多列車多停站方案條件下高速鐵路票額分配研究

趙 翔， 趙 鵬， 李 博

(北京交通大學 交通運輸學院， 北京 100044)

票額分配是在一定席位能力條件下以客流需求為基礎,合理設置各路徑(OD)票額數量以提高客座率和客票收益的售票方法。高速鐵路若采用先到先得的售票原則會引起因短途旅客購票而長途旅客無法購買到所需車票，造成部分區段客票緊張和部分區段席位虛糜并存的現象，不利于高速鐵路客座能力的利用和客票收益的提高，票額分配是避免上述問題的有效手段。精準的客流預測是票額分配的前提，但客流需求具有隨機性和時變性，預測結果的精度難以保證，同時高速鐵路旅客運輸是多區段、多OD需求、多列車、多停站方案的復雜問題，如何在非確定性需求情況下合理分配票額是提高運輸收益的主要難題之一。

航空領域最早開始利用收益管理概念研究席位利用問題，也取得一系列研究成果。高速鐵路旅客列車票額分配問題可以借鑒航空運輸的席位控制模型，但是高速鐵路旅客列車票額分配所涉及OD更多，各客流區段之間關聯性更強，停站方案更復雜，因此難以照搬航空領域的研究成果。由于各國鐵路運營方式不同，對席位控制問題的關注點也不盡相同。文獻[1]用確定的線性模型和概率非線性模型研究了意大利鐵路席位控制問題，提出鐵路席位控制問題是一個多區段、單一票價的收益管理問題，文中假設需求是連續獨立的隨機變量，采用非嵌套席位控制方法。文獻[2]研究了兩等級票價、多區段、單列旅客列車的席位控制問題。文獻[3]建立了考慮上座率、收益和旅客公平的鐵路收益管理模型，并通過日本鐵路的實例對該模型進行驗證。文獻[4]對印度鐵路旅客列車的超售問題進行研究。國內專家學者對適用于我國國情的票額分配方法進行了探究。文獻[5]以直接人公里數最大為目標，在確定性需求條件下研究多列站站停旅客列車的票額分配方法。文獻[6]建立了列車席位控制和發車間隔同時優化的數學模型，研究多區段、多車次、站站停旅客列車的票額分配方法。文獻[7]以單列旅客列車的預測客流為基礎，以旅客列車全程的客座率、收入以及整體效益最大為目標，提出先長途后短途、先有座后無座等旅客列車票額分配的主要原則，并給出票額分配的具體算法。文獻[8]以已知的獨立正態分布需求為基礎，研究兩級票價、嵌套式、多區段、單列車的票額分配方法，以及旅客buy-up行為對票額分配的影響。文獻[9]通過對需求情景進行模擬，研究了嵌套式、多區段、單列車的票額分配方法。文獻[10]對比了非嵌套式票額控制、嵌套式票額控制、投標價格控制三種票額分配方法，對適合我國國情的多區段單列旅客列車票額分配方法進行了探究。文獻[11]通過差分自回歸移動平均模型得到確定性需求的表達式和隨機性需求的分布函數，對單列車隨機票額分配問題進行了研究。客流預測具有不確定性，在隨機需求下研究旅客列車的票額分配方法更符合實際情況。但隨機需求條件下票額分配的模型和求解更加復雜，所以單列車的客流預測和票額分配方法是國內外學者的主要研究對象，對多列車票額分配方法的研究較少，特別是不同列車多種停站方案對票額分配的影響考慮不足。我國高速鐵路路網規模龐大，運輸需求更加復雜，為了滿足不同OD客流需求，在編制開行方案階段就設計了不同列車的多種停站方案。提供相同OD客運服務的旅客列車之間具有可替代性，現有的先客流分配再票額分配的方法缺乏對收益提高的整體考慮，不利于從全部旅客列車角度提高運輸收益。

針對以上不足，本文重點考慮了不同列車多種停站方案對票額分配的影響，在各OD隨機需求下直接以所有旅客列車收益最大為目標構建多列車多停站方案的票額分配模型，針對模型離散非線性特點設計粒子群算法進行求解。同時對比先客流分配再以單列車收益最大為目標的票額分配方法。

1 模型構建

1.1 停站方案對票額分配的影響

停站方案是在列車運行路徑、類別、開行對數確定后，根據客流需求及列車協調配合情況確定各列車的停站序列。列車停站方案主要有三種基本模式：大站停列車、交錯停列車、站站停列車。大站停列車是指選擇沿途全部或部分客流量較大或有特殊需求的車站停靠的列車；交錯停列車除在沿線大站停靠外，同時也選擇部分小站停靠，是大站停和站站停模式的有機結合，是高速鐵路旅客列車停站方案的主要模式；站站停列車在運行區段中的各個車站均停靠，對未滿足客流需求和服務頻率要求的車站提供服務，并實現所有站間客流的可達性。

如圖1所示，一條高速鐵路上共有A、B、C、D 4個停靠站，兩列旅客列車，其中列車1在A、B、D停靠，列車2在A、B、C、D停靠。假設各列車定員為560人，客流需求：(A,D)840人，(A,B)280人，(C,D)280人。方案1不考慮列車停站方案的差異，將客流需求平均分配，將有(C,D)140人的客流需求因無可利用席位而不能被滿足；方案2根據列車停站方案的不同對票額進行了調整，各OD客流需求均得到了滿足。

從上述票額分配方案的例子不難看出，列車停站方案影響票額分配方案，實際路網中的停站方案復雜多樣，只有在整體對不同列車的多種停站方案進行考慮，才能制定更合理的票額分配方案，提高席位利用率和運輸收益。

1.2 數學模型

(1) 問題描述

相鄰停靠站(能夠辦理旅客乘降作業)之間的路段稱為區段；一個或多個連續區段構成的旅行線路稱為路徑(OD)，其基本特征為途徑區段、線路長度、客流需求、車票價格等。

假設一條由L+1個停靠站和L個區段組成的高速鐵路上開行了n列旅客列車并有多種停站方案。不同旅客列車同一OD上具有相同的單一票價，各OD上的客流需求由已知的正態分布函數進行描述。只提供有座車票且不允許超售，以整條高速鐵路客票收益最大為目標，以各列車各區段的席位能力為約束，優化所有旅客列車的票額分配方案。

(2) 符號定義

m表示運行區段，m=1,2,…,L，整條高速鐵路包括L個運行區段，L+1個停靠站；G表示旅客列車集合，g∈G,g=1,2,…,n；(i,j)表示一個或多個連續區段構成的OD，其中i為OD的起點車站，j為OD的終點車站；Cgm表示列車g在運行區段m上提供的最大席位能力；fij(x)表示(i,j)上的客流需求概率密度函數；μij表示(i,j)上客流需求的平均值；σij表示(i,j)上客流需求的標準方差；pij表示(i,j)上的車票價格；ugij為列車g能否在(i,j)提供服務的0-1判斷變量，若列車g在i車站和j車站均有停靠，則ugij=1,否則ugij=0;bgij表示列車g為(i,j)提供服務的票額限制決策變量，當ugij=1時，bgij≥0,當ugij=0時，bgij=0。

(3) 模型建立前提和相關參數計算公式

借鑒文獻[1]描述客流需求的方法，各OD客流需求服從獨立正態分布，則(i,j)客流需求的概率密度函數為

1≤i

( 1 )

每列旅客列車共有L(L+1)/2個票額限制決策變量，當有n列旅客列車時，共有n×L×(L+1)/2個票額限制決策變量，這里設置一個N=n×L×(L+1)/2的搜索空間，對應向量B=(b111,b112,…,bgij,…)，其中元素bgij在B中的位置為

0.5(n-1)L(L+1)+

( 2 )

若列車g在(i,j)的客流需求概率密度函數fgij(x)可求，借鑒文獻[2]的單列車客票期望銷售量計算方法，列車g在(i,j)的客票期望銷售量為

( 3 )

( 4 )

式中：Rgij表示列車g在(i,j)的客票期望收益。

n列旅客列車在(i,j)的客票期望收益為

( 5 )

n列旅客列車的客票期望收益為

( 6 )

現有的鐵路12306購票系統是將客票和席位對應出售，即列車g在(i,j)的某一席位對應的客票一旦售出，則在(i,j)途徑的區段上該席位不能被再次利用，本文只考慮有座車票且不考慮超售，所以bgij滿足

?g,m

( 7 )

(4) 多列車多停站方案票額分配模型

基于預測的各OD客流需求，以高速鐵路客票收益最大為目標，以各列車各區段的最大席位能力為約束，建立高速鐵路多列車多停站方案票額分配模型為

( 8 )

s.t.

?g,mbgij為整數 ?g,i,j

( 9 )

(ugij-1)bgij=0ugij=0,1

bgij≥0 ?g,i,j

(10)

2 求解算法

本文提出的多列車多停站方案票額分配模型為非線性整數規劃，對于這類問題，粒子群算法易于提高初始解、所需設置參數少、占用內存空間小、大規模問題的求解性能優異。粒子群算法是由Kennedy和Eberhart[12]在1995年源于鳥類捕食行為的研究提出的。使用粒子群算法需要解決初始解的生成、粒子適用值的計算方法、粒子位置的更新規則等問題，根據前述票額分配模型，求解算法如下。

(1) 初始解的生成

在非確定性客流需求條件下，本文提出的模型為非線性整數規劃，難以實現精確求解，若將客流需求變為確定值，則該問題將轉化為線性規劃。因此在初始解生成階段，將非確定性客流需求的平均值作為確定性客流需求取值，松弛整數約束，建立線性規劃模型進行求解，并將求得最優解作為粒子群算法初始解的生成向量。確定性客流需求下的線性規劃模型為

(11)

s.t.

?g,m

(12)

(13)

(ugij-1)bgij=0ugij=0,1bgij≥0 ?g,i,m

(14)

(15)

式中：rh的各分量服從(-r,r)上的均勻分布，r為整數，其大小可根據實際情況而定。

(2) 粒子適用值計算

(16)

(3) 粒子位置更新

(17)

(18)

(19)

(20)

算法流程見圖2，具體步驟為

Step2設置種群規模Psize和ω，γ1，γ2等相關參數。

Step3計算所有粒子的適用值并記錄。

Step4設置輸入參數l=0,h=1,Kmax=500。

Step10若h

Step11如果l

Step12輸出所有粒子的最佳位置對應的向量B和其適用值T。

3 算例

考慮一個由7個區段、8個停靠站組成的高速鐵路，列車按8節編組，每列旅客列車在每個區段的最大席位能力均為560個席位。該高速鐵路服務28個OD，需求均值和標準差均為常數。某一時段內共有4列旅客列車，其中大站停列車1列，交錯停列車2列，站站停列車1列。具體停站方案及站間距離,見圖3，參數pij、μij、σij取值見表1。

設定粒子群規模Psize=25，最大迭代次數500次，收斂控制因子ω=0.5，γ1=0.5，γ2=0.5，借助于Matlab工具進行模型求解。表2為確定性客流需求下線性規劃模型的計算結果，即初始解生成向量，給出了每列旅客列車各OD票額限制。表3給出了粒子群算法求解的最終票額分配方案，圖4為求解過程，算法在迭代到150步時達到收斂。

表1 參數取值(pij,μij,σij)

以相同的客流需求為基礎，盡量滿足長途客流需求并以人公里數最大為目標進行客流分配，再以單列旅客列車客票收益最大為目標進行票額分配，可以求得票額分配方案。表4為求得的方案，稱為對比方案。

在相同的客流需求下，對比方案的客票期望收益為76.368萬元，本文方案的客票期望收益為78.211萬元，期望收益提高約2.41%。因此本文方案不但簡化客流分配過程實現多列車1次性優化，同時說明站在收益角度從整體優化不同停站方案旅客列車間的相互協調對收益提高有著明顯影響。

在客流需求方差不變的情況下，客流需求較大時，本文方案期望收益提高較大；客流需求較小時，因席位能力充足，大部分客流需求在兩種方案下都能得到較好滿足，期望收益差別較小。如圖5(a)所示，當客流需求減小為0.5μij時，兩種方案的期望收益已無明顯差別。

對比方案第一階段整體優化時未考慮客流波動的影響，在第二階段單列車票額分配再考慮客流波動，因協調空間變小，客流波動影響較大；本文方案從整體考慮客流波動情況，能夠更好地避免客流波動造成的影響。如圖5(b)所示，在客流需求均值不變的情況下，客流波動越大，相比之下本文方案越優。

表2 初始解生成向量(列車1，列車2，列車3，列車4)

表3 多列車多停站方案票額分配結果(列車1，列車2，列車3，列車4)

表4 對比方案票額分配結果(列車1，列車2，列車3，列車4)

4 結論

本文研究了多列車多停站方案的票額分配方法，根據建立的模型特點設計粒子群算法進行求解，并將本文提出方法和先客流分配再票額分配的方法進行了對比。結果表明，多列車多停站方案的票額分配方法能夠更好地對不同停站方案的旅客列車進行協調，站在整個線路所有旅客列車的角度提高客運收益。本文所得的控制方法仍是靜態的，但在預訂過程中不斷更新客流需求和席位能力也能達到動態的效果。同時本文僅考慮了單一票價形式，多等級票價及其嵌套方式等收益管理問題是進一步研究的方向。

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