有限增長級條件下超越整函數和亞純函數的一階差分方程的零點和不動點研究

章輝梁，高宗升　(北京航空航天大學數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

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有限增長級條件下超越整函數和亞純函數的一階差分方程的零點和不動點研究

章輝梁，高宗升(北京航空航天大學數學、信息與行為教育部重點實驗室，北京 100191)

[摘要]對超越整函數和亞純函數一階差分方程的零點和不動點的研究，很多的研究結果都是基于函數的增長級σ(f)≤1，而在有限增長級1<σ(f)<∞的情況下，研究結果則相對較少。利用Nevanlinna的基本理論和方法，探討了在有限增長級的條件下，超越整函數和亞純函數一階差分方程零點和不動點的存在性。首先，結合Hadmard因子分解定理研究了在一定的條件下超越整函數的一階差分方程零點和不動點的存在性，證明了其有無窮多個零點和無窮多個不動點。其次，把對超越整函數的零點和不動點的存在性研究，推廣到了亞純函數，繼續探討了亞純函數在有限增長級條件下零點和不動點的情況，得出了相應的結論。

[關鍵詞]一階差分；零點；不動點

亞純函數Nevanlinna理論的一些基本概念和標準記號見文獻[1～3]，用T(r,f)表示復平面上亞純函數f的特征函數，用σ(f)表示f(z)的增長級，用λ(f)表示f(z)的零點收斂指數。差分算子Δf的具體定義[4]如下：

Δf(z)=f(z+1)-f(z)

Δn+1f(z)=Δnf(z+1)-Δnf(z)n=0,1,2,…

定理B設f(z)是超越亞純函數，下級u(f)<1，設c∈C/{0}使得f(z)最多只有有限多個極點zj,zk滿足zj-zk=c，則h(z)=f(z+c)-f(z)有無窮多個零點。

陳宗煊在文獻[6]中推廣了Bergweiler和Langley的結果，得到了如下的定理。

定理C設f(z)為超越整函數，增長級σ(f)=σ<1，設c∈C/{0}，H={zj}是由f(z)的所有不同零點構成的集合，且H滿足下面2個條件中的任意一個：

(i)至多存在有限多個零點zj,zk滿足zj-zk=c；

在文獻[7]中，崔魏魏、楊連忠研究了在σ(f)=σ=1等相關條件下，亞純函數的零點和不動點的情況，得到了如下的定理：

定理Df(z)是復平面上的超越亞純函數，增長級σ(f)=σ=1。如果f(z)具有有限多個極點和無窮多個零點，且零點收斂指數λ(f)<1，則g(z)=f(z+1)-f(z)有無窮多個零點和不動點。

上述的定理A～E對整函數、亞純函數零點和不動點存在性的研究，都要求σ(f)=σ≤1。很自然地想到：如果函數的增長級滿足1<σ(f)<∞，那么其零點和不動點是否存在？下面，筆者研究了在有限增長級1<σ(f)<∞的情況下，整函數、亞純函數的零點和不動點存在性。

1引理

引理1如果p(z)是一個degp(z)≥1的多項式函數，且存在某一復常數A使得：

p(z+c)-p(z)=A

其中c≠0。那么一定有degp(z)=1。

證明不妨設多項式p(z)，其次數為n(n≥2)，存在某一復常數A使得：

p(z+c)-p(z)=A(c≠0)

可設：

p(z)=anzn+an-1zn-1+…+a0n≥2

其中an,an-1,…,a0是該多項式的復系數，并且an≠0，因此有：

p(z+c)=an(z+c)n+an-1(z+c)n-1+…+a0

引理2[8]設fj(z)(j=1,…,n)(n≥2)是亞純函數，gj(z)(j=1,…,n)都是整函數，且滿足下面3個條件：

(ii)當1≤j

(iii)當1≤j≤n，1≤h

則：

fj(z)≡0(j=1,…,n)

2超越整函數的零點和不動點

定理1設f(z)為超越整函數，增長級1<σ(f)<∞，f(z)有無窮多個零點且零點收斂指數λ(f)=λ<1，則g(z)=f(z+1)-f(z)有無窮多個零點和無窮多個不動點。

證明先證g(z)有無窮多個不動點。根據Hadmard因子分解定理，可得：

f(z)=h(z)ep(z)

(1)

其中,h(z)是由f(z)的零點構成的典型乘積，且σ(h)=λ(h)=λ(f)<1；p(z)是個degp(z)>1的多項式。

構造函數：

g*(z)=f(z+1)-f(z)-z

因此只須證明g*(z)有無窮多個零點。假設g*(z)只有有限多個零點，由Hadmard因子分解定理，可得：

g*(z)=g(z)-z=h*(z)ep*(z)

(2)

其中,h*(z)是由g*(z)的零點構成的典型乘積，且σ(h*)=λ(h*)<1；p*(z)是個degp(z)≥2的多項式。

結合式(1)與式(2)，有:

h(z+1)ep(z+1)-h(z)ep(z)-h*(z)ep*(z)-z≡0

(3)

接下來驗證式(3)滿足引理2的相關條件。若p(z+1),p(z),p*(z)兩兩相減都不等于常數，由于max{σ(h),σ(h*)}<1，因此式(3)顯然是滿足引理2的，因此可得h*(z)≡0，顯然矛盾。

若p(z+1),p(z),p*(z)兩兩相減存在等于常數的情形，分以下3種情況證明式(3)滿足引理2的相關條件。

第1種情況：假設p(z+1)-p(z)≡A1,A1為常數。根據引理1可得：

p(z)=az+d

(4)

其中,a,d為常數且a≠0。

將式(4)代入式(3)，可得:

h(z+1)eaz+a+d-h(z)eaz+d-h*(z)ep*(z)-z≡0

[h(z+1)ea-h(z)]eaz+d-h*(z)ep*(z)≡0

(5)

這顯然與eaz+d的超越性相矛盾。

第2種情況：假設p(z+1)-p*(z)≡A2,A2為常數。根據式(3)，可得：

[h(z+1)eA2-h*(z)]ep*(z)-h(z)ep(z)-z≡0

(6)

第3種情況：p(z)-p*(z)≡A3，A3是常數，同樣根據第1種情況類似的證法，可以得出矛盾。

根據以上的3種情況，可得式(3)滿足引理2的條件，因此可得h(z)≡0，矛盾，所以g(z)有無窮多個不動點。對于證明g(z)有無窮多個零點，可采用完全類似的方法進行證明。

3超越亞純函數的零點和不動點

證明先證g(z)有無窮多個不動點。根據Hadmard因子分解定理，可得：

(7)

其中，Q(z)是個degQ(z)>1的多項式；h(z),S(z)分別是由f(z)的零點和極點所構成的典型乘積，且滿足：

λ(h)=σ(h)<1

λ(S)=σ(S)<1

構造函數：

g*(z)=f(z+1)-f(z)-z

(8)

因此只須證明g*(z)有無窮多個零點。

結合式(7)與式(8)可得：

g*(z)=h(z+1)S(z+1)eQ(z+1)-h(z)S(z)eQ(z)-z

(9)

假設g*(z)只有有限多個零點，根據Hadmard分解定理，可得：

(10)

其中，Q*(z)為多項式；h*(z),S*(z)都是整函數，且滿足λ(h*)=σ(h*)<1。

根據式(10)可知，S*(z)至多是以S(z)S(z+1)的極點所構成的典型乘積，因此可得λ(S*)=σ(S*)<1。

結合式(9)與式(10)可得：

H1(z)eQ(z+1)-H2(z)eQ(z)-H3(z)eQ*(z)-H4(z)≡0

(11)

其中，H1(z)=S*(z)S(z)h(z+1)；H2(z)=S*(z)S(z+1)h(z)；H3(z)=S(z+1)S(z)h*(z)；H4(z)=zS(z+1)S(z)S*(z)；且函數Hi(z)(i=1,2,3,4)都是整函數。

由：

λ(h)=σ(h)<1

λ(S)=σ(S)<1

λ(S*)=σ(S*)<1

可知：

σ(Hi)<1(i=1,2,3,4)

利用與定理1類似的證明方法，可證式(11)也滿足引理2的相關條件，因此可以得到S(z)≡0或S*(z)≡0。顯然矛盾，因此g(z)有無窮多個不動點。同理可證g(z)有無窮多個零點。

4結語

從定理1、定理2中可以看出，其對整函數、亞純函數差分函數零點和不動點存在性的研究，是基于函數的增長級1<σ(f)<∞，這一定程度上推廣了前人的結果。

[參考文獻]

[1]LaineI.Nevanlinnatheoryandcomplexdifferentialequations[M].Berlin：WdeGruyter, 1993.

[2]HaymanWK.Meromorphicfunctions[M].Oxford：ClarendonPress, 1964.

[3]YangL.Valuedistributiontheoryandnewresearch(inChinese) [M].Beijing:SciencePress, 1982.

[4]WhittakerJM.Interpolatoryfunctionstheory[M].Cambridge：CambridgeUniversityPress, 1935.

[5]BergweilerW,LangleyJK.Zerosofdifferenceofmeromorphicfunctions[J].MathProcCambPhilSoc, 2007, 142: 133～147.

[6]ChenZX,ShonKH.Onzerosandfixedpointsofdifferencesofmeromorphicfunctions[J].JMathAnalAppl, 2008,344:373～383.

[7]CuiWeiwei,YangLianzhong.Zerosandfixedpointsofdifferenceoperatorsofmeromorphicfunctions[J].ActaMathematicaScientia, 2013, 33B(3):773～780.

[8] 儀洪勛，楊重駿.亞純函數唯一性理論[M].北京:科學出版社,1995.

[編輯]張濤

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)04-0010-04

[中圖分類號]O174.5

[作者簡介]章輝梁(1990-)，男，碩士生，現主要從事復分析及其應用方面的研究工作；E-mail：huiliangzhang_buaa@163.com。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11371225)。

[收稿日期]2015-10-20

[引著格式]章輝梁，高宗升.有限增長級條件下超越整函數和亞純函數的一階差分方程的零點和不動點研究[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(4)：10～13.