一個不可測集的構造

焉志豪

[摘 要] 利用Zermelo選擇公理，構造一維空間中的一個Lebesgue不可測集，計算不可測集的內、外測度.該不可測集的構造不依賴于Lebesgue測度的平移不變性.

[關 鍵 詞] 不可測集；稠密集；Caratheodory條件

[中圖分類號] O174.1 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2016）03-0171-01

在實變函數理論中，通常不可測集的構造除了利用Zermelo選擇公理，還需利用Lebesgue測度的平移不變性；此外，不可測集的內、外測度并未具體求出.本文的目的是僅利用Zermelo選擇公理但不依賴于Lebesgue測度的平移不變性具體構造一個不可測集，同時也計算出集的內、外測度.

在實變函數理論中，關于可測集的刻畫有下列重要結果.R中的子集E為可測集的充要條件是：對任何一個集合A，等式m*A=m*（A∩E）+m*（A-E）（8）成立.條件（8）稱為Caratheodory條件，該條件也是抽象測度理論中刻畫可測集的充要條件.

根據上述定理，若E為不可測集，一定存在一個集合A，使得條件（8）不成立.

參考文獻：

[1]鄭維行，王升望.實變函數與泛函分析概要[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]夏道行，吳卓人，嚴紹宗，等.實變函數與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2010.