一道全國高中數學聯賽不等式題的反證法

胡銘楊（江西省吉安市新干縣新干中學）

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一道全國高中數學聯賽不等式題的反證法

胡銘楊
（江西省吉安市新干縣新干中學）

本文旨在針對2015年全國高中數學聯賽（A卷）加試中第一題，探討該不等式證明題的多種解法，給出筆者2015年參賽的個人解法以作為參考。

思路：首先，作為一道證明題，我們發現題中所要證明的命題是個存在性命題，正面求證似乎較難突破，我們不妨嘗試反證法。

聯想競賽中常見的平均值原理，將其轉化為如下命題：

（1）對于ε1，ε2…，εn的每一種對應，記之為Ai（i=1，2，…，2n），顯然共有2n種對應。

這樣，我們通過反證法將原本分散的2n種排列集合成一個整體，省去了特殊情況入手討論最值的繁難，而是將特殊化為一般。這便是平均值原理的魅力。

有關（4）的證明，觀察知每個Ti都可拆開：

·編輯韓曉