廣義坐標(biāo)變換在普通物理學(xué)中的一些應(yīng)用

李文略（嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東湛江 524037）

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廣義坐標(biāo)變換在普通物理學(xué)中的一些應(yīng)用

李文略
（嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東湛江 524037）

摘 要文章舉例闡述了廣義坐標(biāo)變換在力學(xué)和電磁學(xué)中的一些應(yīng)用．應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換和廣義球坐標(biāo)變換計(jì)算線橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)和橢球剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；應(yīng)用電多極展開(kāi)的具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換，計(jì)算均勻帶電線橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)和橢球在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)．

關(guān)鍵詞廣義極坐標(biāo)；廣義球坐標(biāo)；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；電多極勢(shì)；橢圓環(huán)；橢圓盤(pán)；橢球

圓、橢圓、球、橢球是我們經(jīng)常遇到的幾何形體，在普通物理學(xué)中常常要處理與之相關(guān)的許多問(wèn)題，而關(guān)于橢圓和橢球問(wèn)題的處理往往是比較困難的．陳燊年［1］等應(yīng)用廣義球坐標(biāo)變換巧妙地計(jì)算了電各向異性介質(zhì)中帶電橢球的電四極矩，受此啟發(fā)，本文應(yīng)用廣義極坐標(biāo)變換和廣義球坐標(biāo)變換計(jì)算與橢圓或橢球形狀相關(guān)的物理模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電多極勢(shì)．

1 勻質(zhì)線橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)、橢球剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

主軸坐標(biāo)系O－xyz的坐標(biāo)原點(diǎn)均建立在橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)或橢球的幾何中心處．設(shè)任意轉(zhuǎn)軸通過(guò)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸在坐標(biāo)系中的位置可以用方位角φ和極角θ來(lái)確定．在主軸坐標(biāo)系中剛體的3個(gè)主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jxx，Jyy，Jzz，慣量積為零．應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并矢式［2］可得剛體對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

1．1 線橢圓環(huán)繞任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量為m，線密度為λ，長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的勻質(zhì)線橢圓放置在主軸坐標(biāo)系O－xyz的O－ xy面上．在環(huán)面上取廣義極坐標(biāo)為第二類(lèi)完全橢圓積分，橢圓參數(shù)由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和垂直軸

定理，計(jì)算出

將式（2）代入式（1）中，得線橢圓對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

因線橢圓的周長(zhǎng)L＝4aE（k），m＝4λaE（k），則式（3）也可改寫(xiě)為

若令a＝b代入式（4），可得線圓環(huán)繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為代入式（3）中亦能得到該結(jié)果．

1．2 橢圓盤(pán)繞任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量為m，面密度為σ，長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的勻質(zhì)橢圓盤(pán)放置在主軸坐標(biāo)系O－xyz的O－ xy面上．在盤(pán)面上取廣義極坐標(biāo)有和

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義和垂直軸定理，計(jì)算

所得結(jié)果與文獻(xiàn)［3］一致．將式（5）代入式（1）中，得橢圓盤(pán)對(duì)任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1．3 橢球剛體繞任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

質(zhì)量為m，密度為ρ，半軸分別為a、b、c（c≤b ≤a）的勻質(zhì)橢球放置在主軸坐標(biāo)系O－xyz中，橢球面方程為．取廣義球坐標(biāo)有．故同理計(jì)算出：由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義，計(jì)算

所得結(jié)果與文獻(xiàn)［3、4］一致．將式（7）代入式（1）中，得橢球?qū)θ我廪D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量cos2θ．

若令b＝c代入式（8），可得長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

若令a＝b代入式（8），可得扁旋轉(zhuǎn)橢球繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

若令a＝b＝c代入式（8），可得球體繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，這是熟悉的結(jié)果．

2 均勻帶電線橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)、橢球的電多極勢(shì)

2．1 均勻帶電線橢圓環(huán)的電多極勢(shì)

帶電量為Q，線密度為λ，長(zhǎng)、短半軸分別為a、b的均勻帶電線橢圓放置在坐標(biāo)系O－x1x2x3的O－x1x2面上，應(yīng)用電多極勢(shì)的具體形式求其在遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)P（x1，x2，x3）處的電勢(shì)．在環(huán)面上取廣義極坐標(biāo)與前文相同．因?yàn)閤′3＝0，由電荷分布關(guān)于x1軸和x2軸對(duì)稱(chēng)，可知φ（1）（r）＝0．計(jì)算出將這些關(guān)系代入式（10）中計(jì)算電四極項(xiàng)，并連同φ（0）（r）代入式（9）中，可得線橢圓環(huán)在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)為

若令a＝b，代入上式可得半徑為a的帶電圓環(huán)在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

2．2 均勻帶電橢圓盤(pán)的電多極勢(shì)

帶電量為Q，面密度為σ，長(zhǎng)、短半軸分別為

若令a＝b，代入上式可得半徑為a的帶電圓盤(pán)在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)

2．3 均勻帶電橢球的電多極勢(shì)

帶電量為Q，密度為ρ，半軸分別為a、b、c （c≤b≤a）的均勻帶電橢球放置在坐標(biāo)系O－ x1x2x3中，橢球面方程為取廣義球坐標(biāo)與前文相同．由電荷分布關(guān)于x1軸、x2軸和x3軸對(duì)稱(chēng)，可知．計(jì)算出將這些關(guān)系代入

式（10）中計(jì)算電四極項(xiàng)，并連同φ（0）（r）代入式（9）中，可得橢球在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)為

若令a＝b，代入式（13）可得扁旋轉(zhuǎn)橢球遠(yuǎn)場(chǎng)電勢(shì)

若令b＝c，代入式（13）可得長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球遠(yuǎn)場(chǎng)電勢(shì)為

式中：x3＝rcosθ．所得結(jié)果與文獻(xiàn)［5］應(yīng)用球張量計(jì)算的結(jié)果一致．

若令a＝b＝c，代入式（13）可得半徑為a的帶電球在遠(yuǎn)場(chǎng)處的電勢(shì)為這是所熟悉的結(jié)果．

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于涉及以線橢圓環(huán)、橢圓盤(pán)和橢球?yàn)槲锢砟Ｐ偷囊恍┢胀ㄎ锢韺W(xué)中的問(wèn)題，應(yīng)用廣義坐標(biāo)變換無(wú)疑是解決這些問(wèn)題的較為簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)方法，文中給出了求這些模型的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電多極勢(shì)的例子．將該方法引入課堂教學(xué)中，能有效地提升學(xué)生處理相關(guān)物理模型問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力．

參考文獻(xiàn)

［1］ 陳燊年，洪清泉，王建成．介質(zhì)為各向異性的電磁場(chǎng)［M］．北京：科學(xué)出版社，2012：74、112－127．

［2］ 李文略．慣量張量并矢式及其應(yīng)用［J］．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，23（4）：47－51．

［3］ 孫艷平，等．復(fù)雜橢圓形薄板和橢球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［J］．遼寧科技大學(xué)學(xué)報(bào)：2011，34（4）：352－354．

［4］ 劉紅．橢球殼及橢球體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的簡(jiǎn)易推導(dǎo)［J］．物理與工程，2012，22（4）：61－62．

［5］ 袁德榮．球張量的多極展開(kāi)法［J］．湖北大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)

版，1988（1）：94－98．

審稿意見(jiàn)和作者修改說(shuō)明摘錄：

原稿題目：計(jì)算一類(lèi)均質(zhì)薄板剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的新方法

原稿評(píng)審意見(jiàn)：首先文中（2）和（3）所給的結(jié)果不是什么新結(jié)果，而是在幾乎任何理論物理教材中都會(huì)找得到的結(jié)果．當(dāng)然作者采用自己的做法得到了它們還是值得稱(chēng)道的．但在文中稱(chēng)為“新”是不合適的，因?yàn)檫@只是對(duì)作者是新的，對(duì)那些了解后續(xù)分析力學(xué)課程結(jié)果的人卻是標(biāo)準(zhǔn)的教科書(shū)結(jié)果．再，從式（6）出發(fā)利用轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，或電磁學(xué)中的電四極距，或極化介質(zhì)的電場(chǎng)能等在大學(xué)物理課中早有論述，具體可見(jiàn)費(fèi)曼著名的三冊(cè)書(shū)中的第二冊(cè)中的第31章，那里詳細(xì)講授了如何應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算這些量．即使這樣，本文所討論的具體例子2．1，2．2 和2．3還是與費(fèi)曼的討論有所不同．本文是基于主軸坐標(biāo)系的結(jié)果，利用轉(zhuǎn)動(dòng)給出任意情形下的結(jié)果，雖然這略顯簡(jiǎn)單和平庸；但這確如作者在文章最后所述“有助于加深學(xué)生對(duì)慣量張量的理解，并能拓寬學(xué)生計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)理思路”．本文只是所給的例子略顯單薄，應(yīng)再多給幾個(gè)，并改進(jìn)對(duì)此做法的提法．

作者修改說(shuō)明：要充實(shí)文章例子并非易事……機(jī)緣巧合下拜讀了陳燊年教授等所著的《介質(zhì)為各向異性的電磁場(chǎng)》，其中她巧妙地應(yīng)用球坐標(biāo)積分變換計(jì)算了各向異性介質(zhì)中橢球的電多極矩，卻避免了橢圓積分運(yùn)算，剛好專(zhuān)家的評(píng)審意見(jiàn)中的“電磁學(xué)中的電四極距”也浮現(xiàn)在腦海中．于是，產(chǎn)生了修改的靈感，也許這些都是有聯(lián)系的……

現(xiàn)有文獻(xiàn)計(jì)算橢圓、橢圓盤(pán)和橢球的計(jì)算方法大多需要用到特殊函數(shù)，既然球坐標(biāo)積分變換可計(jì)算電多極矩，自然也可遷移計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，再結(jié)合原始稿件中求任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的寫(xiě)作初衷就得到了修改稿中的第一部分了．另外，電磁學(xué)中計(jì)算電多極勢(shì)，大多采用計(jì)算電多極矩再進(jìn)行矢量或張量間的點(diǎn)乘運(yùn)算，然而若能得到電多極展開(kāi)的具體形式再結(jié)合廣義坐標(biāo)變換的方法，則計(jì)算就簡(jiǎn)便多了，于是就完成了文章的第二部分．

回想學(xué)生時(shí)期的我，遇到橢圓積分就感到頭疼，這也許也是我的學(xué)生現(xiàn)在煩惱的事吧．廣義積分的變化方法如果能應(yīng)用于教學(xué)中，還是能成為學(xué)生的頭疼“緩解藥”的，當(dāng)然橢圓積分還是要扎扎實(shí)實(shí)地學(xué)好．于是文章的題目就成了《廣義坐標(biāo)變換在普通物理學(xué)中的一些應(yīng)用》．文章的改動(dòng)非常大，可以說(shuō)是另一篇新的文章了；但是從修改的過(guò)程和寫(xiě)作靈感的獲得來(lái)看，卻得益于專(zhuān)家的評(píng)審意見(jiàn)，可看作原始稿的延續(xù)吧．

SOME APPLICATIONS OF GENERALIZED COORDINATE TRANSFORMATION IN GENERAL PHYSICS

Li Wenlue
（College of Basic Education，Institute of Lingnan Normal University，Zhanjiang，Guangdong 524037）

AbstractSome applications of generalized coordinate transformation in mechanics and electro magnetism are described by examples．Generalized polar coordinate and spherical coordinate transformation are applied to calculate the moment of inertia of a linear elliptic ring，elliptic disc and ellipsoid rigid body to an arbitrary axis．The electric potential in the far field of uniform charged wire，elliptic disc，and ellipsoid body are calculated by applying the specific form of electric multipole expansion combined with the generalized coordinate transformation．

Key wordsgeneralized polar coordinates；generalized spherical coordinates；moment of inertia；electric multipole potential；ellipse ring；elliptical disc；ellipsoid

作者簡(jiǎn)介：李文略，男，講師，主要從事基礎(chǔ)物理課程的教學(xué)與研究．physics2009ed＠126．com

收稿日期：2014－08－08