基于FRFT的指數濾波器的設計及其在地震信號處理中的應用

摘 要：研究了分數階傅里葉變換的原理及其在地震面波壓制方面的應用，分析了傳統理想矩形濾波器在分數階域對噪聲壓制后存在的問題。提出采用指數函數對地震面波進行壓制，研究并設計了指數濾波器的函數模型，及指數陷波器的函數模型，并將該指數濾波器應用于地震信號處理中，實驗證明，所設計的指數濾波器應用在分數階傅里葉域，可有效實現對地震面波的壓制，并有效的提高地震資料處理后同相軸的連續性。

關鍵詞：分數階傅里葉變換；濾波器；面波；同相軸

1 概述

線性調頻[1]（LFM）信號廣泛應用于地震、雷達、聲納等系統中，比如陸上反射地震勘探使用可控震源產生線性調頻數字信號，合成孔徑的雷達信號和目標回波方位的多普勒頻移信號都屬于LFM信號。這類信號屬于典型的非平穩信號，分數階傅里葉變換作為傅里葉變換的推廣，廣泛應用于非平穩信號的分析和處理，若將傅里葉變換看作從時間軸逆時針旋轉？仔/2到頻率軸，那么分數階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，則可以旋轉任意角度以展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有變化特征，為信號的時頻分析提供了更大的選擇空間。另外，分數階傅里葉變換是一種線性變換，可避免多分量LFM信號而產生的交叉干擾信號項[2-7]。

正是由于分數階Fourier變換在時頻分析中的優點而逐漸受到眾多科研工作者的青睞。現今，分數階Fourier變換已經廣泛應用于科學研究和工程技術的許多領域[8]，文章以地震面波的處理為背景，分析了傳統濾波方法存在的問題，并提出一種新的濾波方法。

2 分數階傅里葉變換

分數階傅里葉變換是傅里葉變換的一種推廣，從數學的角度來看，p階分數階傅里葉變換可以定義為時域信號x（t）的線性積分變換，對于旋轉角？琢■，p為分數情形，定義[9-10]：

LFM信號有較大的時寬和頻寬，單純的在時域或頻率濾波都得不到理想的結果，通過分數階傅里葉變換，當LFM信號的調頻率與旋轉角度相一致時，可使LFM信號在該方向上形成沖擊函數，具有最佳的時頻聚集性，這時，利用在分數階傅里葉域上的窄帶濾波，就可以很好的提取LFM信號。

3 FRFT在地震信號處理中的應用

由于地震面波和有效波混雜在一起，面波的能量比有效波能量強，幾乎淹沒了有效波。只有選擇一個合適的旋轉角度，才能使面波和有效波在時頻域實現分離。在處理過程中必須通過大量的試驗找出的最佳變換階數，然后在該分數階域內設計濾波器去除面波，達到壓制面波的效果。因此，使得數據處理過程變得復雜和不確定。

文中利用分數階自相關結合分數階傅里葉變換的方法來對地震信號進行處理，實現使地震有效波與面波干擾波的有效分離。具體方法如下：

（1）對采集的地震信號進行分數階自相關變換，通過得到的峰值點確定有效信號調頻斜率，從而確定分數階傅里葉變換的最佳旋轉階數p。

（2）根據第一步獲得的參數對原始信號進行分數階傅里葉變換，在分數階域設計理想窄帶濾波器實現對面波的壓制。

（3）進行分數階傅里葉反變換，得到信號的時域表示。

4 理想窄帶矩形濾波器的局限性分析

實驗證明采用這種方法可以有效壓制高強度的面波，但從處理后數據的進一步分析發現這種方法使得地震信號有效波同相軸的連續性變差，其問題來源于濾波方法的選擇。

分數階域的濾波通常采用理想濾波器對噪聲進行遮隔處理，這將導致信號因截斷而產生譜泄露，使得主譜線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，這不僅影響頻率分辨率，嚴重時強信號的旁瓣可能湮滅弱信號的主譜線，或者將強信號譜的旁瓣誤認為是另一信號的譜線，從而形成加信號，使譜分析產生交大的偏差。

圖1為理想LFM信號的時域波形及其在分數階傅里葉變換域的波形，圖2為加噪的LFM信號的時域波形及其在分數階傅里葉變換域的波形，圖3為該信號經過理想窄帶濾波處理后的信號時域波形及分數階傅里葉變換波形。通過圖1和圖3的對比可以發現，經過理想窄帶濾波后，并沒有很好的恢復原理想LFM信號的波形。原因就是某一階次的分數階傅里葉域的矩形波，經傅里葉逆變換回時域會使信號發生變形，形成很多旁瓣，階次不同旁瓣的幅值也不同，這樣的濾波函數與信號相乘使信號的幅值被調制而產生嚴重變形，從而不能很好的恢復提取信號的原來面貌。

5 壓制面波的指數帶陷濾波器

理想窄帶矩形信號因截斷效應而發生畸變使得被處理信號發生變形是不可避免的，但可通過取更長的數據作為濾波函數，使截斷加寬，盡管這樣會導致存儲量和運算量增加。另外數據不要突然截斷，也就是不要加矩形窗，而是緩慢截斷，即采用幅值漸變的窗，使得窗譜的旁瓣能量更小，卷積后造成的泄露減小。

6 實驗驗證

以實際地震數據資料為研究對象，其中采集道數為64道，道間距為15米，采樣點數為1280，采樣間隔為0.004s。圖7是處理前和處理后的對比結果。從濾波處理后的b圖可以看到，面波得到了很好的壓制，且同相軸的連續性也較好。

7 結束語

利用理想窄帶濾波器在分數階傅里葉域進行噪聲壓制后，再進行傅里葉逆變換回到時域時，因理想濾波器的截斷效應，使得濾波處理后信號的波形發生變化。為解決這一問題，文中設計了指數形式的濾波函數，并通過試驗證明該濾波函數可以有效的解決噪聲壓制后信號波形嚴重失真的問題。

參考文獻

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作者簡介：雷立群（1977-），女，吉林省長春市人，單位：吉林農業科技學院機械工程學院，學歷：碩士，研究方向：儀器科學與技術。