小細(xì)節(jié)彰顯大智慧

伴隨著學(xué)習(xí)的深入，知識點逐漸增多，為使學(xué)生清楚地認(rèn)知問題，避免混沌，在教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地對易混易錯知識進(jìn)行對比，分析出錯的原因，洞悉出錯類型，借此提高學(xué)生的辨析能力，培養(yǎng)認(rèn)知的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性，從而由表及里地完成新知的順應(yīng)。那么如何構(gòu)造易錯易混問題呢？筆者認(rèn)為可通過以下方式：

一、變“字”

例1.（2011山東高考改編）求曲線y=x3+11在點p（1，12）處的切線方程。

解：由f′（x）=3x2得切線的斜率k=f′（1）=3，過點p（1，12）的曲線的切線方程為y-12=3（x-1），即y=3x+9。

如果解題“點到為止”，就失去了該題潛在的糾錯功能。現(xiàn)做如下變化：

求曲線y=x3+11過點p（1，12）處的切線方程。

變了個字！學(xué)生大多不以為然，解答如出一轍。此時，教師可通過繪圖剖析得到函數(shù)過此點處的切線的數(shù)量，引導(dǎo)學(xué)生反思、辨析，從而明確差別：即此處所求的切線只說經(jīng)過點p，而沒有說點p一定是切點，故切線的斜率k與f′（1）未必一定相等。而在點p處的切線，則點p一定是切點。由此探討歸納解法：

正解：設(shè)經(jīng)過點p（1，12）的直線與曲線相切于點（x0，x03+11），則由f′（x）=3x2得在點（x0，x03+11）處的斜率k=f′（x0）=3x02，

設(shè)切線方程為y-（x03+11）=3x02（x-x0），把點p（1，12）代入切線方程得12-（x03+11）=3x02（1-x0），即2x03-3x02+1=0解得x0=1或x0=.

思考：這種輕而易舉的變式，顯然會麻痹學(xué)生的思維，特別對于“時間至上”論點的經(jīng)驗主導(dǎo)者而言，更會“飛蛾撲火”，則教訓(xùn)一定是深刻的。所以，解題一定要切記“欲速則不達(dá)”，應(yīng)“字斟句酌察細(xì)節(jié)、規(guī)行矩步達(dá)細(xì)節(jié)”。當(dāng)然，這“一字之變”要切準(zhǔn)知識傳承與數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)和能力提升的平衡點、鏈接點、生長點，以更好地促進(jìn)有效教學(xué)的發(fā)生，使學(xué)生認(rèn)識到“細(xì)節(jié)積聚著一種功力、蘊(yùn)涵著一種魅力、孕育著一種素養(yǎng)”。

調(diào)整了敘述次序！相信不少的學(xué)生會不以為然，認(rèn)為沒什么影響，于是解法同上，導(dǎo)致錯解。為此，教師可通過特值代入，舉例驗證。然后引導(dǎo)學(xué)生辨析“敘述次序的變化”對問題的影響：顯然是把“區(qū)間上單調(diào)”問題和“單調(diào)區(qū)間”問題混淆了。

警示：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)等價于恒成立問題。（2）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題。

思考：準(zhǔn)確快速解題就要把握問題的特征，如外形特征、結(jié)構(gòu)特征、數(shù)值特征、目標(biāo)特征等，其中，結(jié)構(gòu)就是數(shù)學(xué)問題的搭配形式，某些問題已知的順序結(jié)構(gòu)中常常隱含著某種特殊的關(guān)系，而改變這種順序，可能就意味著改變問題的屬性，從而改變問題的求解思路，所以這種看似平淡的變化中會隱藏著巨大的教學(xué)價值，不斷地訓(xùn)練就會使學(xué)生經(jīng)常注意對問題的特征進(jìn)行仔細(xì)的觀察、分析和聯(lián)想，對找準(zhǔn)解題的思維起點、提高解題能力將大有裨益。

上面給出的例題都是學(xué)生比較熟悉的題目，多數(shù)學(xué)生能正確求解，對應(yīng)構(gòu)造的變式則與例題是易混易錯題，學(xué)生做完例題后嘗試變式，若不注意到其中的變化，則受思維定式的作用，會套用“前車之鑒”，導(dǎo)致出錯。而由學(xué)生在錯中改錯，讓他們再經(jīng)歷一次嘗試與修正的過程，不但可以增強(qiáng)識別、改正錯誤的能力，更可以培養(yǎng)學(xué)生“審慎”的思維習(xí)慣，提高思維的控制力。著名的學(xué)術(shù)理論家、哲學(xué)家波普爾曾說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤法。”本文提到的兩種構(gòu)造方式皆是“小手術(shù)”，但卻能反映、處理一些“大頑疾”，不失為試誤方法中的“點睛之筆”，可謂“小細(xì)節(jié)中隱藏大智慧”。

編輯 魯翠紅