導數在經濟學中關于邊際問題的應用

摘 要：導數在經濟學中有著重要的地位，本文通過幾個例子說明導數在經濟學中關于邊際成本、邊際收益、邊際利潤的應用并分析其經濟意義.

關鍵詞：導數 邊際成本 邊際收益 邊際利潤

導數是微積分的重要組成部分，同時在經濟學中有很多直接的應用，把函數的導數稱為的邊際函數.利用邊際函數研究邊際問題是經濟學中的一個重要方法.接下來將運用導數知識分析和解決某些經濟學中的邊際問題。

一、邊際成本

設總成本函數為，為產量，則生產個單位產品的平均成本函數為，表示生產個單位產品時，平均每單位產品的成本；邊際成本函數為表示生產個單位產品后再增加的那個單位產量所花費的成本。

例1.生產個單位某產品的總成本函數為，求生產20個單位產品的總成本及平均成本和邊際成本.

解：總成本為。

平均成本為

邊際成本為。

其經濟意義是：生產20個單位產品時，平均每單位產品的成本為99.8，生產20個單位產品后再增加的那個單位產品所花費的成本為99.6，平均成本與邊際成本沒有明顯的差異。

二、邊際收益

設總收益函數為，其中為價格，為銷售量。設需求函數為，則總收益函數為，平均收益為，說明價格可以看作是從需求量上獲得的平均收益.

邊際收益為，表示當銷售個單位時，多銷售一個單位或少銷售一個單位產品增加或減少的收益。

例2.設一種商品的需求函數為。

其中為價格，為銷售量，求銷售2個單位時的總收益、平均收益及邊際收益，并求當銷售量從2個單位增加到3個單位時收益的平均變化率。

解：設總收益為，則

當銷售量為2個單位時，有

總收益。

平均收益。

邊際收益

當銷售量從2個單位增加到3個單位時收益的平均變化率為。

其經濟意義是：銷售量為2個單位時總收益是32，平均收益是16.當銷售2個單位時，多銷售1個單位或少銷售1個單位產品增加或減少的收益是8。

三、邊際利潤

設總利潤函數為，其中為總收益，為總成本。則生產個單位的產品的平均利潤為，邊際利潤為.

例3.已知一種產品的售價為300，總成本函數為。

求總利潤函數、邊際利潤，以及使邊際利潤為零的產量。

解：設利潤函數為，收益函數為，則

故邊際利潤為。

令，解得

其經濟意義是：銷售量在1250基礎上再銷售一個產品時，不帶來利潤，1250就是實現最大利潤的銷售量.從以上幾個例子我們可以看出：導數的計算是經濟學中常用的計算方法，在很多實際的經濟問題中有著廣泛的應用。

參考文獻：

[1]吳傳生.經濟數學——微積分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]趙勝民.經濟數學[M].北京：科學出版社，2011.

[3]左連萍.經濟應用數學[M].西安：西北工業出版社，2016.