關于二維正態分布的一個教學注記

摘 要：利用二維正態分布定義中的一個基本事實，簡單地說明了兩個正態分布的聯合分布不一定是二維正態分布，指出了教材中一個性質的不足之處。

關鍵詞：二維正態分布；相關系數；數學問題

眾所周知，二維正態分布是概率論中非常重要的一種分布，其性質也是很重要的，但很多教材在討論兩個正態分布的聯合分布是不是二維正態分布這個問題時，要么就是說得不是很清楚，要么就是沒有給出例子，要么就是給出的例子比較復雜，其實只要注意到二維正態分布定義中的一個基本事實，這個問題就可以說得很清楚。

首先，給出二維正態分布的定義：如果二維隨機變量（X，Y）的概率密度函數為：

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均為參數，且σ1>0，σ2>0，ρ<1，則稱（X，Y）服從參數為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態分布，記作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。

經過討論，發現如果（X，Y）服從二維正態分布，那么兩個分量X，Y都服從一維正態分布，而且參數ρ就是兩個分量X，Y的相關系數，它是不能等于1和-1的，也就是說（X，Y）服從二維正態分布的前提是：兩個分量X，Y是正態分布，而且它們的相關系數不是1和-1。

如果二維隨機變量（X，Y）的兩個分量X，Y是同一正態分布，都是X，那么（X，Y）就不服從二維正態分布，因為兩個分量的相關系數是1。這樣我們就很容易解釋，為什么兩個分量是正態分布，但它們的聯合分布不一定是正態分布。

另外，一些教材中往往給出二維正態分布的這樣一個性質：

性質：若（X，Y）服從參數為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態分布，那么（aX+bY，cX+dY）服從二維正態分布。

我覺得這個性質是不嚴謹的，比如a=c=1，b=d=0這時（aX+bY，cX+dY）為（X，X），兩個分量的相關系數為1，（X，X）就不服從二維正態分布。更一般的，如果a b

c d=0，那么（aX+bY，cX+dY）的兩個分量aX+bY和cX+dY成比例，其相關系數為1或-1，（aX+bY，cX+dY）就不服從二維正態分布。應該再加一個前提，就是行列式a b

c d不等于0，就可以利用二維正態分布的定義證明（aX+bY，cX+dY）服從二維正態分布，這樣就沒有問題了。

參考文獻：

[1]魏宗舒.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社，2004-04-01.

[2]盛驟.概率論與數理統計[M].高等教育出版社，2008-06-01.

[3]陳希孺.概率論與數理統計[M].國防工業出版社，2010-01-01.