線性調頻信號時/頻差估計算法

郭付陽　張子敬　楊林森

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室,西安 710071)

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線性調頻信號時/頻差估計算法

郭付陽張子敬楊林森

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室,西安 710071)

摘要提出了一種新的快速估計線性調頻信號時/頻差的算法．該算法將抽取的自模糊函數與Radon變換結合估計線性調頻信號的調頻率,通過分數階傅里葉變換估計出模糊函數脊線與頻率軸交點位置,應用解調頻沿脊線搜索模糊函數峰值．對于接收信號中存在多分量的情況,根據其模糊函數脊線位置的不同,該算法能夠分辨各分量信號,并分別精確估計出各分量的時/頻差．由于只需一維搜索模糊函數峰值,并可用快速傅里葉變換實現,該算法大大減少了運算量．仿真實驗表明,隨著信噪比的提高,該算法估計的時/頻差均方誤差逐漸逼近克拉美-羅下界.

關鍵詞分數階傅里葉變換;抽取的模糊函數;時/頻差估計;解調頻;線性調頻信號

DOI 10.13443/j.cjors.2015031501

TDOA/FDOA estimation algorithm for linear frequency modulated signals

GUO FuyangZHANG ZijingYANG Linsen

(NationalLabofRadarSignalProcessingXidianUniversity,Xi’an710071,China)

Abstract A novel efficient algorithm for time difference of arrival (TDOA) and frequency difference of arrival (FDOA) estimation between two linear frequency modulated (LFM) signals is proposed in this paper. The proposed approach combines decimated ambiguity function and Radon transform to estimate the chirp rate of the LFM signal; then fractional Fourier transform (FrFT) is used to estimate the point of intersection between the ridge and Doppler axis; finally the peak of ambiguity function is searched efficiently along the ridge by using of dechirping. For the multi-component LFM signal, since different LFM signals have different ridges, the proposed approach can successfully distinguish each LFM signal from the received signal, and both the TDOA and FDOA of each LFM signal can be estimated precisely. Due to fast Fourier transform-based processing and the use of only one-dimensional searches, the proposed approach is computationally efficient. Simulation results show that with the increase of signal noise ratio (SNR), the variances of the estimates are gradually close to the Cramer-Rao lower bound.

Keywordsfractional Fourier transform (FrFT); decimated ambiguity function; TDOA/FDOA estimation; dechirping; LFM signal

引言

兩路信號間的時延差和多普勒頻差的估計是信號處理的基本問題之一,在目標定位和跟蹤等領域有重要應用[1-4].線性調頻(Linear Frequency Modulated,LFM)信號是雷達中常見的發射信號[5-7],研究LFM信號的時/頻差快速精確估計對雷達輻射源的精確定位有著重要意義.

常用的時/頻差估計方法主要基于模糊函數[8-10].模糊函數的峰值位置對應真實的時/頻差,然而二維搜索模糊函數的峰值,需要巨大的運算量,難以滿足實時處理的要求.為此,Stein在文獻[8]中提出了先粗估計再精估計的算法,并給出了連續信號時/頻差估計的克拉美-羅界.根據現實中多普勒頻率遠小于采樣頻率這一信息,文獻[9]采用濾波抽取的方法將模糊函數計算區域限定在感興趣的區域,避免了計算完整的模糊函數.根據LFM信號模糊函數存在一條過峰值的脊線的特點,Sharif在文獻[10]中提出了沿著模糊函數脊線方向搜索峰值的算法,但是其對調頻率的估計需要計算完整的模糊函數,并且其在沿脊線搜索的過程中采用逐點搜索,運算量較大.文獻[11]提出了抽取的模糊函數,并給出了基于二維快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform,FFT)的快速算法,它保留了模糊函數的輪廓,但不能保證模糊函數真實峰值在抽取后的點陣上,因而不能有效估計時/頻差.

分數階傅里葉變換(Fractional Fourier Transform,FrFT)作為傅里葉變換的推廣,處理LFM信號具有天然的優勢,目前廣泛應用于LFM信號的檢測和參數估計[12-15].一個LFM信號在適當的分數階傅里葉變換域上為一個沖擊函數,表現為LFM信號在該階上的能量聚集性．由于信號的時延和頻移會引起其分數域上幅度譜的平移,文獻[16]通過在不同分數域上模相關,提出了一種基于FrFT的時/頻差聯合估計算法．然而,該算法由于采用模相關,在低信噪比下,當變換階次非最優階時,估計效果不佳．

為了實現時/頻差的快速精確估計,本文提出了一種沿脊線快速搜索峰值的算法．首先,聯合Radon變換和抽取的模糊函數快速估計調頻率,并且利用FrFT精確估計出模糊函數脊線與頻率軸交點．在沿脊線搜索峰值時,應用解調頻將逐點搜索轉化為一次相關,由相關峰的位置估計出時/頻差．該方法能快速實現模糊函數的一維峰值搜索過程,并能精確分辨出多分量LFM信號．

1信號模型

假設y1(t)為第一路接收信號,由單分量LFM信號s(t)和噪聲ω1(t)構成,y2(t)為第二路接收信號,包含了R個分量信號和噪聲ω2(t)為

(1)

式中:

(2)

2抽取的模糊函數與FrFT

2.1抽取的模糊函數

信號f(t)和g(t)的模糊函數(AmbiguityFunction,AF)[8]定義為

(3)

當f(t)=g(t)時,稱χfg(τ,v)為自模糊函數．

信號f(t)和g(t)抽取的模糊函數(DecimatedAmbiguityFunction,DAF)[11]為兩信號模糊函數時間和頻率經D倍抽取后的值:

DAFfg(ξ,η)=χfg(ξD,ηD),

(4)

ξ和η分別為時間和頻率D倍抽取后的變量．圖1仿真了LFM信號的模糊函數及抽取的模糊函數,由仿真圖可以看出,LFM信號抽取的模糊函數基本保留了完整模糊函數脊線的位置信息．

(a) 模糊函數

(b) 32倍抽取的模糊函數圖1　LFM信號模糊函數和抽取的模糊函數

2.2分數階傅里葉變換

定義信號x(t)在α角度上的FrFT[17]為

(5)

式中,Kα(t,u)為核函數,

Kα(t,u)=

(6)

對于一個有限時長的線性調頻信號,其維格納-威利分布(Wigner-VilleDistribution,WVD)在時頻圖上呈現為斜刀刃型的分布,如圖2所示．當角度α垂直于LFM信號時頻圖的脊線,即α=-arccotm時,信號在該分數域上投影出一個峰值,稱該角度α為最優的角度，記為αopt,對應的階數稱為最優階，記為popt．對于式(1)中的y1(t),其初始頻率為κ,在最優階popt上的峰值位置記為u0,由圖2中幾何關系可知:

(7)

對于y2(t),各分量的初始頻率f0k分別為

f0k=κ+Δfdk-mΔtdk,

(8)

與式(7)類似,同樣可得

(9)

圖2　FrFT與WVD投影關系示意圖

3LFM信號快速時/頻差估計

3.1聯合抽取的模糊函數與Radon變換估計調頻率

Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity Tra-

nsform,RAT)[18]常用于LFM信號的檢測和估計,其定義為

(10)

3.2利用FrFT估計模糊函數脊線與頻率軸交點

第k個分量y2,k(t)與y1(t)的互模糊函數脊線為過峰值點(Δtdk,Δfdk),斜率為m的直線,脊線交頻率軸于(0,Δfdk-mΔtdk)點．聯立2.2節中式(7)、(8)和(9),可得

(11)

根據式(11),由兩路信號在最優階上峰值的位置差u0k-u0即可求解出互模糊函數脊線與頻率軸交點坐標．

3.3利用解調頻沿脊線一維搜索模糊函數峰值

(12)

(13)

將解調頻后的信號代入式(3),有

(14)

可見,新的模糊函數的脊線方程為

v=Δfdk-m′Δtdk+(m-m′)(τ-Δtdk),

(15)

圖3　解調頻對LFM信號模糊函數脊線的影響示意圖

3.4多分量信號分辨性能分析

多分量信號間的干擾會降低參數估計的性能．為了抑制多分量的影響,在估計第k個分量信號的時/頻差時,可對其他分量的最優階FrFT進行峰值遮隔處理[13],實現分數階傅里葉變換域濾波,再將濾波后的信號逆變換回時域處理．顯然,該方法必須先分辨出各分量信號才能完成以上處理過程,在本節分析了算法對多分量信號的分辨性能．

式(1)中的各分量信號是LFM信號s(t)經不同時延和頻移后的結果,因此各分量信號具有相同的最優階．由文獻[15]可知,有限長LFM信號s(t)在最優階popt的分數階幅度譜為一個sin c函數,且有

|S(u)|=|Fαopt(s(t))|

=AαoptT|sin c(πTcscαoptu)|．

(16)

根據FrFT的時延和頻移性質,各分量的分數階幅度譜表現為s(t)分數階幅度譜|Spopt(u)|的平移,即

|Y2,k(u)|=|S(u-Δtdkcosαopt-Δfdksinαopt)|．

(17)

當兩個分量的最優階FrFT峰值間隔小于其最優階幅度譜主瓣3 dB寬度時,我們就認為分辨出了這兩個分量信號．因此,本方法對多分量信號的分辨率為

(18)

Width(sinc)為sinc函數主瓣的3dB寬度,約為0.44．

4仿真實驗及分析

4.1調頻率的估計

調頻率的估計直接影響到時/頻差估計的精度,算法聯合Radon變換和抽取的模糊函數來估計調頻率,本節仿真了抽取因子對調頻率估計的影響．圖4為不同抽取倍數所估計到的調頻率的均方誤差,信號調頻率為m=3.125×107Hz/s．由圖4可以看出,信噪比為-10dB時,無抽取和4倍抽取能夠準確估計出調頻率,而8倍抽取獲得了錯誤的估計,這是因為隨著抽取倍數的提高,抽取的模糊函數脊上的點在減少,Radon變換積累出的峰值能量降低,更容易湮沒在強噪聲中．然而,在信噪比滿足三種抽取都能夠估計出調頻率時,三者估計出調頻率的均方誤差基本一致．這說明適當倍數的抽取對調頻率估計的影響很小,本文所提出的聯合Radon變換和抽取的模糊函數來估計調頻率是可靠的．

圖4　調頻率估計的均方誤差

對于多分量信號,調頻率相同導致Radon變換無法將其分辨．由3.4節可知,多分量LFM信號在最優階的幅度譜位置不同．由于LFM信號在最優階表現出能量聚集性,各分量的峰值主瓣很窄,且FrFT為線性變換,多分量信號的FrFT不會產生交叉項干擾,因此算法對多分量信號具有很強的分辨能力．圖5給出了0dB信噪比下調頻率相同的三分量LFM信號在最優階FrFT的歸一化幅度譜,從圖5可以清晰分辨出這3個分量信號．

圖5　三分量LFM信號最優階幅度譜

4.2時/頻差的估計

選取LFM信號帶寬B=1MHz,信號持續時間為80μs,調頻率m=1.25×1010Hz/s,y1(t)的初始頻率κ=0,采樣率fs=4MHz,觀測時間為100μs,抽取因子D=8．y2(t)為單分量信號,時頻差為(Δtd,Δfd)=(-0.5μs,-3 200Hz)．圖6仿真了本文方法和文獻[10]的單切片RAT(SingleSliceRadonAmbiguityTransform,SSRAT)方法對單分量LFM信號時/頻差估計的均方誤差．可以看出,兩種方法所估計到的時/頻差均方誤差基本一致,隨著信噪比的提高,時差和頻差的均方誤差逐漸逼近克拉美-羅界,在40dB信噪比下,時/頻差均方誤差比克拉美-羅界高約3dB．

(a) 時差均方誤差

(b) 頻差均方誤差圖6　單分量信號時/頻差估計的均方誤差

為了檢驗本算法對多分量信號的時/頻差估計效果,信號y2(t)中除了原有的分量(Δtd,Δfd)=(-0.5μs,-3 200Hz)外,再加入一個調頻率相同而時/頻差為(1.25μs,8 000Hz)的分量,其余參數保持不變．

圖7為分別用本文方法和SSRAT方法在以上參數條件下仿真得到的時/頻差估計均方誤差圖．由圖7可以看出,對于多分量LFM信號的時/頻差估計,本文所提的方法處理要優于SSRAT方法,這主要是由于本文方法在最優階分數域對多分量LFM信號進行了分離,能夠有效降低各分量信號間的干擾．

(a) 時差均方誤差

(b) 頻差均方誤差圖7　雙分量信號時/頻差估計的均方誤差

4.3算法運算量

在調頻率已知時,本文方法只需要計算兩路接收信號的最優階FrFT和一次相關,由于計算FrFT的運算量與FFT相當[17],本文方法的運算復雜度為O(Nlog2N)．文獻[10]中給出的SSRAT算法的運算量,是在信號調頻率已估計到的前提下的運算量,其計算復雜度為O(N2)．

在調頻率未知時,SSRAT方法需要先計算信號的自模糊函數,而本文方法只需要計算信號抽取的自模糊函數．表1比較了調頻率未知時SSRAT算法和本方法的運算量,抽取因子D=8．從表1可以看出,本文提出的算法大幅降低了運算量,在N=1 000時其運算量僅為SSRAT算法運算量的2.88%,運算速度明顯優于SSRAT算法．

表1　本文方法和SSRAT方法運算量對比

5結論

針對LFM信號,提出了一種新的快速估計其時/頻差的算法．該算法首先對抽取的自模糊函數做Radon變換估計調頻率,并利用最優階FrFT估計出模糊函數脊線與頻率軸交點,最后應用解調頻沿脊一維搜索模糊函數峰值．由于抽取的模糊函數耗費的運算量較少,并用一次相關實現沿脊搜索峰值的過程,算法在運算速度上具有明顯優勢．本算法能夠有效分辨多分量信號,并分別精確估計出各分量的時/頻差．本文給出了算法所需的一些理論推導,仿真實驗驗證了本文的結論．

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郭付陽(1991-),男,江西人,博士研究生,研究方向為時頻分析、雷達信號處理．

張子敬(1967-),男,陜西人，教授,博士生導師,研究方向為無源定位、雷達信號處理．

楊林森(1988-),男,陜西人,博士研究生,研究方向為時頻分析、雷達信號處理．

作者簡介

中圖分類號TN911.72

文獻標志碼A

文章編號1005-0388(2016)01-0166-07

收稿日期：2015-03-15

郭付陽, 張子敬, 楊林森．線性調頻信號時/頻差估計算法[J]. 電波科學學報,2016,31(1):166-172. DOI: 10.13443/j.cjors.2015031501

GUO F Y, ZHANG Z J, YANG L S. TDOA/FDOA estimation algorithm for linear frequency modulated signals[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(1):166-172. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2015031501

資助項目: 國家自然科學基金(No.61172137)

聯系人： 郭付陽 E-mail：guofuyang@126.com