懸臂梁易損部件在矩形加速度脈沖激勵下的動力學響應與有限元分析

盧富德， 許晨光， 高　德， 徐　鋒(浙江大學 寧波理工學院,浙江 寧波　315100)

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懸臂梁易損部件在矩形加速度脈沖激勵下的動力學響應與有限元分析

盧富德， 許晨光， 高德， 徐鋒(浙江大學 寧波理工學院,浙江 寧波315100)

摘要：為分析懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵下的振動響應，推導出懸臂梁在懸臂端處動態應力的近似解析解，得到最大應力與矩形脈沖峰值之間的關系，分析結果表明：在速度變化量一定時，最大應力隨加速度脈沖幅值的增加而增加，但會無限逼近極限值。最后建立了易損件-質量主體在矩形脈沖激勵下的有限元模型，并與解析解進行了對比，發現運用2階振動模態即可得到精確的懸臂梁的應力響應，所取得的研究成果為具有懸臂梁式易損件在蜂窩紙板緩沖作用下的防護提供理論基礎。

關鍵詞：懸臂梁；易損件；有限元；加速度脈沖

電子產品在運輸與使用過程中，跌落或振動載荷，是導致電子產品失效的主要激勵形式[1]。電子產品內部的一個或多個部件，通常簡化為質量-彈簧系統，理論或測試得到的易損件的加速度響應作為系統失效的強度指標[2-3]。對于電子產品的一些內部梁式易損部件，由于一個固有頻率不能標準其振動行為，若仍然以加速度響應作為判斷產品失效標準，會引起錯誤或誤導[4]，這時需要深入到易損部件的應力層面來分析易損件的沖擊強度[5-6]。例如，Zhou 等[7]研究了簡支梁關鍵部件在半正弦脈沖激勵作用下簡支梁最大應力表達式與加速度脈沖幅、脈寬之間的關系，得到簡支梁的失效機理。

泡沫作用在易損件的加速度脈沖可以用半正弦脈沖近似表達。盧富德等[8]研究了梁式易損部件在發泡聚乙烯緩沖作用的沖擊響應。但對于蜂窩紙板作為緩沖材料時，由于其應力-應變曲線有一個較長的應力平臺[9-11]，若重物受到沖擊載荷壓縮蜂窩紙板的過程，會作用于重物以近似的矩形加速度脈沖。易損件的質量遠小于主體的質量，可不考慮易損件對質量主體的動力學響應影響，重物的矩形加速度脈沖響應相當于作為內部易損件的激勵。鑒于此，研究矩形脈沖激勵下梁式易損部件沖擊響應規律，揭示此系統的緩沖機理，這對于利用蜂窩紙板保護帶有梁式易損件的物品情形提供了理論基礎。

1懸臂梁-質量主體-蜂窩紙板系統的動力學模型

帶有懸臂梁易損件的物品在蜂窩紙板緩沖作用下的動力學模型示意圖，如圖1所示。物品離散為變形的易損件與不變形的質量主體。由于易損件的質量遠小于主體質量，物品自由跌落并壓縮蜂窩紙板的過程，易損件對質量主體的動力學響應可忽略不計。質量塊在壓縮蜂窩紙板過程中，蜂窩紙板對作用的加速度如圖2所示，由于蜂窩紙板受壓縮力學性能呈現較長的屈服平臺，實際脈沖可近似為矩形脈沖。對于蜂窩紙板緩沖包裝系統，獲取重物的加速度響應由本構關系[9]、經驗模型[10]與有限元[11]等理論方法。通過這些方法所得到的質量塊的加速度響應，就成為懸臂梁易損件的激勵。

圖1　蜂窩紙板緩沖系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of honeycomb paperboard cushioning system

圖2　質量塊在蜂窩紙板作用下的加速度響應Fig.2 Acceleration response of mass for honeycomb paperboard cushioning system

因此，研究懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵下的響應，為探求其在蜂窩紙板緩沖作用下的失效機理及防護問題成為一個需要解決的關鍵科學問題。

2懸臂梁-質量主體系統在矩形脈沖激勵下的動力學響應求解

不考慮懸臂梁易損件對質量主體的動力學影響，對如圖3所示的帶有懸臂梁式易損部件產品進行力學分析，得到梁的振動方程為：

(1)

式中：E為彈性模量，I為截面慣性矩，ρ為懸臂梁的密度，A為截面面積。

對應的邊界條件為：

w(0)=z;

(2)

設相對位移y=w-z，聯合式(1),得到

(3)

圖3　帶有懸臂梁式易損件的產品示意圖Fig.3 Schematic diagram of product with cantilever beam type

由分離變量法，得到式(3)的解：

(4)

式中,qn(t)為模態坐標，Yn(x)為振型函數

cosλnx-chλnx

(5)

式中,λn為特征值，滿足

1+chλnlcosλnl=0

(6)

利用梁主振型的正交性，可得到一組獨立的微分方程組

(7)

式中

(8)

由杜哈梅積分，得

(9)

傳遞給易損件的近似矩形加速度脈沖為：

(10)

把式(10)代入式(9),得到模態解

(11)

因此，懸臂梁上、下面的彎曲應力為

式中

-cosλnx-chλnx

(13)

取一階結果，忽略高階項，可得近似懸臂梁最大響應應力為

把矩形脈沖與自由跌落聯系起來，得到脈寬與跌落高度H、矩形脈沖幅值Am的關系為：

(15)

然后對式(14)進一步整理，得到

(16)

特別地，當Am→∞，

(17)

由式 (16)和(17),并記作如下：

(18)

可得到懸臂梁的最大響應應力，與脈沖峰值Am的關系，如圖4所示，從圖可以看出，在跌落高度一定時，即矩形脈沖速度變化量保持不變時，懸臂梁的最大響應應力隨矩形脈沖幅值的增大而增大，當幅值小于Am1,幅值σm與其成線性關系，之后為非線性關系，但此時應力存在極限值為σm2。

圖4　σm-Am關系Fig.4 Relationship between response stress amplitude σm and input acceleration amplitude Am

3易損件-質量主體有限元模型

由于在推導懸臂梁的振動方程(1)的前提是梁發生小撓度，若超出這個范圍，振動方程(1)已不再適用。若運用有限元方法求解梁在加速度脈沖激勵下的動力學響應則沒有這個限制，這是由于有限元可以考慮模型的幾何非線性，因此用有限元模型可以驗證解析解的正確性。

選用ABAQUS/Explicit程序,質量主體運用三維剛體單元，對懸臂板易損件運用可變形三維殼單元，在質量主體單元上建立一個參考點RP1，設定質量，并約束x,y,Rx,Ry,Rz方向的自由度，允許z方向運動。對于懸臂板的懸臂端，需要建立與剛體單元在x,y,及z方向的耦合約束。易損件單元運用S4R單元，剛體單元采用C3D4單元。輸入矩形加速度脈沖作為系統的激勵，即可得到懸臂梁易損件的動力學響應。

圖5　易損件-質量主體有限元模型Fig.5 Finite element model of critical element and main body for product

4數值算例

易損件厚度h′=1 mm,寬度b=10 mm,長度為l=40 mm,密度ρ=8 g/cm3,彈性模量E=100 GPa，要求最大彎曲許用應力σa=80 MPa,4 kg的質量主體從高度1 m處跌落,運用解析方法和有限元模型分析懸臂梁易損件的動力學響應。

在給定跌落高度條件下，由式(16)得到：Am最大值為115 g(g為重力加速度，取9.8 m/s2)，只要加速度脈沖幅值不超過115 g,就能保證懸臂梁最大彎曲應力小于許用應力80 MPa。這里選取加速度峰值80、115 g兩種情況，分別用一階模態、二階模態和三階模態疊加，得到懸臂端處的動態彎曲應力如圖6和7所示。如圖6所示，在加速度幅值為80 g時，從圖6(a)中截取應力脈沖，如圖6(b)所示，運用三階模態，分別得到懸臂梁在懸臂端處最大應力分別為54.9、58.3和58.6 MPa,取58.6為參考值，當取一階模態時，相對偏差為6.31%，當取二階模態時，相對偏差減小為0.51%。

圖6　懸臂端處應力-時間曲線(Am=80 g)Fig.6 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=80 g)

如圖7所示，在加速度幅值為115 g條件下，當取一階模態求解懸臂梁在懸臂端的響應時，最大應力為70.3 MPa，取二階模態時，其最大應力增加到75.1 MPa，取三階模態，懸臂端處的最大應力增加到76.2 MPa。經過計算表明：取二階模態求解懸臂梁在矩形脈沖激勵的動態響應，可以保證得到較為精確的結果。

圖7　懸臂端處應力-時間曲線(Am=115 g)Fig.7 Response stress-time curves at the cantilevered end (Am=115 g)

在有限元模型中分別輸入如圖8所示的加速度脈沖，經過收斂性分析，x方向取40個單元，由于y方向不是主要受力方向，取3個單元，得到懸臂端處的動態應力，如圖9所示，并與上述解析解進行對比。由此可見，解析方法和有限元方法所得到的懸臂梁動態應力響應十分吻合，二者相對偏差在3%以內，由此說明，用二階模態求解懸臂梁易損部件在矩形脈沖激勵下的動態應力響應具有較高的精度，并進一步證明了解析方法的正確性。

圖8　輸入加速度脈沖曲線Fig.8 Input acceleration pulse curves

圖9　懸臂端處應力響應的有限元結果與解析解的對比Fig.9 Finite element result and analytical solution for response stress at the cantilevered end

5結論

分析了懸臂梁式易損部件在矩形脈沖激勵下的響應，在速度變化量一定時，得到易損件懸臂端處的最大應力響應與加速度脈沖幅值的關系，結果表明最大應力隨幅值的增大而增大，但會逼近極限值。由有限元模型證實了懸臂梁應力響應解析解的可靠性；在矩形加速度脈沖激勵下，運用二階模態，所得到的懸臂梁在懸臂端處的動態應力具有較高的精度。本文的研究結果為蜂窩紙板緩沖作用下具有梁式易損件的失效行為與防護奠定了理論基礎。

參 考 文 獻

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Shock response and finite element analysis of critical components with cantilever beam type under action of a rectangular acceleration pulse

LUFu-de,XUChen-guang,GAODe,XUFeng(Ningbo Institute of Technology, Zhejiang University, Ningbo 315100, China)

Abstract:In order to analyze dynamic stress response of critical components with cantilever beam type under the excitation of a rectangular acceleration pulse, the relationship between the maximum stress at the cantilevered end and the rectangular acceleration pulse amplitude was deduced. The analysis results showed that the maximum stress increases with increase in the acceleration amplitude and approaches the limit value when the velocity change is constant. Finally, the analytical solution was verified with finite element results. It was shown that using only the first 2 orders of vibration modes can give a good estimation for the stress response of the components. The results provided a theoretical foundation for the protection of critical components with cantilever beam type when honeycomb paperboards were used as a cushioning material.

Key words:cantilever beam; critical component; finite element model; acceleration pulse

中圖分類號:TB485;O322

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.031

通信作者高德 男，教授，1963年6月生

收稿日期：2014-10-28修改稿收到日期：2015-03-25

基金項目：國家自然科學基金(11402232)；寧波市自然科學基金(2015A610092)；浙江省自然科學基金(LY16A020004)；寧波市自然科學基金(2015A610100；2013A610135)

第一作者 盧富德 男，博士，1982年11月生

E-mail：gaode63@163.com