時鐘表盤中角度問題探究

唐娟娟（湖北省襄陽市襄陽五中實驗中學）

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時鐘表盤中角度問題探究

唐娟娟
（湖北省襄陽市襄陽五中實驗中學）

一、圓形時鐘鐘面

采取實物教具——圓形石英鐘

和同學們一起探討表盤中指針的夾角，通過演示可以明確知道，表盤給我們一個360°的周角形象。讓學生觀察時鐘表面結構可知：時針12小時轉表盤一圈，即旋轉了360°，所以時針1小時旋轉360°÷12=30°，就很容易得到時針1分鐘轉30°÷60=0.5°；而分針60分鐘轉一圈，所以分針1分鐘轉360°÷60=6°。我們經過探究，得出結論，形成概念。

（1）表盤中共有12個數字，每兩個相鄰的數字中心線間的夾角是30°。

（2）表盤中分針每分鐘轉6°，而時針每分鐘轉0.5°。

（3）在同一時間內，分針是時針所轉度數的12倍。

利用這些關系就可以解決鐘表上的有關問題。

【例1】七點三十分時，鐘表上時針與分針的夾角是多少度？

分析：七點三十分時，分針指在6上，而時針指在7～8中間的位置，兩指針之間相距1.5個30°。所以，夾角度數為30°×1.5=45°。

二、探究數學模型

通過實物演示和學生一起建立了以下數學模型：

1.整點時間指針度數的計算

把鐘表指針撥向1點、3點、5點、6點時，學生能夠利用先前得到的結論很容易地算出用小時數乘以30°；這時，把指針指向7點，結果有許多學生把度數計算成210°，提示大家：時針與分針所夾的角是指小于180°的角，那么應怎樣計算呢？學生通過觀察討論認為用360°去減，算另外一側的角。由此得出數學模型：

令時間為a小時，則兩指針的夾角=a×30°或360°-a×30°。

2.非整點時間指針度數的計算

把鐘表指針撥到如圖，1點45分時的時針與分針之間的夾角是多少？

我們很容易地看到此時的夾角是分針與12點中心線的夾角減去時針與12點中心線夾角的差。那么如何計算這兩個夾角的度數呢？

分析：經過探究發現：分針12點中心線的夾角為45×6°，而時針與12點中心線夾角為1×30°加上45×0.5°，這樣兩度數相減就得到所求的結果；

把鐘表指針撥到4點15分，讓學生觀察時針與分針的夾角，我們能一眼看出此時的夾角度數是時針與12點中心線夾角度數減去分針與12點中心線的夾角度數，讓他們計算。提出假設：如果還用時針與12點中心線夾角度數減去分針與12點中心線的夾角度數行不行？

三、借助行程問題，化繁為簡

1.表盤上的相遇問題

導練：已知環形跑道長300米，甲乙兩人同時從起跑線同向起跑，兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，問他們何時首次相遇？

分析：此題是一道環形跑道同向而行的問題，出發時二人在同一起跑線上，到首次相遇時，雖然無法確定兩者各跑多少，但能知道兩人相遇時跑快者比跑慢者多跑一圈，由此得到等量關系：甲跑的路程-乙跑的路程=跑道的周長，指導學生進行解答。然后出示例題：

【例1】現在是12點，時針與分針是重疊的，問時針至少轉過多大角度時，兩針再次重疊？

分析：將表盤看做環形跑道，分針與時針看做跑步快慢的兩個人，同時同向從12點處出發，再相遇時就相當于分針比時針多走了一圈。這樣有準備題的啟發，學生很快得到了等量關系：

分針轉過的度數-時針轉過的度數=360°

解：設時針至少轉過x°時針再次重疊。因為時針每分鐘走0.5°，所以，時針走x°用（）分，則分針在相同時間內轉了〔6（）〕°，可列方程：6（）-x=360°

2.表盤上的追及問題

導練：甲乙兩人在環形跑道上進行短跑訓練，乙在甲前100米的位置上，已知甲、乙兩人的速度分別為3米/秒和1米/秒，起跑后，問甲用多長時間追上乙？

分析：這是一道追及問題，兩人在相同時間內，甲跑的路程比乙跑的路程多100米，因此可以得到路程相等的等量關系：甲跑的路程-乙跑的路程=100。

【例2】某人晚上6點多鐘外出散步，此時分針與時針的夾角110°，回家時發現時間還未到7點，且時針與分針的夾角仍為110°，請你推算出此人外出了多長時間？

分析：分針相當于準備題中的甲，時針相當于準備題中的乙，外出前指針相差110°，就相當于兩人在跑道上相距100米，回家時兩指針還差110°，可想象為準備題中的甲在某一時刻超出乙100米的距離，這樣兩題中的類似地方是在相同的時間內分針多走的角度相當于準備題中的甲比乙多走的路程。由此可得到兩指針角度相等的等量關系：110°+時針轉過的度數+110°=分針轉過的度數。

可列方程：設此人外出了x分鐘。6x-0.5x=110×2 x=40答：此人外出了40分鐘。

·編輯謝尾合