詳解函數y=Asin(x+)的圖像

?任曉麗

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學 730000)

詳解函數y=Asin(x+)的圖像

?任曉麗

函數y=Asin(x+)的圖像的教學是高一數學教學的一個難點。解決了這個難點，可以使學生清楚地掌握函數y=Asin(x+)的圖像與性質，同時加以推廣，還可以使學生掌握一般函數y=Af(x+)的圖像變換，達到觸類旁通的效果。

分層教學；一般函數；圖像變換

函數y=Asin(x+)的作圖，教材中介紹了“五點法”與圖像變換法。五點法是畫簡圖的具體操作，只須找準五個關鍵點(三個零點與兩個最值點)，方法是設X=x+,令X分別取0、π、2π，求出對應的x與y的值，描點、連線即可。比較而言，學生容易掌握。而圖像變換法才是基礎，也是教學目的所在。它提示了正弦函數圖像的內在聯系、是本章重中之重。只有搞清了圖形變換，即振幅變換、周期變換、相位變換、平移變換，才能達到全盤皆活的功效。下面就本人對函數y=Asin(ωx+φ)的圖像的教學作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、 分化難點，實施分層教學

為了更好地實施因材施教，讓不同的學生在數學上有不同程度地發展，結合學生數學素質與學習情況，將學生按一定的比例分為高、中、低三個層次，將y=Asin(ωx+φ)的圖像的教學分為三個層次目標。第一層次目標：會用五點法作圖，面向所有的學生，讓低層的學生參與到學習中來；第二層次目標：讓學生掌握單一的圖形變換，通過學習課本中給出的例例2、例3，讓學生掌握：

①振幅變換：y=sinxy=Asinx (A>0且A≠1)

②周期變換：y=sinx y=sinx (>0且≠1)

③相位變換：y=sinxy=sin(x+)(≠0)

④平移變換：y=sinxy=sinx+k(k≠0)

這一層目標主要面向中、低層學生，力爭讓低層學生由學習的思考者變為學習的活動者。第三層目標：讓學生掌握y=Asin(ωx+)的復合變換。給出例題

例4 如何由y=sinx的圖像變換得出y=3sin(2x+)的簡圖？

因為學生已經掌握了上述四種單一變換，所以會對本題或多或少地發表見解，這時可不失時機地分組討論，既培養學生的協作精神，又讓學生在討論中發現問題，讓基礎較差的學生由旁觀者變為思考者，中等學生由思考者變為參與者，然后引導學生總結方法：

由于A、、的次序不同，從y=sinx圖像到y=Asin(x+)的圖像的變換可分為A3 3種不同的形式，即：A--，A--，--A，-A-，--A，-A-六種。但在這六種不同變換中，可以發現與是互相影響的，而A在變換過程中不影響與，也不受與變換的影響。因此，在這六種變換中可先不考慮A，等ω與變換好之后再來變A。這樣，上述六種變換可以化為兩大類，即：“--A”與“--A”，所以可引導學生用兩種方法解題：

方法一：“--A”： y=sinx y=sin( x+) y=sin(2x+) y=3sin(2x+)

方法二 “--A”： y=sinx y=sin2x y=sin(2x+) y=3sin(2x+)(圖略)

但在這兩種不同的方法中學生很容易出現以下易錯點：

易錯點1：移時移多少？學生在解題時往往不論與的先后次序，一律移||個單位。為了預防這個錯誤的發生，教學時可這樣講解，先后，沒有來及影響，故只需移||個單位；而先后，則沒有趕上的伸縮機會，要補上伸縮，需移個單位。

易錯點2：在先后中，是否受的影響？學生在解題時往往出現這樣情形：

y=sin(x+) y=sin(x+)

為防止出現此類問題，可給學生強調：先后，沒有來及影響，所以不參加伸縮變換，得到y=sin(x+)。而y=sin(x+)是把y=sinx左右平移||個單位得到。

第三層目標主要面向中高層學生，充分發揮學生的學習主動性與創造性，不僅讓學生知其然，而且要知其所以然。應該說有了以上三個層次的教學，學生初步掌握了函數y=Asin(x+)的圖像變換。在此基礎上，略加引導，學生就會掌握其他三角函數的圖像變換。但對非三角函數的圖像變換的情形又將是如何呢？

二、 拓寬知識，提升理論、概括一般函數的圖像變換

設疑：對任意函數y=f(x),怎樣通過圖像變換得到y=Af(x+)+k的圖像？結合y=Asin(x+)的圖像的單一變換，引導學生學習并總結。不難理解，在y=Af(x+)+k的圖像變換中，與k是通過左右與上下平移來實現的，而A與是通過壓縮或拉伸y=f(x)圖像上所有點的縱坐標與橫坐標來完成變換的。具體總結如下：

變換1： 一般地，y=Af(x) (A>0且A≠1)的圖像可看作是y=f(x)圖像上所有點的縱坐標拉伸(A>1)或壓縮(0

變換2： 一般地，y=f(x) (>0且≠1)的圖像可看作是y=f(x)圖像上所有點的橫坐標壓縮(>1)或拉伸(0<<1)為原來 的倍(縱坐標保持不變)而得到的。稱為橫向伸縮變換

變換3： 一般地，y=f(x+) +k(≠0且k≠0)的圖像可看作是y=f(x)圖像向左(>0)或向右(<0)平移||個單位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|個單位得到。稱為平移變換

例5 把函數y=log2(x-1)的圖像向右平移個單位，再把橫坐標壓縮為原來的，所得圖像的函數表達式為 ____________________。

分析：由平移變換與橫向伸縮變換可知

y=log2(x-1) y=log2(x-) y=log2(2x-)

強調：在先后的變換中，沒有來及影響。

此時，同學們可能會問為什么要限定A>0且A≠1和>0且≠1呢？A和可不可以為負值？

這個問題問得好，可以這樣講解：當A﹤0(﹤0)時，-A>0(->0)，就出現了y=Af(x)與 y=-Af(x)(y=f(x) 與y=f(-x))之間的關系。顯然，y=Af(x)與 y=-Af(x)圖像上對應點的橫坐標相等、縱坐標相反，圖像關于x軸對稱;同理可知，y=f(x) 與y=f(-x)的圖像關于y軸對稱。引導得出

變換4：一般地，y=-Af(x)圖像可看作是由y=Af(x)的圖像關于x軸對稱得到; y=f(-x)圖像可看作是由y=f(x)的圖像關于y軸對稱得到。稱為對稱變換、也稱整體翻轉變換

推論：一般地y=-Af(-x)圖像可看作是y=f(x)的圖像關于原點對稱得到

例6 已知函數y=f(x)的圖像變換如下

y=f(x) C1： C2： y=2x+1

求f(x)的解析式

分析：方法一： 將以上變換逆回頭

y=2x+1 C2：y=-(2x+1) C1: y=-(2x -2+1)

y=-(23x -2+1)

方法二： 利用點變換

設P(x,y)是y=f(x)圖像上的任意點 P1 (3x,2y) P2(3x-2,2y) P3(3x-2,-2y)

∵P3在y=2x+1上 ∴y=-(23x -2+1)

對于任意函數y=f(x)除了以上伸縮變換、平移變換、整體翻轉變換以外，還有部分翻轉變換

f(|x|)= |f(x)|=

即在作函數y=f(|x|)圖像時，只需先畫出y=f(x)在y軸右側的部分(y=f(x)，x≥0)，再將右側的部分翻轉1800到y軸左側，左右兩側看作整體就是y=f(|x|)的圖像。而作y=|f(x)|圖像，則是保留了y=f(x)圖像在x軸上側的部分，并且把x軸下側的圖像沿x軸翻轉1800到x軸的上方，就得到y=|f(x)|的圖像了。

對于知識點的拓寬力爭讓所有學生都參與其中，在老師的引導下討論學習，只有掌握了以上幾種圖像變換，才能使學生做出正確函數的圖像，同時提高學生的識圖能力和數形結合的解題能力。

(作者單位：甘肅省蘭州市第六中學 730000)