淺析Taylor公式的應用

李甜

摘 要 本文主要介紹了Taylor公式和幾個簡單的函數展開式，并針對Taylor公式的應用簡單討論了幾個問題，即利用Taylor公式求極限，判斷級數的斂散性，進行近似計算，求行列式的值。

關鍵詞 Taylor公式 極限 斂散性 近似計算

中圖分類號：O172 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2016.03.019

Taylor公式是微積分中一個非常重要的內容，它是分析和研究其他數學問題的有力工具。本文對以往的成果加以探討，進一步說明Taylor公式的應用。

1 一元函數的Taylor公式

Taylor公式的一般形式為： （） = （） + （）（） + （）2 + … + + （）

其中 （）為拉格朗日余項（<<）或者皮亞諾余項（）。在Taylor公式中如果取 = 0，則Taylor公式變成Maclaurin公式： （） = （0） + （0） + + … + （0<<1）

或者寫成

（） = （0） + （0） + + … + + （）

Taylor公式的作用就是在已知函數 （）在某點的階導數值的情況下，可以用這些導數值作為系數構造一個次多項式（）去近似函數 （）在這一點領域的值，并且給出了兩者之間的偏差。

2 Taylor公式的幾點應用

2.1 求函數的極限

有些函數的求極限過程非常復雜或者沒有辦法求解，這個時候就可以考慮運用Taylor公式將函數展開，利用多項式的簡單性質求解極限。

例1 求極限。

解：當→0時， ～ ，由Taylor公式知， = + （）， = + （）把兩個的高階的無窮小的代數和仍記作（），所以 = + （） + （） = + （）

即 = =

2.2 求近似值

利用Taylor公式可以對某些函數進行近似計算。

例2 計算1.1準確到。

解：（1 + ） = + + … + + （0<<1，>）

要計算1.1 = （1 + 0.1），可取 = 0.1，為了使誤差不超過，則∣∣<<<

所以≤0.00001，解得≥4。因此，取=4，有

1.1≈0.1 + ≈0.095308

2.3 求函數的原函數

若函數 （）在（或某個區間）上連續，則函數 （）在上存在原函數（） = （）， ，但是這個原函數不一定可用初等函數表示。如果用一般的方法不能求出原函數，則可以將 （）進行Taylor展開，那么 （）可表示成冪級數的和函數形式。

例 求 （） = 的原函數

解： = + … + + …

由于它在任意閉區間一致收斂，于是€HO，它的原函數為：

（） = = [] = =

2.4 判斷級數的斂散性

在判斷級數的斂散性時，可利用Taylor公式將級數通項展開成簡單形式，再利用判斂準則進行斂散性判斷。

例5 判斷級數（）的斂散性。

解：由 = （1 + ） = + + …<

知<，所以 = >0，所以該級數是正項級數。

而

= > =

所以 = < （ ） =

所以收斂，由正項級數比較判別法可知原級數收斂。

2.5 判斷廣義積分的斂散性

在判斷廣義積分| （）|的斂散性時，通常選用廣義積分（>0）進行比較后通過研究無窮小量| （）|（→+）的階來有效地選中的值，從而簡單地判定| （）|的斂散性（注意到：如果| （）|得收斂，則 （）得收斂）。

例 6 判定廣義積分（ + 2）的斂散性。

解：由 = 1 + + + （）

得

| （）| = ∣ + 2∣

= ∣ + ∣

= ∣（1 + ·· + （））+ （1·· + （））∣

= ∣·+ （）∣

因此， = ，因為收斂，所以| （）|收斂，從而（ + 2）收斂。

2.6 計算行列式

有關利用代數知識計算行列式方法很多，但應用微分學的方法計算行列式的卻很少見。然而利用Taylor公式求解行列式確實非常有效，下面介紹利用Taylor展式計算行列式。

例7 求階行列式

解：記（） = ，按Taylor公式在處展開：

（） = （） + （）（） + （） + … + （）

易知

可得（） = ， = 1，2，3，…，時均成立。

根據行列式求導的規則，易知

= （），

= （）（），… ，

= 2（）， = 1

于是（）在 = 處的各階導數為

（）= （） = （） = ，

（）= （） = （） = …

（）= （） = … （） = …2

（） =

把以上各個導數代入上式中，有

（） = + （） + （）2 + … + +

如果 = ，則有（） = [ + ]；

如果 ≠ ，則有（） = 。

參考文獻

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