多跨轉子系統流體引發自激振動穩定性分析

趙　倩， 許　琦， 姚紅良， 聞邦椿(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽　110819)

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多跨轉子系統流體引發自激振動穩定性分析

趙倩， 許琦， 姚紅良， 聞邦椿(東北大學 機械工程與自動化學院，沈陽110819)

摘要：以實際壓縮機組多跨轉子系統為研究對象，針對由間隙氣流激振力引起的失穩問題，進行Alford力作用下多跨轉子系統的動力學及穩定性分析。針對該類模型自由度多的特點，采用固定界面模態綜合法降維措施與New-mark-β法相結合，提高了求解效率。研究交叉剛度、工作轉速等對轉子渦動的影響，以及多跨轉子系統中Alford力的傳遞作用；通過以時間歷程曲線為穩定性判據，進行不同交叉剛度、阻尼、剛度系數下的穩定性分析。結果表明，交叉剛度的增大會加重轉子渦動，降低系統的穩定性；系統阻尼和剛度的增大可提高穩定性；失穩交叉剛度與支承的交叉剛度存在一定關系，當其大于支承最小交叉剛度且接近支承最大交叉剛度時，系統容易失穩。

關鍵詞：多跨轉子；Alford力；交叉剛度；自激振動；穩定性分析

近年來，隨著透平旋轉機械向著超大型化、低能耗化與高可靠性方向發展，葉輪轉速和性能逐步提高，葉輪軸大多采用柔性軸設計，工作轉速在一階甚至二階臨界轉速以上；高效率則要求必須縮小轉靜子間隙，葉片的氣動負荷也日益增大。這些都可能影響轉子系統的穩定性，尤其是產生自激振動，且不能采用動平衡的方法來消除。

由于小間隙、高轉速、大壓比、以空氣或蒸汽作為介質等復雜的工作條件決定了機組中存在復雜的激勵源。此類轉子系統有兩類主要的失穩激勵源：油膜力和間隙氣流激振力。目前關于非線性油膜力模型及其對轉子運動穩定性的影響方面已有較多研究，能夠較好地分析油膜失穩規律，而對間隙氣流激振力的失穩規律研究較少。間隙氣流激振引起的自激振動嚴重影響機組的安全穩定運行，由于自激振動，葉輪等關鍵部件受力增大，經常會造成疲勞破壞，在一定條件下會引起轉子的失穩。因此，研究間隙氣流激振力作用下多跨轉子系統的動力學行為及失穩規律具有重要的理論和現實意義。

以往研究多集中于間隙氣流激振力模型的研究。Thomas[1]研究了燃氣輪機的不穩定性，并提出由偏心轉子引起的非對稱半徑間隙可能導致失穩力，稱之為間隙激振力。隨后，Alford[2]在研究航空發動機穩定性時發現了類似的現象，間隙激振這一問題才引起人們的足夠重視，并在習慣上稱為Alford力。然而兩人的研究結果都是根據葉輪的局部效率損失得到的，在實際應用中存在許多缺陷。之后很多學者做了修正工作，如Hubert根據無冠葉柵試驗，提出了葉尖間隙損失的一種指數關系來代替Alfold公式采用的線性關系；為了進行驗證，Urlichs[3]對渦輪發動機進行了實驗研究；Vance[4]用鼓風機進行靜止偏心時作用于葉輪上橫向力的測試，證實了Alford力的存在。國內也有不少學者對其進行了改進，如楊建剛等[5]將其分為靜態力和動態力兩部分考慮，改進了傳統的Alford力模型；柴山[6]從流體力學出發，應用動量定理對氣流間隙激振力進行了多方面的研究；丁學俊[7]提出了Alford力中效率系數的一種計算方法；駱名文等[8]對大型汽輪機氣流激振的研究現狀做了系統總結與展望。

然而關于Alford力作用下轉子系統穩定性方面的研究并不多，且大都針對簡單轉子。如Kim等[9-10]采用Jeffcott轉子，楊建剛[5]針對某一單跨高壓轉子進行穩定性分析，而工程實際中存在的機組往往為多跨復雜轉子系統。因此，本文以多跨轉子系統為研究對象，針對該類模型自由度多的特點，采用固定界面模態綜合法降維；研究交叉剛度和轉速對轉子渦動的影響以及多跨轉子系統中Alford力的傳遞作用；提出以時間歷程曲線為穩定性判據，進行了不同交叉剛度、阻尼、剛度系數下轉子系統的失穩規律研究。

1模型建立方法

1.1Alford力及交叉剛度計算

由于制造安裝問題或不平衡力的作用，葉輪與氣缸會產生相對偏心，使得葉尖間隙沿圓周分布不均勻。因此，葉片上的周向氣動力除合成一個轉矩外，還合成一個作用于轉子軸心的橫向力，稱為間隙氣流激振力或Alford力。該激振力[2]可表示為

FA=[τβ/(DH)]e

(1)

式中，τ為作用在葉片上的扭矩；D為葉片中徑；H為葉片高度；e為偏心距；β為激振力的效率系數。

由其引起的交叉剛度項為

Kyx=τβ/(DH)

(2)

由于β是一個與葉輪結構、扭矩大小等有關的量，而不是一個常數，很難選取合適的值。近年來，關于β值的符號和大小，國內外學者已做了較多的研究，但結論不一，且相互之間的偏差較大。大部分還是以Alford給出的數值作為參考。

關于Alford力引起的交叉剛度，一直以來仍沒有一個普遍適用的定量計算方法。由于本文旨在分析Alford力及其引起的交叉剛度對多跨轉子系統穩定性的影響，因此關于Alford力及交叉剛度的計算在此未做深入討論，以前人的研究結果作為參考。

1.2轉子系統建模

設轉子系統由彈性軸段單元組成，如圖1所示。忽略軸向變形，每節點包括兩個移動方向的自由度和兩個旋轉方向的自由度。每個單元上的廣義坐標如式

[xAyAθxAθyAxByBθxBθyB]T

(3)

圖1　歐拉梁單元模型Fig.1 The model of Euler beam element

采用有限元建模方法，間隙氣流激振轉子系統的運動微分方程為

(4)

式中，M、C、K分別為質量、阻尼、剛度矩陣；x為位移向量；F為外激勵向量；FA為Alford力向量。

本文采用文獻[5]中的Alford力模型，將其分解為靜態力和動態力兩部分，具體表達式為

(5)

式中，δx，δy分別為x和y方向的靜偏心；kA為Alford力引起的交叉剛度項。

2固定界面模態綜合法降維

對多跨轉子系統進行振動分析，其動力學模型往往能達到成千上百個自由度。為了提高計算效率，可以采用固定界面模態綜合法(Component Mode Synthesis, CMS)進行自由度的降維[11]。將式(4)劃分為線性和非線性(即間隙氣流激振位置)兩部分，其中上部分為線性部分，下部分為非線性部分

(6)

假設非線性位置處的自由度固定，計算剩余自由度組成系統的模態，并取其中可能參與響應貢獻大的模態組成固定界面主模態集

(7)

假設給某個界面自由度單位位移，保持其他界面自由度為0，形成該自由度下的約束模態

(8)

對每個界面自由度按上式操作，形成約束模態集

(9)

由固定主模態集和約束模態集組合可得系統的模態矩陣

(10)

因此，將式(8)變換為模態坐標下的振動方程

(13)

采用數值法求得方程(11)在模態坐標下的解u，利用x=ψu返回到原物理坐標，可得原系統的動態響應。

可見系統的降維主要是依靠主模態集的縮減實現，主模態集中模態取得越少，所得模型的自由度越少，但是可能會影響所求得響應的精度。

3數值仿真與分析

圖2為簡化后的雙跨轉子系統有限元模型，葉片部位采用集中質量單元，詳見表1。共劃分137個節點，136個單元，Alford力作用于壓縮機某級葉片上。轉子密度ρ= 7 850 kg/m3，彈性模量E= 2.1×1011N/m，泊松比ν= 0.3。壓縮機支承位于節點4和65處，汽輪機支承位于節點72和120處，支承剛度及阻尼根據軸頸尺寸和潤滑油型號由軟件XlRotor計算確定，詳見表2。

表1　集中質量節點

表2　軸承的支承剛度(N/m)和阻尼(N·s/m)

轉子系統的前三階固有頻率和臨界轉速分別為19.87 Hz、31.75 Hz、76.22 Hz和1 215.8 r/min、1 998.3 r/min、4 969.3 r/min；額定轉速3 400 r/min，高于二階臨界轉速。

圖2　雙跨轉子動力學模型Fig.2 Dynamic model of a dual-span rotor system

3.1交叉剛度和轉速的影響

采用Newmark-β法結合CMS降維(取30階主模態)進行分析。設角速度為300 rad/s，圖3比較了交叉剛度變化時的頻譜：當ka= 1.4×108N/m時，轉子出現渦動，隨著ka的進一步增大，頻譜中的低頻成分增大，轉子渦動加重。取ka= 1.4×108N/m，圖4為轉速變化時的頻譜：隨轉速提高，低頻成分幅值增大，且低頻均鎖定于127 rad/s，接近轉子系統第一階臨界轉速。

3.2Alford力在多跨轉子系統中的傳遞作用

表3列出了轉子系統中不同位置處的頻率成分幅值?？梢钥闯觯~輪上任一位置存在Alford力，整機轉子各個位置均產生渦動；相比于壓縮機轉子上Alford力振源位置處的振動，聯軸器上的振幅減小了約0.5倍，汽輪機轉子上的振幅減小了兩個數量級；轉子各個位置呈現相似的振動特性，各跨轉子之間會產生相互影響及Alford力的傳遞，因此，在研究間隙氣流激振穩定性時，應考慮多跨轉子系統。

圖3　不同交叉剛度的頻譜圖Fig.3 Spectrograms in different cross stiffness

圖4　不同轉速下的頻譜圖Fig.4 Spectrograms in different rotating speed

位置工作頻率幅值/mm渦動頻率幅值/mm壓縮機葉片(Alford力處)2.3×10-21.0×10-3壓縮機轉子1.7×10-28.3×10-4汽輪機葉片7.0×10-43.3×10-5汽輪機轉子2.4×10-41.9×10-5聯軸器6.5×10-33.5×10-4

3.3Alford力作用下多跨轉子系統的穩定性分析

本研究根據時間歷程曲線判斷系統的運行狀態及穩定性。如圖5所示，轉子系統的動力學響應有以下幾種振動情況。圖5(a)中，系統趨于穩定運行，Alford力不足以引起轉子系統的渦動；圖5b中，系統由于Alford力作用產生轉子渦動；圖5c中，由于Alford力引起的負阻尼作用超過系統的阻尼，振動幅值迅速增大，系統發散，為不穩定運行。

圖5　三種不同的運行狀態Fig.5 Three different operation states

根據該穩定性判斷依據，分析不同參數(交叉剛度、阻尼系數、剛度系數)變化時的穩定性區域，如圖6所示。

圖6(a)中，隨著交叉剛度的增大和轉速的提高，穩定區域逐漸減小，當交叉剛度增至1.55×108N/m時，系統在任一轉速下均失穩；圖6(b)中，隨著阻尼系數的增大，穩定區域越來越大，渦動區域減小，當阻尼系數降至0.85時，系統完全失穩；圖6(c)中，穩定區域隨著剛度系數的增大而增大，當剛度系數降至0.8時，系統完全失穩。因此，降低交叉剛度，增大系統阻尼和剛度可有效抑制轉子渦動，提高系統的穩定性。

另外，對比Alford力引起的交叉剛度ka(圖6(a))與表2中支承(即滑動軸承)交叉剛度kxy、kyx可以發現，對于非對稱支承即kxy≠kyx且kxy 0.5kyx時，系統失穩；③ 當kxy

圖6　不同參數組合下的穩定性區域圖Fig.6 Stability regional graphs with different parameters combination

圖7為工作轉速下以ka為分岔參數的分岔圖，在ka= 1.5×108N/m附近時出現分岔，與圖6(a)的結果基本一致。

圖7　交叉剛度為分岔參數的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram with different cross stiffness

4結論

(1) 傳統采用對數衰減率分析穩定性，只能判定穩定區和失穩區；本文方法采用時間歷程曲線作為穩定性判據，得到轉子由于Alford力作用，會隨著運行參數的變化，依次經歷穩定區-渦動區-失穩區。而渦動區同樣為危險區，此時可通過調整相關參數等措施，進行渦動的抑制，防止系統由于嚴重渦動邁向失穩區，此方法也可用于前期設計階段中參數的優化設計。

(2) 對交叉剛度、系統阻尼和剛度變化下的穩定性進行了研究：穩定性區域隨著交叉剛度的增大而減小，隨著阻尼和剛度的增大而增大。因此，降低交叉剛度，增大系統阻尼和剛度可有效抑制轉子渦動，提高系統的穩定性。同時，失穩交叉剛度與支承交叉剛度之間存在一定關系。

(3) Alford力對失穩的影響主要取決于交叉剛度的大小，而交叉剛度本身又與工作負載、流量、轉速、偏心等諸多參數有關。本文進行了交叉剛度變化下系統的穩定性預測，而對于交叉剛度與偏心等參數之間的定量計算研究不足。今后有待進一步研究的是，交叉剛度與各參數之間的定量關系，以及抑制渦動、提高運行穩定性的參數優化匹配。

參 考 文 獻

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Stability of a multi-span rotor system with fluid-induced self-excited vibration

ZHAOQian,XUQi,YAOHong-liang,WENBang-chun(School of Mechanical Engineering & Automation, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

Abstract:Turbine rotor systems may lose stability due to Alford forces. Here, dynamic characteristics and stability of a multi-span rotor system for a practical compressor unit subjected to Alford forces were investigated. Newmark-β method combined with the fixed interface component mode synthesis (CMS) dimension reduction approach due to many degrees of freedom of a large scale rotor system was applied to obtain the system’s dynamic response. The computational efficiency was improved obviously. The effects of cross stiffness and rotating speed on rotor whirling and the transmission action of Alford forces in the multi-span rotor system were studied. Taking the system’s time historv response as a stability criterion, stability analysis with different dynamic parameters was performed. It was shown that the rotor whirling aggravates and its stability decreases with increase in cross stiffness; its stability is improved with increase in the system’s damping and stiffness; when the cross stiffness of the system are larger than the minimum cross stiffness of bearings and close to the maximum cross stiffness of bearings, the system is easy to be unstable.

Key words:multi-span rotor; Alford force; cross stiffness; self-excited vibration; stability analysis

中圖分類號:TH113.1, O323

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.032

通信作者姚紅良 男，博士，副教授，1979年10月生

收稿日期：2014-11-19修改稿收到日期：2015-03-05

基金項目：國家重點基礎研究發展計劃項目(2011CB706504)；國家自然科學基金資助項目(51475085)；研究生科研創新項目(N140306003)

第一作者 趙倩 女，博士生，1989年1月生

E-mail：hlyao@mail.neu.edu.cn