動力學在小型飛行器中的應用

摘 要：小型飛行器的應用領域隨著其各種功能的開發研究而不斷擴大，然而無論是何種類型的小型飛行器，都遵循最基本的動力學原理。本文以四旋翼小型飛行器為例，分析其多自由度運動過程中所涉及的動力學知識，并舉例其在物理學中的應用。

關鍵詞：小型四旋翼飛行器；動力學

1 前言

小型飛行器以其靈活的飛行姿態、優越的運行性能、廣泛的應用范圍而倍受關注。小型飛行器非常適合在有限的空間范圍內作業，可以攜帶攝像機、測繪儀器、空中通信節點、小型殺傷性武器等裝置，在人工操控或者自動控制的條件下，以特定的飛行路線和飛行姿態完成相應的任務。小型飛行器已經在地震、泥石流等重大自然災害的災害評估及查險救援、環境保護、電力系統巡線、航空成像及測繪、警用及軍用任務、通信中繼、農業施肥和病蟲害防治等領域發揮了重大作用。要實現小型飛行器的安全穩定飛行，應當建立相應的動力學模型對飛行器的運動狀況進行數學上的描述，根據相關的物理學定律對飛行器的運動規律建立數學方程。

2 小型飛行器中的動力學

目前的小型飛行器多為四旋翼小型飛行器，如下圖1所示，采用4個旋翼作為飛行的直接動力源，旋翼對稱分布在機體的前后、左右4個方向，空間上呈軸對稱結構。4個旋翼處于同一高度平面且結構和半徑都相同，其中一組對角線上的兩個旋翼逆時針旋轉，另外一組對角線上的兩個旋翼順時針旋轉，4個電機對稱地安裝在飛行器的支架端，支架中間部位用于安放飛行控制計算機與外部設備，共同構成具有垂直起降與空中懸停等特殊飛行能力的飛行器。

4個旋翼作為飛行動力，旋翼面為固定傾角，升力的大小和方向是4個旋翼升力的合成，旋轉力矩由4個旋翼的轉速差提供，小型四旋翼飛行器的結構形式無需復雜的機械部件，穩定可靠。

四旋翼飛行器通過協調4個旋翼的升力對飛行姿態進行控制，在空間內的飛行姿態包含6個自由度。假設初始狀態為機身水平懸停，以機身右側旋翼為例，減小旋翼轉速會導致右翼面升力減小，破壞左右兩側的升力平衡導致機身向右側橫滾；同時由于破壞了旋翼的扭力矩平衡，導致機身向右側偏航；由于機身右側橫滾，升力在右側方向產生分力，致使飛行器向右側平移；從而改變四旋翼飛行器的飛行姿態。

小型四旋翼飛行器的6個自由度狀態分別指的是，懸停和升降運動、偏航運動、俯仰運動、橫滾運動、前后運動、左右運動，這6個自由度的運動狀態都可以通過控制4個旋翼的轉速來實現。

2.1 懸停和升降運動

由于空氣阻力的作用，4個旋翼會對飛行器機身產生反扭矩，反扭矩方向與旋翼旋轉方向相反。在其他條件一定的情況下，旋翼的轉速越高，反扭矩越大。1、3電機順時針旋轉，2、4電機逆時針旋轉，4個電機的旋轉速度相同，旋翼產生的升力相同，反扭矩相互抵消，因此在水平方向上飛行器能夠保持穩定。同時提高4個電機的轉速，四旋翼飛行器的整體升力增大，超過飛行器重力時，飛行器垂直上升；同時降低4個電機的轉速，四旋翼飛行器的整體升力減小，小于飛行器重力時，飛行器垂直下降；四旋翼飛行器整體升力等于其重力時，四旋翼飛行器保持懸停狀態。

2.2 偏航運動

如果1、3電機順時針旋轉的轉速不等于2、4電機逆時針旋轉的轉速，兩組旋翼在順時針方向和逆時針方向上產生的反扭矩將無法抵消，飛行器機身發生轉動。同時增大2、4電機逆時針旋轉的轉速，減小1、3電機順時針旋轉的轉速，逆時針旋轉旋翼組產生的反扭矩大于順時針旋轉旋翼組產生的反扭矩，使得機身整體承受順時針方向的反扭矩。由于1、3電機轉速相同，2、4電機轉速相同，旋翼升力對稱，機身不會發生側翻，實現水平順時針偏航運動。

2.3 俯仰運動

2、4電機轉速不變，增大1電機轉速，減小3電機轉速，則1產生的旋翼升力大于3產生的旋翼升力，2、4轉速相同則相應旋翼升力對稱，機頭上揚，機身不會發生橫滾運動。旋翼轉速的變化會導致機身反扭矩的變化，為了保證反扭矩的平衡，1、3電機轉速的變化量應當相同。

2.4 橫滾運動

1、3電機轉速不變，增大4電機轉速，減小2電機轉速，可以控制機身向右側橫滾。前后兩個旋翼產生的升力相同，機身不會發生俯仰運動。

2.5 前后運動

實現飛行器的前后運動需要對飛行器施加前后方向的拉力，使機身產生俯仰運動，旋翼面與地面產生夾角，拉力在水平方向上產生分量，使得飛行器機身產生前后運動。拉力在垂直方向上的分量與重力平衡，機身在豎直方向上不會產生升降運動。

2.6 左右運動

實現飛行器的左右運動需要對飛行器施加左右方向的拉力，使機身產生橫滾運動，旋翼與地面產生夾角，拉力在水平方向上產生分量，使得飛行器機身產生左右運動。拉力在垂直方向上的分量與重力平衡，機身在豎直方向上不會產生升降運動。從受力上對飛行器進行分析，飛行器的4個旋翼轉動產生的升力作用在機身上，雨中力和阻力共同形成合力；從力矩上對飛行器進行分析，飛行器受到旋翼力矩、空氣阻力、陀螺效應等作用的影響。這些力、力矩共同作用在四旋翼飛行器上，改變飛行器的運動狀態。

3 結論及實際應用

任何復雜運動都是以最基本的簡單運動為基礎的，實際應用中的小型飛行器結構和功能都會更加復雜，但是仍然可以依據其運動狀態及規律，遵循相關的物理動力學原理建立相應的動力學模型，分析小型飛行器的運動過程。

題目：下圖所示為四旋翼無人機，它是一種能夠垂直起降的小型遙控飛行器，目前正得到越來越廣泛的應用。一架質量m=2kg的無人機，其動力系統所能提供的最大升力F=36N，運動過程中所受空氣阻力大小恒為f=4N。g取10m/s2。求：

（1）無人機在地面上從靜止開始，以最大升力豎直向上起飛，求在t=5s時距離地面的高度h；

（2）當無人機懸停在距離地面高度H=100m處，由于動力設備故障，無人機突然失去升力而墜落。求無人機墜落地面時的速度v；

（3）在無人機墜落過程中，在遙控設備的干預下，動力設備重新啟動提供向上的最大升力。為了保證安全著陸，求飛行器從開始下落到恢復升力的最長時間t1。

解答：

（1）無人機的質量為2kg，g=10m/s2，那么無人機的重力為20N。則無人機以最大升力豎直向上起飛，受到豎直向上的力為F-f-mg=36-4-20=12（N），加速度為a=（F-f-mg）/m=12/2=6（m/s2），那么t=5s時無人機距離地面的高度h=at2/2=6×5×5/2=75（m）。

（2）無人機在下落過程中，受到豎直向下的力為mg-f=20-4=16（N），加速度為a=（mg-f）/m=16/2=8（m/s2），那么距離為H=100m，下落到地面所需要的時間t=[（2×H）/a]1/2=[（2×100）/8]1/2=5（s），則無人機墜落地面時的速度v=at=8×5=40（m/s）。

（3）為了保證無人機安全著陸，飛行器從開始下落到恢復升力達到最長時間，應該是無人機降落到地面且速度恰好為零的臨界狀態。假設t1時刻，無人機恢復最大升力，此時無人機的速度為v1=at1=8t1（m/s），無人機距離地面的高度為H’=H-at12/2=100-4t12，無人機受到豎直向上的力為F+f-mg=36+4-20=20（N），加速度為a2=（F+f-mg）/m=20/2=10（m/s2），無人機減速到零所需要的時間t2=v1/a2=0.8t1（s），墜落的高度為h’=a2t22/2=3.2t12（m），此時應當滿足h’=H’，也即3.2t12=100-4t12，解得t1=53/2/3（s）。

參考文獻

[1]曾明，劉偉，鄒建軍.空氣動力學基礎（第五版）[M].北京：科學出版社，2016.

[2]陳浮，權曉波，宋彥萍.空氣動力學基礎（第五版）[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2015.

（作者單位：山東省東營市第一中學）