汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下含裂紋轉子的振動特性研究

甕　雷， 楊自春， 曹躍云(1.海軍工程大學 艦船高溫結構復合材料研究室，武漢　430033； 2.海軍工程大學 動力工程學院， 武漢　430033)

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汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下含裂紋轉子的振動特性研究

甕雷1,2， 楊自春1,2， 曹躍云1,2(1.海軍工程大學 艦船高溫結構復合材料研究室，武漢430033； 2.海軍工程大學 動力工程學院， 武漢430033)

摘要：建立了在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下裂紋轉子-軸承系統的動力學分析模型，并采用數值積分方法研究此類裂紋轉子系統的分岔與混沌特性。利用Poincare截面和分岔圖的變化分析汽輪機非線性間隙氣流激振力和裂紋深度對系統振動響應特性的影響。分析結果表明：汽輪機非線性間隙氣流激振力會使得系統的周期性運動狀態提前，且混沌區域發生明顯的減小；在淺裂紋時，汽輪機非線性間隙氣流激振力對系統的響應起主導作用，且在超臨界轉速區域出現周期8運動；隨著裂紋深度的增加，系統運動的混沌區域逐漸減小幾乎消失，在超臨界轉速區域的逆周期運動演變為較長的周期3運動。研究結果可以作為含裂紋轉子在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下耦合故障發生的典型特征，也可作為此類耦合故障診斷的依據。

關鍵詞：轉子；汽輪機非線性間隙氣流激振力；裂紋；非線性振動

轉子是船用汽輪機組的關鍵部件，其工作環境非常惡劣，長期處于高溫介質中高速旋轉。它承受著由轉子本身和葉片質量的離心力引起的應力、溫度分布不均勻引起的熱應力、傳遞作用在葉片上的氣流力產生的扭矩、工質的壓力和自身重量產生的彎矩等[1-2]，逐漸形成疲勞裂紋源進而擴展，裂紋會導致轉軸剛度降低，從而引起轉子橫向振動幅值變大，形成運行故障進而影響機組正常工作，嚴重影響飛機和船舶在航率和安全性。引起轉子異常振動或振動過大的原因有很多，轉軸裂紋是主要原因之一。

近年來，國內外很多學者對裂紋故障轉子系統的復雜動力學行為進行了研究分析。Meng等[3]討論了裂紋深度、裂紋位置、轉速與質量偏心對Jeffcott轉子振動響應各階諧波分量、軌道圓度的影響。Zuo等[4]建立了含初始彎曲裂紋轉子的動力學模型,討論了系統振動特性隨剛度、質量偏心、初始彎曲的變化。李振平[5]等在考慮非線性油膜力的基礎上研究了裂紋轉子的動力學行為。張靖等[6]在考慮非線性渦動與圓盤的擺振運動對裂紋轉子運動的影響的基礎上，建立了裂紋轉子的運動微分方程，分析了系統運動特性隨裂紋深度、裂紋角的變化。于濤等[11]從斷裂力學理論出發，通過建立的裂紋轉子模型分析了雙裂紋轉子系統的非線性動力學特性。岳二團等[12]研究了氣隙偏心下永磁電機轉子系統的震動特性，詳細討論了不同偏心以及負載類型對轉子系統振動特性的影響。Sinou等[8]借助有限元方法研究了裂紋轉子的非線性動力學特性。曾復等[9-10]利用數值方法研究了帶裂紋Jeffcott轉子的分盆與混沌特性。于海等[11]采用改進的POD方法分析研究了多自由度裂紋轉子系統的非線性動力學特性。岳二團等[12]研究了氣隙偏心下永磁電機轉子系統的震動特性，詳細討論了不同偏心以及負載類型對轉子系統振動特性的影響。黃志偉等[13]研究了不平衡磁拉力作用下裂紋轉子的分岔與混沌特性。Sinou[14]考慮裂紋深度、位置及軸旋轉速度的影響，對裂紋轉子系統的穩定性進行了研究分析。。鄒劍等[15]基于簡單鉸鏈裂紋模型，建立了含初始彎曲裂紋轉子的無量綱動力學方程，可適用于穩態、瞬態、非線性等不同運動狀態下、不同系統參數情形下裂紋轉子的振動分析，采用Floquet理論分析了含初始彎曲裂紋轉子的穩定性，討論了不同的剛度變化、阻尼比對系統穩定性的影響，可為裂紋轉子識別提供依據。Cao[16]研究了含分數階阻尼的裂紋轉子系統的非線性動力學行為。Guo等[17]研究了含有橫向呼吸裂紋的Jeffcott轉子系統，采用Floquet理論在考慮轉子的裂紋深度和旋轉速度的基礎上研究了轉子系統的穩定性。這些文獻在對裂紋轉子非線性動力學行為研究取得了非常有價值的結論和成果。

然而在工程實際中，轉子-軸承系統更加復雜，汽輪機葉輪偏心造成圓周方向葉尖間隙的不均勻分布，同一級中各葉片上的氣動力就不相等，葉片上的周向氣動力除合成一個轉矩外，還合成一個作用于轉子軸心的橫向力。這一橫向力隨葉輪偏心距的增大而增大，是轉子的一個自激振動，該力引起轉子的進動，在一定條件下引起轉子的失穩[18-20]。轉子系統一旦發生故障，就可能有多種故障同時并存，故障之間的相互影響使得系統的動力學行為更加復雜。盡管已經有很多學者研究了裂紋或氣流激振力對轉子系統動力學行為的影響，但到目前為止，對于汽輪機非線性間隙氣流激振力和裂紋耦合故障下的轉子非線性動力學研究尚且沒有進行研究。因此，本文建立了在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下裂紋轉子的動力學分析模型，考慮了裂紋交叉剛度和綜合開閉規律模型，通過數值方法研究了汽輪機非線性間隙氣流激振力及裂紋深度對轉子系統運動的影響及非線性動力學行為，為實際轉子—軸承系統的故障診斷和穩定運行提供參考。

1轉子軸承系統的數學模型

本文以含有裂紋故障的對稱剛性油膜支承的轉子-軸承系統作為研究對象，忽略扭轉振動和陀螺力矩，只考慮轉子的橫向振動，如圖1所示，研究在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下的非線性動態響應。其中O1、O2分別為軸承內瓦和轉子幾何中心，O3為轉子質心；轉子兩端由半徑為R、長為L的滑動軸承支承，m1、c1和m2、c2分別為轉子在軸承處和圓盤處的等效集中質量和結構阻尼，e為圓盤的質量偏心，Fx、Fy為非線性油膜力。轉子與軸承之間為無質量彈性軸，在軸中間有深度為a的弓形橫向裂紋。

圖1　油膜支承裂紋轉子系統示意圖Fig.1 A schematic of the rotor system

1.1非線性間隙氣流激振力模型

本文以某型汽輪機轉子為研究對象，系統結構及受到的氣流激振力如圖2所示。fax、fay為氣流激振力Fa在x,y方向的分力。非線性氣流激振力采用文獻[18]中無量綱激振力模型：

圖2　系統受力圖及氣流在靜、動葉片間流動示意圖Fig.2 Loading diagram of the system

(1)

式中：

(2)

1.2裂紋剛度模型

轉子裂紋軸橫斷面如圖3所示，轉子軸在無裂紋時的剛度為k0,kxx為x方向的剛度；kxy、kyx為x,y方向交叉的剛度；裂紋在ξ方向和η方向的剛度變化量為kξ和kη；ω為轉速；β為不平衡量與裂紋法向的夾角。轉子系統的剛度矩陣無量綱形式可表示為[21]：

圖3　轉子裂紋軸橫斷面示意圖Fig.3 The model of the crack on the shaft

(3)

(4)

開閉函數當a/R<0.5時采用GASCH的鉸鏈彈簧模型，a/R≥0.5時采用MAYES提出的裂紋模型[22]，開閉函數表達式如下：

(5)

1.3油膜力模型

本文采用短軸承模型[23]，短軸承在坐標軸x,y兩個方向上的無量綱油膜力為：

式中：

G(x,y,α)=

1.4轉子-軸承系統運動微分方程

設轉子左端軸承處的徑向位移為x1、y1；轉盤處的徑向位移為x2、y2。則氣流激振力作用下系統的運動微分方程為：

(7)

進行無量綱化后得到系統運動微分方程為：

(8)

τ=ωt、X1=x1/b、Y1=y1/b、X2=x2/b、

2數值計算及分析

由于非線性油膜力、汽輪機非線性間隙氣流激振力的存在，方程具有強非線性特性，本文利用四階Runge-Kutta方法對方程進行數值計算。本文轉子軸承系統的主要參數為[13]：m1=4.0 kg，m2=32.1 kg，R=25 mm，L=12 mm，μ=0.018 pa·s，c1=1 050 N·s/m、c2=2 100 N·s/m、k=2.5×106N/m，e=0.05 mm，b=0.11 mm，氣流激振力的參數選取為[18-19]：ρ0=11.8 kg/m3，RT=0.5 m，RB=0.37 m，β1=35°，β2=40°，ζ=0.83，δ=1.2×10-3m，V=200 m/s。系統一階臨界轉速為ω0=882.5 rad/s。

2.1非線性間隙激振力對轉子振動的影響

圖4(a)和圖4(b)分別為不考慮和考慮非線性汽流激振力作用時，轉子系統隨轉速ω變化的分岔特性。圖4(a)為不考慮非線性間隙氣流激振力時，轉盤隨轉速增大的響應分岔圖。從圖4(a)可以看出，隨著系統轉速ω的增大，在非穩態油膜力和轉子離心力作用下，隨著轉速的增加逐漸表現出不同的非線性特征，系統先后經歷了周期1運動、短暫的混沌、周期2運動、周期4運動、周期8運動、兩個吸引子的混沌運動、周期8運動、周期4運動、周期2運動、周期5運動、高速域的擬周期復雜運動等形式。在轉速較低時，系統處于穩定的周期1運動狀態。隨著轉速的增大，由于非線性油膜力和離心力的共同作用，系統在ω=629 rad/s時出現倍周期分岔發生失穩，進而系統經倍周期分岔進入混沌運動，在ω=800 rad/s時經過倒分岔離開混沌運動，并在ω=1 496 rad/s進入超臨界轉速域的擬周期復雜運動狀態。

圖4　轉子系統隨角速度ω變化的分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of the rotor under the change of rotating speed

圖5　不考慮激振力時的軸心軌跡圖和Poincare映射圖Fig.5 Portraits of central point of shaft and Poincare map of vibration response without the air-exciting force of Steam Turbine

圖4(b)為考慮非線性間隙氣流激振力作用時，轉子系統隨轉速ω變化的分岔特性。圖5和圖6分別為不考慮和考慮汽輪機非線性間隙氣流激振力作用時幾個典型轉速下的運動狀態。對比圖4(a)和圖4(b)可以看出，不考慮非線性間隙氣流激振力作用時在亞臨界轉速區域出現的短暫混沌消失，系統的周期性分岔有所提前且周期性分岔區域明顯變長；并且在周期2與周期4之間出現周期7運動，如圖6(a)所示在ω=755 rad/s時的軸心軌跡圖和Poincare截面映射圖，Poincare截面上表現為7個孤立的點。在臨界轉速附近，系統的混沌區域發生了明顯的變化，系統響應為混沌運動的分岔圖演變為兩條壓扁的自相似軌跡，且系統混沌區域明顯減小；圖6(b)所示轉速為ω=955 rad/s時的軸心軌跡圖和Poincare截面映射圖，對比圖5(a)可以看出，由于非線性間隙氣流激振力的作用，軸心軌跡的形狀發生了較大的變化，Poincare截面圖由一個混沌島狀演變為兩個孤立的島狀。在超臨界轉速區域，轉子系統的擬周期運動有所延后，如圖6(c)為轉速ω=1 497 rad/s時的軸心軌跡圖和Poincare截面映射圖，對比圖5(b)可以看出系統的響應在非線性間隙氣流激振力作用下由擬周期運動演變為周期5運動。在高轉速區域，轉子偏心力及氣流激振力明顯增大，造成轉子的橫向振幅變大，圖4可以看出在ω=2 500 rad/s附近轉子的振幅超過了δ發生動靜碰摩，這將會進一步加劇了轉子的異常振動，造成系統的失穩。汽輪機非線性間隙氣流激振力對轉子運動產生這樣的影響主要是由于非線性間隙氣流激振力的存在增強了轉子偏心的作用，從而改變了轉子系統的動力學特性。

綜上所述，可以看出：由于汽輪機非線性間隙氣流激振力的作用，在亞臨界轉速區域出現的短暫混沌消失，系統的周期性分岔有所提前且周期性分岔區域明顯變長，并且在周期2與周期4之間出現周期7運動；在臨界轉速區域附近，系統的混沌區域發生了明顯的變化，系統響應為混沌運動的分岔圖演變為兩條壓扁的自相似軌跡，且混沌區域減小；在超臨界轉速區域，轉子系統的擬周期運動有所延后，使得系統的動力學特性發生了復雜的變化。

2.2裂紋深度對轉子振動的影響

由于裂紋深度的不同，對轉子系統的非線性振動會產生不同的影響。圖7分析研究了在汽輪機非線性間隙激振力作用下，在不同裂紋深度對轉子軸承系統響應過程的影響。隨著裂紋深度的增加， 轉子的振動

響應出現一系列的變化。由圖7可以看出，在轉速較小時，裂紋深度對系統的影響不大，而轉速610 rad/s≤ω≤1 900 rad/s裂紋深度對系統的影響比較大。

圖6　考慮激振力時的軸心軌跡圖和Poincare映射圖Fig.6 Portraits of central point of shaft and Poincare map of vibration response with the air-exciting force of Steam Turbine

圖7　不同裂紋深度時轉子隨轉速ω變化的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of response of rotor under the change of rotating speed on different depths of crack

圖8　不同裂紋深度下軸心軌跡圖和Poincare截面圖Fig.8 Portraits of central point of shaft and Poincare map of vibration response with the air-exciting force of Stream Turbine

圖7(a)是轉子在裂紋深度a/R=0.2時系統響應的分岔圖，由于裂紋深度較小與圖5(b)氣流激振力作用下無裂紋轉子的分岔圖相比并沒有明顯的變化。當裂紋深度a/R=0.4時轉子系統的分岔圖與a/R=0.2時相比，并沒有太大的變化，但是在臨界轉速附近的混沌區域變小，且在超臨界轉速區域出現周期8運動，如圖8(a)所示。a/R=0.6時，由于裂紋深度增大和氣流激振力耦合作用，系統在臨界轉速附近的混沌區域進一步縮小，可以看出在臨界轉速附近轉子系統的分岔特征由兩條近似對稱的軌跡演變為四條自相似的軌跡，圖8(b)為ω=995 rad/s時的軸心軌跡圖和Poincare圖，對比圖6(b)可以看出由，由于裂紋深度的增大，Poincare映射圖上兩個混沌小島演變為四個混沌小島；對比圖7(b)a/R=0.4時可以看出，出現周期5運動演變出周期8運動。隨著裂紋深度進一步增大，當a/R=0.8時轉子運動的混沌區域幾乎消失，且在ω=995 rad/s處出現周期8運動，如圖8(c)所示；在超臨界轉速區域，圖8(d)為轉速ω=1 530 rad/s時系統的軸心軌跡圖和Poincare截面映射圖，與圖8(b)對比可以看出，由于裂紋深度的增大， 系統由周期8運動演變為周期11運動，在Poincare截面圖上表現為11個孤立的點。當裂紋深度a/R=1.0時，由圖7(e)可以看出，裂紋深度對亞臨界轉速、臨界轉速附近和超臨界轉速區域的復雜運動的影響都非常明顯：亞臨界轉速區域的周期2運動幾近消失；臨界轉速附近的混沌運動完全消失，且出現倒分岔現象；超臨界轉速區域，與裂紋深度較小時相比，周期運動消失，出現混沌區域，且在1 555 rad/s≤ω≤1 895 rad/s范圍內出現較長周期3運動，如圖8(e)所示為轉速ω=1 665 rad/s時的軸心軌跡Poincare截面映射圖。這主要是由于氣流激振力和油膜力耦合作用造成的。從圖4、5和圖6、7可以看出：在汽輪機非線性間隙氣流激振力、油膜力以及不平衡離心力的作用下，在淺裂紋時，汽輪機非線性間隙氣流激振力對系統起主導作用，且在超臨界轉速區域出現周期8運動，隨著裂紋深度的增加，系統運動的混沌區域逐漸減小直至消失，在超臨界轉速區域的逆周期運動演變為較長的周期3運動。產生這些復雜運動主要是由于轉子系統隨著裂紋深度的增大，轉軸剛度不斷變化，呈現出不同的非線性特征。這些非線性響應特征可以作為含裂紋轉子在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下耦合故障發生的典型特征，也可作為此類耦合故障診斷的依據。

3結論

針對在汽輪機非線性間隙氣流激振力對轉子系統影響研究中存在的不足，本文建立了在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下，綜合考慮非線性油膜力和不平衡離心力且具有彈性支承的裂紋轉子-軸承系統的動力學模型，推導了系統的無量綱運動方程。采用數值積分方法對汽輪機轉子的非線性動力學分岔特性做了較深入的研究。結果表明：

(1) 考慮汽輪機非線性間隙氣流激振力作用時，在亞臨界轉速區域出現的短暫混沌消失，系統的周期性分岔有所提前且周期性分岔區域明顯變長；在臨界轉速附近，系統響應為混沌運動的分岔圖演變為兩條壓扁的自相似軌跡，且系統混沌區域明顯減小；在超臨界轉速區域，由于氣流激振力的作用，部分擬周期運動演變為周期5運動，轉子系統的擬周期運動有所延后。在高轉速區域，轉子偏心力及氣流激振力明顯增大，造成轉子的橫向振幅變大，將會發生動靜碰摩，進一步加劇了轉子的異常振動，造成系統的失穩。

(2) 在淺裂紋時，汽輪機非線性間隙氣流激振力對系統的響應起主導作用，且在超臨界轉速區域出現周期8運動；隨著裂紋深度的增加，系統運動的混沌區域逐漸減小幾乎消失，在超臨界轉速區域的逆周期運動演變為較長的周期3運動。隨著裂紋深度的增加，裂紋對轉子系統的影響也逐漸的明顯和復雜。

(3) 研究結果揭示了在汽輪機非線性間隙氣流激振力作用下含裂紋轉子系統中的復雜非線性動力學現象，這些非線性響應特征可作為此類耦合故障診斷的依據。

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Bifurcation characteristic of a cracked rotor-bearing system under air-exciting forces of steam turbine

WENGLei1,2,YANGZi-chun1,2,CAOYue-yun1,2(1. Institute of High Temperature Structural Composite Materials for Naval Ship，Naval University of Engineering，Wuhan 430033, China; 2. College of Power Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

Abstract:The dynamic model of a cracked rotor-bearing system under air-exciting forces of steam turbine was established. Numerical method was adopted to analyze bifurcation and chaos characteristics of the system. The effects of air-exciting forces of steam turbine and depths of crack on the vibration response of the rotor were discussed using Poincare’s cross-section, portraits of central point and bifurcation diagrams. The results indicated that the dynamic periodic responses of the system occur in advance and its chaotic motion region decreases due to air-exciting forces of stream turbine; moreover, for the dynamic responses of the system, the air-exciting forces of stream turbine play a dominant role in case of shallow cracks, and period-eight motions appear in the super-critical speed region of the system; with increase in crack depth, the system’s chaotic motion region decreases and almost disappears around the critical speed; the system’s quasi-period motions become a longer period-three motion in the system’s super-critical speed region. The study results provided a reference for further understanding the failure mechanism of such a rotor-bearing system.

Key words:bifurcation; rotor-bearing system; air-exciting forces of steam turbine; nonlinear vibration

中圖分類號:TB561；U661.42

文獻標志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.05.014

通信作者楊自春 男，教授，博士生導師，1967年生

收稿日期：2015-03-09修改稿收到日期：2015-09-18

基金項目：海軍十二五預研基金(010502010261002)

第一作者 甕雷 男，博士生，1988年生