考問(wèn)題求解策略之中點(diǎn)弦

中點(diǎn)弦問(wèn)題常見的題型有：1.求中點(diǎn)弦所在的直線方程；2.求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；3.求弦長(zhǎng)為定值的弦中點(diǎn)的坐標(biāo).常用的求解策略是：1.兩式相減用中點(diǎn)公式求得斜率；2.聯(lián)列方程組用韋達(dá)定理.

例1.已知直線 與拋物線 交于A，B兩點(diǎn)，那么線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

解析：設(shè) ，由 得 ，從 ，因此，線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

例2.橢圓 中，一組平行弦中點(diǎn)的軌跡是 （在橢圓內(nèi)的一段），則這組平行弦的斜率為 .

解析：設(shè) 是這組平行弦中的一條弦與橢圓的交點(diǎn)，從而 ，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程并相減得 ，即 .

例3.直線 與橢圓 交于 兩點(diǎn)，線段 的中點(diǎn)為P，設(shè)直線 的斜率為 ，直線OP的斜率為 ，則 的值等于（ ）

A.2 B. C. D.

解析：D.設(shè) ，從而 ，因此 ，把 代入橢圓方程并相減得 ，故 .

例4.直線 交拋物線 于A，B兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則 .

解析：設(shè) ，由 得 ，又由 知 .又 ，從而 得 .

例5.已知橢圓 ，求以點(diǎn)P 為中點(diǎn)的弦所在的直線方程.

解析：設(shè)所求直線與橢圓相交于 ，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程并相減得 ，又因?yàn)辄c(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，則 ，從而得到 ，∴所求直線方程為 .

例6.已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為 和 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線 交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo).

解析：設(shè) ，并根據(jù)題意，得橢圓的方程為 ，把直線 方程代入橢圓方程并整理得 ，從而 .因此線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .