習題靈活變式　實現融會貫通

高海軍

摘 要：解題教學不能就題講題，泛泛而談，應努力挖掘題目背景所承載的知識，思想、經驗，以及數學核心素養。教師可借助對一道練習題的解答情況進行分析和變式拓展，形成平時教學中一題多變、多解歸一、建構模型、思想內化等策略，促進學生深度思考，提升學生核心素養，培養學生分析問題和解決問題的綜合能力。

關鍵詞：等邊三角形;共頂點;變式

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2021）31-0127-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2021.31.063

數學教育家G·波利亞說過：“掌握數學意味著什么？那就是解題。”解題是數學學習的一個核心內容和一種最基本的思維活動形式，是貫穿于整個學習數學的始終。本文借助教材課后習題解答的深度分析，挖掘內在本質，靈活變式條件，激發學生解題數學思維，提升學生的數學素養。

一、題目呈現

“已知如圖1，△ABD，△AEC都是等邊三角形，求證DC=BE。”本題是新人教版八年級下冊數學第十三章平行四邊形復習題鞏固綜合運用第12題，是學生學習了全等三角形、軸對稱、等腰三角形、等邊三角形知識后的一道綜合運用題，需要學生靈活運用等邊三角形的性質和全等三角形的判定來解決，中等難度。

（一）解決策略

思考：如何證明DC=BE，圖形結構上有什么特點？

基本思路：利用學生已掌握的等邊三角形性質，以及圖形特點共頂點等線段，容易得到三角形全等的條件，再證明△ADC，△ABE全等即可。

規范解答：

證明： ∵△ABD，△AEC都是等邊三角形

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=60°

∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC

即∠DAC=∠BAE

在△ADC和△ABE中AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

∴△ADC ≌ △ABE （SAS）

∴DC=BE

（二）拓展問題

結合圖形進一步思考，挖掘新問題讓學生計算∠BPC的度數，培養學生解決問題的基本能力。分析：計算∠BPC的度數，可以轉化為計算∠DPB的度數，由三角形全等可獲得∠ADC=∠ABE，又有對頂角相等，結合三角形內角和定理可以推出∠DPB=∠DAB=60°，從而算出∠BPC=120°。

二、共線共頂點變式

如圖2，點C是線段AB上除點A，B外的任意一點，分別以AC，BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和△BCE，連接AE交DC于點M，連接BD交CE于點N，連接MN。求證：1.AE=BD;2.MN∥AB;3.計算：∠AFB。

證明：1.∵△ACD和△BCE是等邊三角形

∴AC=CD，BC=EC? ∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°

∴∠ACE=∠DCB=120°

∵AC=CD，BC=EC ∠ACE=∠DCB

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=BD

2.∵△ACE≌△DCB（SAS）

∴∠CDB=∠CAE? 即∠CDN=∠CAM

∵∠ACM=∠DCN=60° ∠CDN=∠CAM? ?AC=CD

∴△ACM≌△DCN（ASA）

∴CM=CN

∵∠MCN=∠DCE=60° CM=CN

∴△CMN是等邊三角形

∴∠CMN=∠ACD=60°

∴MN∥AB

3.∵∠CDB=∠CAE

即∠MDF=∠CAM ∠AMC=∠DMF

∴∠DFM=180°-∠MDF-∠DMF

∠ACM=180°-∠CAM-∠AMC=60°

∴∠DFM=60°

∴∠AFB=180°-∠DFM=180°-60°=120°

反思：此環節是學生在已掌握基本思維和方法的基礎上，通過三個問題的設計，進一步鞏固加強學生對圖形變換后解決問題和分析問題的能力培養，有助于學生內化為自己的邏輯思維.

三、能力提升變式

如圖3 ，若BD與AE相較于點P，連接CP，判斷下列結論正確與否，對的噠“√”，錯的打“×”。

1.∠APD=60° （? ? ）

2.△ACM≌△DCN （? ? ）

3.CM=CN （? ? ）

4.△CMN是等邊三角形 （? ? ）

5.ME=BE （? ? ）

6.CP平分∠APB （? ? ）

此環節設計的意圖是對基本圖形的簡單變換，挖掘更深層次的問題，可以很大提高學生分析問題、解決問題的能力，激發學生創造性思維和好奇心。通過前面的講解，學生容易把前五個問題判斷出來， 問題6重點考查學生的綜合能力，通過三角形全等可推理得到面積相等，由AE=BD可得這兩條邊上的高相等，再結合角平分線的判定定理，可以證明出CP平分∠APB 。

四、共點等腰三角形變式

如圖4，CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，AD，BE相交于點H，連接CH。求證：1.AD=BE;2.HC平分∠AHE;3.求∠AHE的度數（用含α的式子表示）。