四個易混淆的極限

摘 "要：本文較詳細的介紹了四個極限的求值方法與原理，并對其進行歸類.通過舉例加深對原理和方法的掌握。

關(guān)鍵詞：極限;第一重要極限;無窮小;有界函數(shù)

一、引言

高數(shù)的極限學習過程中，一般都會碰到這幾個極限的求值問題： "、 "、 xsin 、 xsin ，這四個極限在表達形式上有的大同小異，有的又完全不一樣，所以很多學生在求值的過程中就很容易混淆，甚至不知道到底有什么區(qū)別.本文分別介紹四個極限的求值過程、求值原理、以及與這四個極限相聯(lián)系的其他例題的求解，讓學生對求相關(guān)極限有較深層次的理解和掌握.

二、四個極限

1、 "與 xsin 是高等數(shù)學教材上兩個重要極限之一，求值過程中用到夾邊準則、用到單位圓的圖形中相關(guān)三角形與扇形面積關(guān)系的不等式，這里不再重復求解了，大家都應該都知道 "=1，再給大家介紹另外一種求值方法，在學過洛必達法則之后，這個極限可以通過洛必達法則來求：分析：洛必達法則的三個條件都滿足，所以 "= "=1求出的值也與通過夾邊準則求出來的是完全吻合的.這個重要極限的擴展形式也非常重要，當x→0時，有 →0，即： "=1 。 （擴展形式必須滿足兩個條件：（1）x→0，（2）分子分母上的△保持 一致 "）。這個重要極限的值以及它的擴展形式在高等數(shù)學的學習過程中非常重要，一定要牢記。

xsin 與 "表達形式上不同，實質(zhì)上還是一樣的，只是做了一下變形，對x的位置作恒等變化后得： xsin = "，當x→∞時， →0，這剛好是第一個重要極限的擴展形式，所以 xsin =1

2、 xsin 與

對于 xsin ，當x→0時，xsin "中x→0，sin 在-1與1之間取值，sin ，即sin 為有界函數(shù)，無窮小的性質(zhì)中有無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小，所以 xsin =0

對于 "，與 xsin 的求值過程很類似，只需做一個小變換即可。

= "sinx ，當x→∞時， →0，為無窮小，sinx為有界函數(shù)，同樣的原理得 "=0。

綜上所述可得： "= xsin =1（重要極限及其擴展知識）。

xsin = "=0（無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小）。

三、應用舉例

為了更好的熟練和理解上述求值過程中用到的知識點，下面通過舉例來鞏固。

例1、求

解： "= （1- ）=1-1=0

例2、求

解： " = "= =0

例3、求 （x-1）sin

解： （x-1）sin = "=1

三個例題中用到了重要極限的結(jié)論及擴展形式，用到了無窮小乘有界函數(shù)仍為無窮小的知識.

小結(jié)：對于上述知識還應多看，多理解，多練習才能熟練掌握。在高數(shù)的學習過程中要學會歸納記憶和理解，分門別類，這樣才能掌握得更好，理解得更透徹。

參考文獻：

[1] 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學[M].高等教育出版社，2000：76-85.

[2] 周志燕，程黃金.高等數(shù)學[M].東北大學出版社，2014：26-30.