函數思想在解題中的應用例析

函數是研究變量及相互聯系的數學概念，是變量數學的基礎，與數學的其他知識之間有著廣泛而又密切的聯系，揭示并認識這種內在聯系，對提高分析問題的能力具有重要的意義.所以函數思想滲透到數學的各個領域.函數思想是用運動和變化的觀點，去分析和研究數學問題的數量關系.用函數思想解題，具體表現在兩個方面：一是借助函數一些性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造輔助函數，把原問題轉化為函數的有關性質討論，以達到化難為易、化繁為簡的目的.

一、以函數為依托，強化函數思想在集合問題中的運用

集合與函數都是數學中最基本、最重要的概念，它們既有區別，又有聯系.用函數思想解集合問題，不僅能加強知識間的橫向聯系，還能培養解題能力，提高解題效率.

例1已知集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-2ax+a+2≤0}，且BA，求實數a的取值范圍.

解：當B=時，即方程x2-2ax+a+2=0的判別式Δ<0，所以4（a2-a-2）<0，解得-1

當B≠時，設f（x）=x2-2ax+a+2，因為A={x|1≤x≤4}，所以f（x）=0的兩根在區間[1，4]之間，如圖所示，有：

f（1）=1-2a+a+2≥0，f（4）=16-8a+a+2≥0，Δ=4a2-4（a+2）≥0，1≤--2a2≤4.2≤a≤187.②

綜合①、②得a的取值范圍為-1

例2設A={x|1

解：設f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，

g（x）=x2-2bx+5=（x-b）2+5-b2.

要使AB，則必須使f（x），g（x）在[1，3]上的函數圖象落在x軸下方，即：

f（1）≤0，f（3）≤0.a-1≤0，a+3≤0.a≤-3，

且g（1）≤0，g（3）≤0.-2b+6≤0，14-6b≤0.b≥3.

∴滿足條件的a、b取值范圍為a≤-3且b≥3.

評析：在理解集合符號的基礎上，準確地將集合語言轉化為初中已學過的數學問題，然后用函數知識和方法把問題解決.這種轉化可以把抽象知識用簡潔、準確的數學語言表達出來.運用函數思想來研究集合中有關參數取值范圍的問題，就是將集合之間……