高應變率下斷裂韌性實驗的數值模擬*

葉 波，巫緒濤，胡鳳輝，廖 禮

(合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009)

高應變率下斷裂韌性實驗的數值模擬*

葉 波，巫緒濤，胡鳳輝，廖 禮

(合肥工業大學土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009)

采用有限元軟件ANSYS/LS-DYNA程序對靜態和沖擊荷載作用下的含裂紋半圓彎曲(SCB)實驗進行了數值模擬。根據靜態實驗的模擬結果，提出了適合復合型加載的Ⅰ型應力強度因子擬合公式，采用該公式計算應力強度因子的最大誤差不超過10%。動態實驗的模擬結果表明：對于純Ⅰ型加載的SCB實驗，動態應力強度因子隨著試樣半徑、支座間距以及相對裂紋長度的變化呈現規律性變化；當試樣半徑小于60 mm、相對支座間距為1.2、相對裂紋長度在0.1～0.4范圍內時，慣性效應的影響較小，采用靜態擬合公式計算裂尖的動態應力強度因子的誤差約10%；對于復合型加載的SCB實驗，當相對裂紋長度為0.2～0.4、裂紋傾角在10°～40°范圍內時，采用靜態擬合公式計算裂尖的動態應力強度因子的誤差小于10%。

固體力學；斷裂韌性；沖擊荷載；應力強度因子；含裂紋SCB實驗；復合型加載

混凝土、巖石類脆性材料在土木工程中大量使用，對于一些重要的防護結構，如大壩、核電站安全殼等，設計時必須考慮強沖擊載荷作用。而這些材料往往含有大量的原生缺陷，在沖擊載荷作用下的動態響應與靜載荷下顯著不同，因此研究其動態力學性能，特別是與裂紋擴展相關的動態斷裂韌性十分重要。

由于理論和實驗技術的困難，高應變率下脆性材料動態斷裂行為的研究一直進展緩慢。M.Nakano等[1]和Y.Yamauchi等[2]在分離式Hopkinsion壓桿(SHPB)上采用含中心直裂紋巴西圓盤試樣(CCBD)進行了復合型動態斷裂韌性實驗。由于實驗技術的不成熟，得到的實驗數據較離散，但仍然發現結果與靜態實驗的顯著不同，不僅受實驗應變率的影響，同時與試樣大小和裂紋長度密切相關。為了更好地測量脆性材料的斷裂韌性，有學者采用含裂紋或缺口的半圓彎曲(SCB)試樣代替傳統的CCBD試樣，并結合有限元模擬得到靜態斷裂韌性的計算公式[3-5]。R.Chen等[6]和F.Dai等[7-8]將SCB試樣引入脆性材料動態斷裂韌性的測量，并采用先進的激光測量系統測量試樣裂紋或缺口的張開位移，假設實驗中試樣達到應力平衡，忽略慣性效應的影響，沿用靜態分析結果計算動態斷裂韌性。然而在SHPB實驗中，大多數脆性材料很難達到應力平衡，慣性效應的影響始終存在，上述研究中沒有明確提出動態加載下靜態分析的適用范圍和可靠性。

本文中采用有限元方法，首先對靜態含裂紋SCB實驗進行數值模擬，結合量綱分析推導適用于復合型斷裂的Ⅰ型應力強度因子(KⅠ)擬合公式；對基于SHPB技術的動態復合型SCB實驗進行數值模擬，計算試樣裂尖的動態應力強度因子(KⅠd)，分析試樣半徑、支座間距、相對裂紋長度及裂紋傾角對斷裂韌性的影響，討論靜態公式的適用范圍。

1 靜態復合型加載SCB實驗模擬及Ⅰ型應力強度因子擬合公式

1.1 含裂紋SCB實驗

圖1 靜態復合型加載SCB實驗簡圖Fig.1 Diagram of static SCB test under mixed mode loading

采用有限元軟件ANSYS程序對靜態復合型斷裂SCB實驗進行了數值模擬，實驗示意圖如圖1所示，其中：a為裂紋長度，R為試樣半徑，F試樣頂部集中載荷，β為裂紋傾角(裂紋與試樣中心軸間的夾角)，s為半支座間距。

試樣采用線彈性本構，彈性模量為30 GPa，密度2 500 kg/m3，泊松比0.2。試樣半徑為50 mm，厚25 mm，支座間距為60 mm，裂紋相對長度a/R從0.01變化至0.8，裂紋傾角β從0°變化至45°。

依據圖1建立有限元模型，單元類型為solid 186六面體實體單元。為了更好地反映裂紋應力奇異的影響，圍繞裂尖一圈采用命令KSCON實現退化奇異等參元。應力強度因子采用相互作用積分法[9]計算，該法是基于J積分的一種新型應力強度因子計算方法，其精度與數值外插法相當。對于靜態問題，ANSYS提供了支持該法的命令流，適于批量操作，對于而動態問題則沒有，因此本文中采用不同的方法計算靜態和動態應力強度因子。

1.2 Ⅰ型應力強度因子擬合公式

根據量綱分析并結合文獻[3-8]進行計算，選擇Ⅰ型應力強度因子KⅠ擬合公式形式為：

(1)

式中：B為試樣厚度，g、h為擬合函數。式(1)的前半部滿足應力強度因子的量綱形式，且滿足當a趨于0時，公式退化為彎曲梁單邊斜裂紋的KI公式。后半部為量綱一形狀因子，反映了裂紋長度a、支座間距s和裂紋傾角β的影響，擬合函數g、h采用多項式形式，表達式為：

式中：dn和en(n=1,2,…,5)為裂紋傾角β的擬合系數，均采用直線方程擬合：

(4)

圖2 靜態復合型加載SCB實驗應力強度因子擬合結果Fig.2 Fitted effect of stress intensity factor in static SCB test under mixed mode loading

采用本文公式模擬不同傾角β下的應力強度因子，結果如圖2所示。最大擬合誤差小于10%。從圖2可以看出KⅠ值隨裂紋傾角β增加而降低，當傾角大于40°時，KⅠ值趨向0，反映出斷裂由純Ⅰ型向復合型直至純Ⅱ型轉變的過程。

2 基于SHPB裝置的動態SCB實驗的模擬

2.1 有限元模型和動態應力強度因子計算

圖3 基于SHPB裝置的動態SCB實驗有限元模型Fig.3 Finite element model of dynamic SCB test based on SHPB device

圖4 三角形速度脈沖Fig.4 Triangular velocity pulse

模擬采用LS-DYNA程序，其中試樣的材料常數與靜態完全相同，SHPB裝置的入射桿和透射桿采用線彈性材料：彈性模量200 GPa，密度7 850 kg/m3，泊松比0.3。直徑100 mm，長度2 000 mm。所用單元類型均采用Solid 164六面體實體單元。有限元模型如圖3所示。載荷為加在左端入射桿端面的三角形速度脈沖，如圖4所示。

圖5 不同相對裂紋長度下的應力強度因子變化規律Fig.5 Variation of stress intensity factor for different relative crack lengths

由于動態模擬無法實現退化奇異單元，在裂尖附近采用稠密單元，減小單元網格尺寸影響。采用2種方法計算裂尖的動態應力強度因子KⅠd：(1) 由裂紋面張開位移通過數值外插法[10]得到，記為KⅠd1；(2) 根據試樣左右端面的接觸力-時間曲線平均后帶入式(1)計算得到，記為KⅠd2。KⅠd1為裂尖實際動態應力強度因子，KⅠd2為采用靜態公式得到的動態應力強度因子。

2.2 動態純Ⅰ型加載SCB實驗的模擬及分析

首先對裂紋傾角β=0°的純Ⅰ型加載SCB實驗進行了模擬，研究相對裂紋長度a/R、試樣半徑R、以及支座間距s對裂尖實際動態應力強度因子KⅠd1的影響。圖5所示為固定試樣半徑R=50 mm、相對支座間距s/R=0.6、裂紋相對長度a/R從0.1變化至0.8時的KⅠd1。圖6所示為a/R=0.4，s/R=1.2、試樣半徑R從40 mm變化至70 mm時的KⅠd1。圖7所示為試樣半徑R=50 mm、a/R=0.4、相對支座間距s/R從0.4變化至0.8時的KⅠd1。

圖6 不同試樣半徑下應力強度因子的變化規律Fig.6 Variation of stress intensity factor for different sample radiuses

圖7 不同支座間距下應力強度因子的變化規律Fig.7 Variation of stress intensity factor for different distances between two supports

由圖5～7可以看出：

(1)KⅠd1隨裂紋相對長度a/R、支座間距s的增大而增大，隨試樣半徑R的增大而減小。

(2)KⅠd1-t曲線在加載過程中均單調增加，而達到峰值后出現震蕩；隨a/R、試樣半徑R增加，震蕩加劇，較大和較小的支座間距也會導致震蕩加劇。這種震蕩反映了試樣應力不平衡導致的慣性效應的影響。當a/R<0.4、試樣半徑小于60 mm、s/R≈1.2時，試樣應力不平衡影響較小。

為了進一步分析靜態公式的適用范圍，對a/R在0.1～0.6范圍內裂尖實際KⅠd1和靜態公式得到的KⅠd2進行了比較，結果如圖8所示，從圖中可以看出，兩者在a/R=0.4時吻合最好。按下式得到不同a/R情況下兩者的相對誤差δ并繪圖，如圖9所示，其中δ的表達式為

(5)

從圖9可以看出，當a/R<0.4時，δ趨近于0，兩者相對誤差在10%左右，即此時慣性效應的影響較小，靜態公式具有足夠的精度。

圖8 KⅠd1和KⅠd2的比較(a/R=0.4)Fig.8 Comparison of KⅠd1 and KⅠd2 (a/R=0.4)

圖9 靜態公式的相對誤差隨a/R的變化Fig.9 Relative error of static formula for different a/R

2.3 動態復合型加載SCB實驗模擬及分析

為了研究復合型加載SCB實驗中KⅠd的變化規律，在純I型研究的基礎上，固定試樣半徑R=50 mm、支座間距s=1.2R，裂紋傾角β從10°變化至40°，每個傾角下相對裂紋長度a/R從0.2變化至0.8建立有限元模型進行研究。為了便于分析，取裂尖KⅠd1-t曲線加載段的峰值KⅠd1max進行比較。圖10所示為不同a/R情況下KⅠd1max隨裂紋傾角β的變化規律，圖11所示為不同裂紋傾角β情況下KⅠd1max隨a/R的變化規律。

圖10 KⅠd1max隨裂紋傾角β的變化規律Fig.10 Variation of KⅠd1max with crack angle β

圖11 KⅠd1max隨裂紋相對長度a/R的變化規律Fig.11 Variation of KⅠd1max with relative crack length a/R

由圖10可以發現，對應相同的裂紋相對長度，KⅠd1max隨裂紋傾角β的增大而減小，且a/R越大，下降速率越大。由圖11可以發現，對應相同裂紋傾角，KⅠd1max隨裂紋相對長度a/R的增大而增大，而當裂紋傾角β達到40°時，KⅠd1max隨裂紋相對長度a/R的增大而減小，變化規律與靜態模擬結果類似，如圖2所示。

為了進一步分析復合加載條件下靜態擬合公式的適用性，按式(5)計算了裂尖實際應力強度因子峰值KⅠd1max與靜態公式得到的應力強度因子峰值KⅠd2max之間的相對誤差δm，如表1所列。可以看出，當裂紋傾角β在10°～40°之間時，裂紋相對長度a/R在0.2～0.4之間時，靜態公式的相對誤差小于10%，精度較高，而超出此范圍，相對誤差增大至20%～50%，即靜態公式失效。

表1 復合型加載下靜態公式計算KⅠdmax的相對誤差δmTable 1 Relative error δmof KⅠdmax in the static formula under mixed-mode loading

3 結 論

本文中通過有限元分析方法，對靜態和動態復合型加載SCB實驗進行了數值模擬研究，得到如下結論：

(1) 根據靜態實驗的模擬結果，結合量綱分析得到了適合于裂紋傾角在0°～45°，裂紋相對長度在0.1～0.8范圍內的應力強度因子擬合公式，計算結果最大誤差小于10%。

(2) 對于含純Ⅰ型中心裂紋的動態SCB實驗，試樣裂尖的動態斷裂韌性隨試樣半徑增大而減小；隨支座間距和裂紋相對長度的增大而增大。

(3) 對于含復合型裂紋的動態SCB實驗，當裂紋相對長度在0.2～0.7范圍內時，裂尖的動態斷裂韌性隨著裂紋傾角的增大而減小；當裂紋傾角在10°～30°范圍內時，裂尖的動態斷裂韌性隨著裂紋相對長度的增大而增大。

(4) 通過采用位移外插法和靜態擬合公式2種方法計算裂尖的動態斷裂韌性，并計算相對誤差發現，對于含純Ⅰ型中心裂紋的動態SCB實驗，當裂紋相對長度在0.1～0.4范圍內時，可以忽略慣性效應，直接采用靜態KI公式計算裂尖的最大斷裂韌性，相對誤差約10%。對于含復合型斜裂紋的動態SCB實驗，當裂紋相對長度在0.2～0.4，裂紋傾角在10°～40°范圍內時，也可以直接采用靜態公式計算裂尖的最大斷裂韌性，相對誤差小于10%。

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(責任編輯 王小飛)

Numerical simulation of fracture toughness test under high strain rate

Ye Bo, Wu Xutao, Hu Fenghui, Liao Li

(SchoolofCivilEngineering,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009,Anhui,China)

In this work we conducted numerical simulations of semi-circular bending (SCB) test of steel with cracks respectively in a static condition and under impact loading, using ANSYS/LS-DYNA, a finite element software. According to the results achieved from the simulation of the static test, we have put forward the formula for the calculation of Steel Ⅰ’s fitted stress intensity factor which, when applied to the calculation of the factor under the mixed-mode loading, can keep the maximum error below 10%. The simulation result of dynamic test shows that: for semi-circular bending (SCB) test of pure Steel Ⅰ under impact loading, the dynamic stress intensity factor exhibits regular variation with the change in the specimen’s radius, the distance between the supports, and the relative crack length: When the specimen’s radius is less than 60 mm, the distance between two supports is 1.2 and the relative crack length is in the range of 0.1 to 0.4, the inertial effect is relatively small and the error of the dynamic stress intensity factor calculated with the above formula is about 10%; when the relative crack length is 0.2 to 0.4 and the crack angle is in the range of 10° to 40°, the error of KId which is calculated with this formula is less than 10% for semi-circular bending (SCB) test under mixed-mode loading.

solid mechanics; fracture toughness; impact loading; stress intensity factor; SCB test with crack; mixed-mode loading

10.11883/1001-1455(2016)03-0416-06

2014-10-13；

2015-02-03

國家自然科學基金項目(11072072)

葉 波(1991- )，男，碩士研究生；

巫緒濤，wuxvtao@sina.com。

O347.3國標學科代碼：13015

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