基于一致系數(shù)求積的廣義牛頓法求解非線性方程組

姚騰騰(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

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基于一致系數(shù)求積的廣義牛頓法求解非線性方程組

姚騰騰
(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

摘要:采用一致系數(shù)求積公式近似逼近泰勒余項(xiàng),得到一種新的求解非線性方程組的廣義牛頓法.給出算法的一般形式,證明算法是三階收斂的,并且在一定的溫和條件下可以達(dá)到五階收斂.最后,給出數(shù)值例子說明算法的有效性和穩(wěn)定性.

關(guān)鍵詞:一致系數(shù)求積;廣義牛頓法;非線性方程組;三階收斂

其中x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,f:K?Rn→Rn在凸集K中是充分Fréchet可微的.眾所周知,牛頓法是求解非線性方程組(1)的經(jīng)典迭代法.而近幾年,出現(xiàn)了許多利用Adomian分解、同倫攝動(dòng)、牛頓柯特斯求積等技巧求解非線性方程組(1)的牛頓衍生算法[1-8],這些方法相較于牛頓法具有更高的收斂性.在本文中,我們提出一種新的廣義牛頓迭代算法,即采用基于一致系數(shù)求積的牛頓法求解非線性方程組(1).此廣義牛頓迭代法只需要估計(jì)f(x)以及它在不同點(diǎn)處的雅可比矩陣即可.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,這個(gè)迭代算法是三次收斂的并且在一定的溫和條件下可達(dá)到五階收斂.

1　預(yù)備知識(shí)

一致系數(shù)求積公式[9]定義如下形式的積分

這里ρ(x)是權(quán)函數(shù),通常式(2)的不定積分無法求解,為此我們需要定義能夠近似I(f)的數(shù)值積分公式.典型的數(shù)值積分公式具有如下形式:

其中xk稱為求積公式的節(jié)點(diǎn),Ak稱為求積系數(shù).假設(shè)ρ(x)=1,則n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一致系數(shù)求積公式具有如下簡單形式

由文獻(xiàn)[10]知,節(jié)點(diǎn)xk是……