巧設問題，自主建模，讓知識自然生長

焦永花

前段時間，筆者參加了在山東省濰坊外國語學校召開的第三屆全國數學建模骨干教師培訓會暨中小學數學建模研討會.會議上有幸聽了課題為《“握手”問題的探究與應用》的公開課，從情境創設、導入新課，到提出問題、合作建模，再到應用模型、解決問題各環節都受益匪淺，尤其是在提出問題、合作建模這個環節感悟頗深.

片段課堂實錄：提出問題、合作建模

教師：和同學們初次見面，老師心里非常高興，為了表達老師的心情，老師想和同學們握握手.（老師走進學生中間，親切地跟同學們問好握手，學生異常興奮）

教師邊握手邊表述：握手是人們之間表達感情的一種禮節，那么握手現象中蘊含著怎樣的數學知識呢？請同學們先來看這個問題：

聯歡會上，全班同學之間兩兩握手一次，那么他們共握手多少次？

學生1：老師，我們具體做做，安排一個人做記錄即可.

學生2：老師，這樣太麻煩了，我們可以先以小組為單位探究出規律來，再按探究出的規律進行計算.

（點評：在教師營造的寬松的學習氛圍中，學生的參與是積極的、自由的、主動的，學生的回答是自然的、真實的、樸實的.課堂上出現很高的學習激情，學生的思維被大大地激活.）

教師：那么本節課我們的學習方式就是咱同學們合作探究，解決問題.怎樣進行呢？

學生：四人一組，進行握手游戲，合作尋找握手的內在規律.

教師不失時機地提出問題：很好.若4位同學兩兩握手，共握手多少次？5位呢？6位呢？n位呢？

（四人一個小組，進行握手游戲，探究其中規律）

交流展示、合作建模

一個小組到講臺展示握手過程，并有一個解說員.教師同時板書.

小組1：我們先將4人編號為1號、2號、3號、4號.1號同學握手三次，2號同學握手2次，3號同學握手1次，4號同學握手0次，這樣共握手1+2+3=6次.

教師：這個小組表演得真好，解說得也很明白，大家都同意嗎？由此請同學們猜想：5位同學兩兩握手，共握手多少次？

學生：1+2+3+4=10次.

教師：6位呢？

學生：1+2+3+4+5=15次.

教師：以此類推，那么n位呢？

至此，學生不難得出：1+2+3+4+5+…+（n-1）=

教師：剛才的握手問題不能兩兩重復，那有沒有一些問題是可以兩兩重復的呢？

學生1：同學聚會時，同學之間互送賀卡的問題.

學生2：過年時，同學之間互發祝福短信問題.

教師：很好，那么這時的數學模型應變為什么？

學生：n（n-1）.

教師：非常好.數學模型咱們有了，你能用它來解決開始的問題嗎？（以下是應用模型、解決問題：上課開始的握手問題、在直線上數線段的問題、火車票問題、籃球隊單循環比賽問題等，略.）

本節課的這一片段教學，通過合理問題的引導、學生的積極思考與探究、學生間的合作交流、積極展示等活動，使得這個實際問題的數學模型用兩種不同的方法自然而然地生成，新知識的產生是在學生原有基礎上通過親身操作而“老枝發新芽”.所以，在教學設計中，筆者認為教師要認真思考：①新知識能夠“發芽”的生長點是什么？②要讓學生探究什么問題？用怎樣的策略與方法探究這個問題？通過設置一定的實際問題，讓學生思考解決問題的策略，制定出解決問題的方案.在課堂探究活動中，讓學生親身經歷發現知識的過程，在巧妙的變式中，讓學生經歷知識再創造過程.只有這樣，學生才能真正地感受知識的生長過程，真正地體驗發現知識過程的曲折與艱難，從而積累學習活動經驗，收獲學習過程的快樂.endprint

前段時間，筆者參加了在山東省濰坊外國語學校召開的第三屆全國數學建模骨干教師培訓會暨中小學數學建模研討會.會議上有幸聽了課題為《“握手”問題的探究與應用》的公開課，從情境創設、導入新課，到提出問題、合作建模，再到應用模型、解決問題各環節都受益匪淺，尤其是在提出問題、合作建模這個環節感悟頗深.

片段課堂實錄：提出問題、合作建模

教師：和同學們初次見面，老師心里非常高興，為了表達老師的心情，老師想和同學們握握手.（老師走進學生中間，親切地跟同學們問好握手，學生異常興奮）

教師邊握手邊表述：握手是人們之間表達感情的一種禮節，那么握手現象中蘊含著怎樣的數學知識呢？請同學們先來看這個問題：

聯歡會上，全班同學之間兩兩握手一次，那么他們共握手多少次？

學生1：老師，我們具體做做，安排一個人做記錄即可.

學生2：老師，這樣太麻煩了，我們可以先以小組為單位探究出規律來，再按探究出的規律進行計算.

（點評：在教師營造的寬松的學習氛圍中，學生的參與是積極的、自由的、主動的，學生的回答是自然的、真實的、樸實的.課堂上出現很高的學習激情，學生的思維被大大地激活.）

教師：那么本節課我們的學習方式就是咱同學們合作探究，解決問題.怎樣進行呢？

學生：四人一組，進行握手游戲，合作尋找握手的內在規律.

教師不失時機地提出問題：很好.若4位同學兩兩握手，共握手多少次？5位呢？6位呢？n位呢？

（四人一個小組，進行握手游戲，探究其中規律）

交流展示、合作建模

一個小組到講臺展示握手過程，并有一個解說員.教師同時板書.

小組1：我們先將4人編號為1號、2號、3號、4號.1號同學握手三次，2號同學握手2次，3號同學握手1次，4號同學握手0次，這樣共握手1+2+3=6次.

教師：這個小組表演得真好，解說得也很明白，大家都同意嗎？由此請同學們猜想：5位同學兩兩握手，共握手多少次？

學生：1+2+3+4=10次.

教師：6位呢？

學生：1+2+3+4+5=15次.

教師：以此類推，那么n位呢？

至此，學生不難得出：1+2+3+4+5+…+（n-1）=

教師：剛才的握手問題不能兩兩重復，那有沒有一些問題是可以兩兩重復的呢？

學生1：同學聚會時，同學之間互送賀卡的問題.

學生2：過年時，同學之間互發祝福短信問題.

教師：很好，那么這時的數學模型應變為什么？

學生：n（n-1）.

教師：非常好.數學模型咱們有了，你能用它來解決開始的問題嗎？（以下是應用模型、解決問題：上課開始的握手問題、在直線上數線段的問題、火車票問題、籃球隊單循環比賽問題等，略.）

本節課的這一片段教學，通過合理問題的引導、學生的積極思考與探究、學生間的合作交流、積極展示等活動，使得這個實際問題的數學模型用兩種不同的方法自然而然地生成，新知識的產生是在學生原有基礎上通過親身操作而“老枝發新芽”.所以，在教學設計中，筆者認為教師要認真思考：①新知識能夠“發芽”的生長點是什么？②要讓學生探究什么問題？用怎樣的策略與方法探究這個問題？通過設置一定的實際問題，讓學生思考解決問題的策略，制定出解決問題的方案.在課堂探究活動中，讓學生親身經歷發現知識的過程，在巧妙的變式中，讓學生經歷知識再創造過程.只有這樣，學生才能真正地感受知識的生長過程，真正地體驗發現知識過程的曲折與艱難，從而積累學習活動經驗，收獲學習過程的快樂.endprint

前段時間，筆者參加了在山東省濰坊外國語學校召開的第三屆全國數學建模骨干教師培訓會暨中小學數學建模研討會.會議上有幸聽了課題為《“握手”問題的探究與應用》的公開課，從情境創設、導入新課，到提出問題、合作建模，再到應用模型、解決問題各環節都受益匪淺，尤其是在提出問題、合作建模這個環節感悟頗深.

片段課堂實錄：提出問題、合作建模

教師：和同學們初次見面，老師心里非常高興，為了表達老師的心情，老師想和同學們握握手.（老師走進學生中間，親切地跟同學們問好握手，學生異常興奮）

教師邊握手邊表述：握手是人們之間表達感情的一種禮節，那么握手現象中蘊含著怎樣的數學知識呢？請同學們先來看這個問題：

聯歡會上，全班同學之間兩兩握手一次，那么他們共握手多少次？

學生1：老師，我們具體做做，安排一個人做記錄即可.

學生2：老師，這樣太麻煩了，我們可以先以小組為單位探究出規律來，再按探究出的規律進行計算.

（點評：在教師營造的寬松的學習氛圍中，學生的參與是積極的、自由的、主動的，學生的回答是自然的、真實的、樸實的.課堂上出現很高的學習激情，學生的思維被大大地激活.）

教師：那么本節課我們的學習方式就是咱同學們合作探究，解決問題.怎樣進行呢？

學生：四人一組，進行握手游戲，合作尋找握手的內在規律.

教師不失時機地提出問題：很好.若4位同學兩兩握手，共握手多少次？5位呢？6位呢？n位呢？

（四人一個小組，進行握手游戲，探究其中規律）

交流展示、合作建模

一個小組到講臺展示握手過程，并有一個解說員.教師同時板書.

小組1：我們先將4人編號為1號、2號、3號、4號.1號同學握手三次，2號同學握手2次，3號同學握手1次，4號同學握手0次，這樣共握手1+2+3=6次.

教師：這個小組表演得真好，解說得也很明白，大家都同意嗎？由此請同學們猜想：5位同學兩兩握手，共握手多少次？

學生：1+2+3+4=10次.

教師：6位呢？

學生：1+2+3+4+5=15次.

教師：以此類推，那么n位呢？

至此，學生不難得出：1+2+3+4+5+…+（n-1）=

教師：剛才的握手問題不能兩兩重復，那有沒有一些問題是可以兩兩重復的呢？

學生1：同學聚會時，同學之間互送賀卡的問題.

學生2：過年時，同學之間互發祝福短信問題.

教師：很好，那么這時的數學模型應變為什么？

學生：n（n-1）.

教師：非常好.數學模型咱們有了，你能用它來解決開始的問題嗎？（以下是應用模型、解決問題：上課開始的握手問題、在直線上數線段的問題、火車票問題、籃球隊單循環比賽問題等，略.）

本節課的這一片段教學，通過合理問題的引導、學生的積極思考與探究、學生間的合作交流、積極展示等活動，使得這個實際問題的數學模型用兩種不同的方法自然而然地生成，新知識的產生是在學生原有基礎上通過親身操作而“老枝發新芽”.所以，在教學設計中，筆者認為教師要認真思考：①新知識能夠“發芽”的生長點是什么？②要讓學生探究什么問題？用怎樣的策略與方法探究這個問題？通過設置一定的實際問題，讓學生思考解決問題的策略，制定出解決問題的方案.在課堂探究活動中，讓學生親身經歷發現知識的過程，在巧妙的變式中，讓學生經歷知識再創造過程.只有這樣，學生才能真正地感受知識的生長過程，真正地體驗發現知識過程的曲折與艱難，從而積累學習活動經驗，收獲學習過程的快樂.endprint