1) h)為檢驗(yàn)函數(shù)，代入式( 6)中，有

把上式關(guān)于k從0～N－1相加，并結(jié)合式( 7)和式( 10)且φ( x，Nh) =φ( x，T) = 0，則

其中，

令h→0可得

由上式可得

則

即

即

在積分等式( 6)中取φ= uk+1，有

由于任意的檢驗(yàn)函數(shù)φ和ε＞0，以下不等式均成立

［1］郭金勇.退化擬拋物方程弱解的存在性［J］.南京師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013( 2) : 15-19.

［2］COLEMAN B D，DUFFIN R J，MIZEL V J.Instability，uniqueness and non-existence theorems for the equations，ut= uxx－uxtxon a strip［J］.Arch Rat Mech Anal.，1965，19( 2) : 100-116.

［3］陳亞淅，吳蘭成.二階橢圓型方程與橢圓型方程組［M］.北京:科學(xué)出版社，1991: 46.

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［5］XU M，ZHOU S.Existence and Uniqueness of weak solutions for a generalized thin film equation［J］.Nonlinear Anal.，2005，60: 755-774.

［6］SIMON J.COMPACT sets in the space Lp( 0，T; B) ［J］.Ann Math Pura Appl.，1987，146( 1) : 65-96.

Study of Weak Solutions to a Fourth Order Degenerate Parabolic Equation

LIANG Bo，ZHANG Yajie，PENG Xiting，GAO Xin
( School of Mathematics and Physics，Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China)

The weak solutions of a class of fourth order degenerate parabolic equation are studied.Under some assumptions on the initial value，the first thing is to cosider a discrete problem.By using minimizer functional method，the existence of weak solution to the elliptic equation is proved.Secondly，the approximation solutions of the four order degenerate parabolic equation are constructed.By choosing reasonable test functions to get the necessary uniform estimations，the convergence results can be obtained and then the existence of the weak solutions is proved.

degenerate parabolic equation; weak solutions; existence

A

1673-9590( 2016) 01-0109-04

2015-05-07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目( 11201045)

梁波( 1980－)，男，副教授，博士，主要從事偏微分方程的研究

E-mail: cnliangbo@163.com.