具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性分析

周學(xué)良

（新疆工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830022）

具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性分析

周學(xué)良

（新疆工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830022）

將N策略與具有反饋搶占、負(fù)顧客到達(dá)的、重試這些服務(wù)規(guī)則結(jié)合在一起，然后運用補(bǔ)充變量方法描述具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)模型。在此基礎(chǔ)上，研究具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)的狀態(tài)空間和共軛空間的完備性。

反饋搶占型；排隊系統(tǒng)；Banach空間；共軛空間

1 重試可修排隊系統(tǒng)模型研究現(xiàn)狀

在具有多通路的遠(yuǎn)程通信網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，由于網(wǎng)絡(luò)信號強(qiáng)弱的原因，客戶端的數(shù)據(jù)傳輸就有可能出現(xiàn)中止、錯誤等現(xiàn)象，這就需要等待數(shù)據(jù)的再次傳輸。有關(guān)學(xué)者研究了具有反饋、啟動失效的重試可修排隊系統(tǒng)。然而在一些排隊服務(wù)系統(tǒng)中，要完成一個服務(wù)可能需要選擇幾個階段的服務(wù)，即被稱為初步服務(wù)和主要服務(wù)。并且在進(jìn)行初步服務(wù)時，顧客具有優(yōu)先權(quán)可以搶占服務(wù)，但在進(jìn)行主要服務(wù)時，顧客不會被優(yōu)先權(quán)高德?lián)屨肌Ｒ虼耍瑓清\標(biāo)等［1］將N策略、具有反饋搶占、負(fù)顧客到達(dá)的、重試這些服務(wù)規(guī)則結(jié)合在一起，然后運用補(bǔ)充變量方法描述具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)模型，并且得到了該排隊系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解存在的充分必要條件。杜紹安等［2］對該模型進(jìn)行了動態(tài)分析，他們首先引入系統(tǒng)的狀態(tài)空間，算子和算子的定義域，將該模型轉(zhuǎn)換為抽象的Cauchy問題，接著運用泛函分析中的線性算子半群理論證明了該模型存在唯一的正時間依賴解，然后當(dāng)失效率函數(shù)為常數(shù)時，得到該模型時間依賴解的漸進(jìn)行為。

此外，通過查閱文獻(xiàn)資料，至今仍未發(fā)現(xiàn)關(guān)于此模型的其他任何結(jié)果。由于杜紹安等［2］研究中模型的狀態(tài)空間涉及到Banach空間，但是沒有給出具體詳細(xì)的證明。本文沿用已有研究［3，4］的證明過程方法，運用泛函分析中線性算子的有關(guān)理論和知識來證明該系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性。

2 主要結(jié)果

一類具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊模型偏微分方程組描述詳見杜紹安等［2］的研究。其中，（x，t）∈［0，∞）×［0，∞）；p1（t）表示系統(tǒng)在時刻t處于待機(jī)狀態(tài)的概率；p2（x，t）dx表示系統(tǒng)在時刻t正在接受初步服務(wù)的顧客已經(jīng)耗去的服務(wù)時間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；p3（x，t）dx表示系統(tǒng)在時刻t正在接受主要服務(wù)的顧客已經(jīng)耗去的服務(wù)時間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；p4（x，t）dx表示系統(tǒng)在時刻t正處于修理的狀態(tài)，并且已經(jīng)用去的服務(wù)時間在區(qū)間［x，x+dx）內(nèi)的概率；用λ+表示正顧客的到達(dá)概率；用λ-表示負(fù)顧客的到達(dá)概率；用θ表示接受主要服務(wù)的概率；δ表示重試概率；α表示搶占服務(wù)的概率；μ（x）表示主要服務(wù)的失效率函數(shù)；η（x）表示初步服務(wù)的失效率函數(shù)；ψ（x）表示修理時間的失效率函數(shù)。

取狀態(tài)空間為：

2.1 定理1——具N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊系統(tǒng)狀態(tài)空間X是Banach空間

可設(shè){gk}={pk}為空間X中的Cauchy序列，那么對，這里又因為ps-pk∈X，所以可根據(jù)狀態(tài)空間中的范數(shù)定義得：

2.2 定理2——具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊系統(tǒng)狀態(tài)空間X的對偶空間X?是Banach空間

利用2.1同樣的證明過程可以得到定理2。仍沿用杜紹安等［2］研究中的符號，且系統(tǒng)狀態(tài)空間和對偶空間完備性的前提下，具有N策略和負(fù)顧客反饋搶占型排隊系統(tǒng)得偏微分方程組可改寫為Banach空間X中的抽象Cau?chy問題：

其中，線性算子A、算子U和算子E的表達(dá)式詳見杜紹安等［2］研究中的符號表達(dá)，從而可以運用泛函分析中的線性算子相關(guān)理論、定理和方法進(jìn)一步研究一類具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)時間依賴解的漸進(jìn)行為及其他一些可靠性指標(biāo)，具體研究資料方法詳見周學(xué)良等［5］的證明過程。

［1］吳錦標(biāo)，尹小玲，劉再明.具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊系統(tǒng)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2009（2）：323-335.

［2］杜紹安，艾合買提·卡斯木.具有N策略和負(fù)顧客的反饋搶占型M/G/1重試可修排隊模型研究［J］.新疆大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2010（1）：37-50.

［3］阿力木·米吉提，蔡玲霞.第二種服務(wù)可選的M/M/1排隊模型狀態(tài)空間及對偶空間的完備性［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（2）：72-76.

［4］周學(xué)良，呂元新.具有三種狀態(tài)可修排隊系統(tǒng)狀態(tài)空間的完備性［J］.科技信息，2013（2）：133.

［5］周學(xué)良，艾尼·吾甫爾.一類具有三種狀態(tài)的可修排隊系統(tǒng)研究［J］.應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2010（2）：149-159.

Analysis of the Completeness of the State Space of Preemptive Queueing System with N Strategy and Negative Feedback

Zhou Xueliang
（Xinjiang Industrial Vocational and Technical College，Urumqi Xinjiang 830022）

The N strategy was combined with a feedback preemption,a negative customer arrival,and retry service rules,then a M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback by using the method of supplementary variable was described.On this basis,the completeness of state space and conju?gate space of the M/G/1 retrial repairable queueing system model with the N strategy and negative customer feedback was studied.

feedback type grab；queuing system；Banach space；conjugate space

O226

A

1003-5168（2016）09-0025-02

2016-08-25

周學(xué)良（1982-），男，碩士，講師，研究方向：可靠性模型的動態(tài)分析。