基于高層次數學認知的課堂實錄研究

胡曦茜+++周超

摘 要： 無論是國內的青浦實驗還是國外的許多研究，都體現了我國中學生對高層次數學認知的缺失，因此，作者通過對九年級《反證法》的一節課的具體研究，分析目前課堂教學中各層次數學任務的所占比例及落實情況，對如何在課堂教學中提高學生的數學認知水平提出具體建議。

關鍵詞： 高層次 數學認知 課堂教學

在目前的數學教育中，人們普遍認為中國學生善于解決常規問題，而不善于解決非常規、開放性問題，這一觀點在國內外多項研究中都得到了驗證。顧泠沅教授組織的青浦實驗在1990年和2007年分別對八年級學生的數學認知水平進行了大樣本的測試。這兩次測試的結果表明，學生在“計算”、“概念”、“領會”水平上已經取得了較大的突破，但是在“分析”水平上，不但幾乎沒有任何進步，反而還有倒退的跡象。解決非常規、開放性問題和顧泠沅教授所劃分的“分析”水平，均屬于高層次數學認知。因此，什么是高認知層次數學任務，以及如何在課堂教學提高學生高水平數學認知亟待解決。

對此，鮑建生等人根據青浦實驗小組的數學認知水平分析框架，認為“分析”水平應包括以下五點高認知層次數學任務：

（1）發現并形成合適的數學問題：從各種情境中發現所包含的數學要素、關系或結構，提出合適的數學問題；

（2）解決非常規的和開放性的數學問題；

（3）提出猜想與構造模型：分析條件和結論間主要關系或重點步驟，形成假設或初步的數學模型；

（4）特殊化與一般化：全面結合已分解的各要素及其關系，按照模型需要對已有的數學概念、程序、性質和命題進行推廣或特殊化；

（5）數學推理與證明：用數學語言形成結論并給出嚴格的證明。

本文將以此為框架，對一節具體的九年級數學課進行課堂實錄研究。

1.《反證法》內容及教材分析

本節課是華東師范大學版初中九年級教材下冊29.2節《反證法》，在教學中，學生需要體會反證法的含義，掌握反證法的步驟與綜合法的根本區別，并且能用反證法證明一些較簡單的命題。反證法是一種常用的數學證明方法，但是，對九年級學生來說，反證法需要較高的數學思維水平，且反證法是他們從來沒有接觸過的證明方法，因此讓學生理解反證法的含義和掌握證明步驟成為本節課的教學重點。同時，尋找問題的反面是本節課的難點。

2.教學過程分析

表1 各數學任務用時分布情況表

本節課包括：情境引入、方法形成、反證法證明過程的分解練習、例題、練習、擴展練習、總結7個部分，將每個部分細化，與上述框架對應，筆者發現，本節課教師對其中四點落實較好，但較少涉及解決非常規和開放性的數學問題。具體過程如上表：

2.1形成并發現合適的數學問題。

這節課在情境引入和方法形成的第一步中，教師幫助學生形成并發現合適的數學問題。

首先，引入課題的是兩個現實生活中的情境，這兩個問題用反證法更容易解釋得清楚，但教師直接讓學生解釋，在學生解釋不清的時候，再提示學生從結論的反面入手。這樣的做法給了學生充足的思考時間，這就幫助學生發現并形成合適的數學問題，即，什么樣的問題需要用反證法證明？反證法的好處是什么？怎么用反證法證明？在方法形成的第一步中，教師同樣做到了引導學生發現和形成數學問題，請看第一步的教學實錄：

師：我們看一個具體的數學問題。在一個△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.這個命題是真命題嗎？

生：是。

師：這是什么？

生：勾股定理。

師：這就是我們熟悉的勾股定理。接下來教師把他改一改我把剛才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，這是真命題嗎？

生：是。（回答人數不多，學生有些猶豫。）

師：是。為什么呢？

師：思考一下，這個問題很難直接回答，那我們是不是也可以從它的反面來講一講。想想看我們這個命題是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

師：那么我假設a■+b■=c■，你會得到一個什么結果？

生：∠C=90°.

師：為什么會得到∠C=90°呢？

生：因為勾股定理的逆定理。

師：也就是說因為勾股定理的逆定理知道這是一個直角三角形，因為C是斜邊，所以∠C=90°。這與已知條件中∠C≠90°矛盾。一旦出現矛盾，說明假設還成立嗎？

生：不成立。

師：那么就是導致了a■+b■=c■這個命題不成立，也就是a■+b■≠c■，這個命題是一個真命題。

這個過程中，教師一直在引導學生，給出提示，讓學生自己說出結果。雖然處理方法與情境引入相似，但情境引入是兩個生活實例，而這個問題是一個純粹的數學問題。如果在情境引入中教師能啟發學生發現并形成數學問題，那么在這個問題中，教師希望學生自己能發現這個問題與情境引入中問題的相似，從而自己發現問題中包含的數學要素、關系和結構，形成數學問題。

2.2解決非常規和開放性的數學問題。

在本節課的最后，進行完例題與習題的講解，教師給出了一個有趣的問題，如下：

討論問題：有A，B，C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A，B都撒謊，則C必定是在撒謊，為什么？

這是一個非常規和開放性的數學問題，在之前的授課中，學生練習的均為常規的程序性數學問題，這道非常規開放性的數學問題有利于拓寬學生思路，同時加深對反證法的理解，讓學生感受數學與生活的聯系，提高學生學習興趣。但是可惜由于時間關系，教師僅僅用自己提問然后自己回答的方式，證明了一下C必定撒謊這一結論，整個過程用時很短，從課堂反應上看，學生似乎對此問題的理解不夠。

2.3提出猜想與構造模型。

在方法形成的第二步，教師引導學生提出了勾股定理的否命題，便在黑板上板書了反證法的詳細證明步驟。值得一提的是，教師并沒有自己歸納，而是請一名同學回憶上述問題的證明過程，自己歸納。這便做到了提出猜想與構造數學模型。對具體問題的證明和抽象出一般的證明方法之間有著較大跨度，讓學生自己歸納有利于培養學生分析條件和結論之間主要關系或重點步驟，形成初步數學模型的能力。

2.4特殊化與一般化。

在形成一般化的證明方法以后，教師適時地按照證明步驟回顧了情境引入和勾股定理否命題這兩個問題的證明。這樣的做法正好符合了一般化與特殊化的原則，全面結合已分解的各要素及其關系，按照模型需要對已有的數學概念、程序、性質和命題進行推廣或特殊化。回顧例子的過程有利于讓學生把程序化的證明方法和證明過程的實際聯系起來，深化對反證法證明過程的理解。

接著進行了對反證法證明過程的分解練習，具體做法如下：

第一步：練習如何進行假設。讓學生說出“a//b”、“∠A不小于60度”、“線段AB，CD互相平分”、“至少有一個”這四個命題的反面是什么。

第二步：給出證明的大致框架，讓學生填空。

在△ABC中，AB≠AC，求證：∠B≠∠C。

分解練習對于初學者來說有一定的必要性，教師由于有較多的教學經驗，知道學生對于反證法的薄弱環節在于第一步“假設”?！凹僭O”其實是對結論進行否定，而對于初中學生來說，對“不大于”、“至少有一個”這樣的命題進行否定存在比較大的困難，教師第一步進行假設的練習解決了學生普遍存在的這一類問題。在第二步中，給出證明框架，讓學生填空的做法，是給予了學生一個對反證法整體思路的熟悉過程。這種循序漸進的教學方法對于學生的接受有積極作用。同時，上述的第四點特殊化與一般化要求：全面結合已分解的各要素及其關系，按照模型需要對已有的數學概念、程序、性質和命題進行推廣或特殊化；而這兩步分解練習是對模型（反證法的證明步驟）中的各個要素進行分解和詳細闡釋，為學生進一步進行特殊化做好了鋪墊。

分解練習之后，又講解了兩道例題，并請同學在黑板上板書了一道習題。這同樣也是對反證法證明模型的進一步運用，通過分解練習和例題的講解，學生在練習中反應較好。

2.5數學推理與證明。

以上進行例題的講解和練習的過程同時也是數學推理與證明的過程。教師多次強調證明的格式規范，學生也能夠對所給習題進行嚴格證明。

3.教學建議與反思

綜合對本節課以上五個方面的考察，筆者認為，教師在課堂教學中應注意以下方面。

3.1在發現并形成合適的數學問題之初，教師應留給學生足夠的思考時間。

就本節課而言，反證法這種證明方法很可能是學生從來沒有在數學學習中接觸過的，因此，對于情境引入中的實際問題，即使他們明白其中道理，并且發現從正面去解釋存在困難，他們也想不到用反證思想。這個時候，教師應適當提示，步步引導，并且在此過程中給予學生充足的思考時間。如果這個時候教師急于說出答案，那么讓學生發現和形成合適的數學問題就變成了老師給出合適的數學問題，學生從一開始對該問題中包含的數學要素、關系和結構認識的不夠深刻，這會影響學生掌握和運用該知識。

3.2在課堂中，教師應適當增加非常規和開放性數學問題的比例。

在本節課中，教師一共講了3道例題和一道習題，再加上5道分解練習，這些題均為學生熟知的幾何性質，對于這一類問題，學生掌握較好。而非常規的問題，教師用了一個辨別誰在說謊的開放性問題進行，題目選取得當，有趣味性。然而在對這個問題的處理上，教師并沒有給學生思考時間也沒有請同學回答，而是自己說出了解答過程，且僅用時1分48秒。雖然當時臨近下課，教師這樣處理可能是出于對時間的考慮，但是這也多少反映了教師對非常規和開放性的問題不夠重視，把一節課主要定位在讓學生熟練掌握常規的程序性問題上。然而，一道好的非常規和開放性數學問題不僅有利于加深學生對該知識點的理解，培養學生獨立思考的能力和數學問題解決的能力，像這樣源于生活的趣味性問題，更能激發學生學習興趣，讓學生體會到數學與生活的聯系，從而更熱愛數學。因此，適當增加非常規和開放性數學問題的比例十分必要。

3.3構造模型和將模型一般化需要結合起來。

在本節課中，教師先從一道具體問題啟發學生用反證法的思想證明，然后讓學生回憶剛剛的證明，歸納反證法的一般證明步驟，這就是構造了一個用反證法證明的模型。但老師并沒有直接進入例題的講解，而是立即用剛剛歸納的證明模型再次回顧了之前那道具體問題的證明。這個過程中學生充分理解了模型與具體問題之間的關系，加深學生對模型的理解。因此筆者建議，在教學中教師整理出一類初步的數學模型之后，立即用該模型回顧一個學生已經理解的具體問題，會取得更好的教學效果。