利用函數導數確定極值點與拐點的方法探析

邵景行

【摘 要】應用函數的導數來判斷給定區間內函數的增減性與凸凹性，明確極值點和拐點是高等數學學習過程中的重點與難點，本文現就該內容所涉及到的方法做一簡單的歸納與整理，以期對該內容的學習者有所幫助。

【關鍵詞】導數；極值點；駐點；拐點

Analysis on the Method of Determining the Extreme Point and the Turning Point by using the Function Derivative

SHAO Jing-xing

（Hainan Normal University School of mathematics and statistics， Haikou Hainan 571158， China）

【Abstract】Using the derivative of the function within the specified interval decreasing function and convex and concave of judgment and determine the function of the extreme point and inflection point is the emphasis and difficulty in the process of learning higher mathematics， methods in this paper， the content involves the do generalize a finishing， in order on the learners help.

【Key words】Derivative； The extreme Point； The Turning Point

1 關于函數的增減性

定義1：對于某區間內任意給定的x1、x2，且x1

根據定義1的幾何意義，有如下判斷函數增加性的方法。

定理1：設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，若在（a，b）內f ′（x）>0，則f（x）在[a，b]上單調遞增；若在（a，b）內f ′（x）<0，則f（x）在[a，b]上單調遞減。

有些函數在整個的考察范圍上并不是單調的，這時就要把考察范圍劃分成幾個單調區間。導數等于0的點和導數不存在的點可能是函數單調區間的分界點，所以，求函數單調區間的步驟為：

（1）確定函數的定義域；

（2）求函數的一階導數f′（x）=0的點和f ′（x）不存在的點，將定義域分割成幾個部分區間；

（3）列表確定f ′（x）在各個部分區間內的符號，從而確定f（x）的單調增減區間。

2 關于函數的極值點

定義2：設函數f（x）在點x0的某個領域內有定義，若對該鄰域內任意的x（x≠x0），恒有f（x）f（x0）），則稱f（x0）是函數f（x）的一個極大值（或極小值）。

極大值與極小值均被稱為極值，使函數取到極值的點x0稱為f（x）的極值點。函數取到極值的位置可能是切線斜率等于0（f ′（x）=0）的位置，但切線斜率等于0（f ′（x）=0）的位置不一定就是極值點，除了f′（x）=0的這些位置之外，還有一些位置也可能會是極值點，就是那些函數的一階導數不存在（不可導）的位置。

定理2：若函數f（x）在點x0處可導，且在點x0處取得極值，則必有f ′（x0）=0。

定理3：設函數f（x）在點x0處連續，在點x0的某個鄰域內可導。

（1）當x0，而當x>x0時，f ′（x）<0，則x0是函數f（x）的極大值點，f （x0）是函數極大值。

（2）當xx0時，f ′（x）>0，則x0是函數f（x）的極小值點，f （x0）是函數極小值。

（3）當xx0時，f ′（x）的符號相同，則x0不是函數的極值點。

根據以上定理，求函數f（x）的極值可按以下步驟進行：

（1）求出函數的定義域及一階導數f ′（x）；

（2）求出可能極值點即f（x）的駐點和f ′（x）不存在的點；

（3）用定理3判斷出是否是極值點，若是，再判斷是極大值點還是極小值點；

（4）求出各極值點的函數值就得到函數的極值。

3 關于函數的凸凹性

定義3：在區間（a，b）內，若曲線弧位于其任意一點切線的上方，則稱曲線弧在（a，b）內是凹的，此區間為凹區間；若曲線弧位于其任意一點切點的下方，則稱該曲線弧在（a，b）內是凸的，此區間為凸區間。

一般來說利用定義判斷函數的凸凹性是比較困難的，一般利用函數的二階導數來判斷，對于凹曲線，當x逐漸增加時，其圖像上每一點切線的斜率是逐漸增加的，即函數的導函數是單調遞增函數，函數的二階導數f ″（x）>0；而對于凸曲線，當x的逐漸增加，圖像上任一點切線斜率是逐漸減小的，即函數的導函數是單調遞減函數，函數的二階導數f ″（x）<0。

定理4：設函數f（x）在區間[a，b]上連續，在區間（a，b）內具有一階導數和二階導數，則：

（1）若在區間（a，b）內，f ″（x）>0，則函數f（x）在區間[a，b]上的曲線是凹的；

（2）若在區間（a，b）內，f ″（x）<0，則函數f（x）在區間[a，b]上的曲線是凸的。

4 關于函數的拐點

定義4：連續曲線y=f（x）上的凹曲線與凸曲線的分界點，稱曲線y=f（x）的拐點。

可見，當函數f（x）的二階導數f ″（x）存在時，拐點兩側f ″（x）的符號一定相反。我們一般按照下列步驟來判定曲線y=f（x）的拐點。

（1）確定函數y=f（x）的定義域；

（2）求出可能拐點即使函數的二階導數f ″（x）=0的點和二階導數f ″（x）不存在的點。

（3）對可能是拐點的每一個點x0，考察f ″（x）在點x0左右兩側的符號是否相反，是則是拐點，不是則不是拐點。

5 實例解析在區間（-∞，0]和[2/3，+∞）上曲線是凹的，在區間[0，2/3]上曲線是凸的。點（0，1）和（2/3，11/27）是曲線的拐點。

6 總結

綜上所述，函數的極值點是那些把函數的增減區間劃分開來的點，在這些點兩側函數的增減性是相反的，而能夠做到這一點的點有兩種，一種是一階導數等于0的點即駐點，還有一種就是一階導數不存在的點，但這兩種點兩側的增減性又有可能是相同的，所以為了找出函數的極值點，應該先把可能是極值點的這兩類點找出來，然后一一確認這些點是否極值點。曲線的拐點是那些能把曲線的凸凹性劃分開來的點，在這樣的點兩側曲線的凸凹性正好是相反的，而能夠做到這一點的點同樣有兩種，一種就是二階導數等于0的點，再就是二階導數不存在的點。但這兩種點兩側的凸凹性卻也不一定是相反的，所以為了尋求曲線的拐點，我們應先把可能是拐點的這兩種點找出來，再一一確認他們的兩側凸凹性是否相反。

【參考文獻】

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[責任編輯：王楠]