基于統計與遺傳算法的Cook-Torrance模型研究

李明哲，　趙繼廣，　楊　帆

(1. 裝備學院 研究生管理大隊, 北京 101416；　2.裝備學院 裝備戰略發展研究所, 北京 101416)

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基于統計與遺傳算法的Cook-Torrance模型研究

李明哲1，趙繼廣2，楊帆1

(1. 裝備學院 研究生管理大隊, 北京 101416；2.裝備學院 裝備戰略發展研究所, 北京 101416)

摘要為解決Cook-Torrance模型在實際應用中存在偏差的問題，以航空鋁板為研究對象，對比分析模型仿真數據和雙向反射分布函數實驗數據，通過對Cook-Torrance模型的鏡面反射和漫反射兩部分進行修正，提出一種Cook-Torrance模型的改進方法。對于模型鏡面反射部分，采用遺傳算法擬合了修正參數；對于模型漫反射部分，采用統計方法解算出其漫反射參數。仿真與實驗結果對比表明:改進模型能夠更加準確地描述不同波長鋁合金和黃銅等金屬材料的雙向反射分布特性。

關鍵詞航空鋁板；Cook-Torrance模型；雙向反射分布函數；遺傳算法

Analysis on Cook-Torrance Model Based on Genetic Algorithm and Statistical Method

LI Mingzhe1，ZHAO Jiguang2，YANG Fan1

(1. Department of Graduate Management, Equipment Academy, Beijing 101416, China；2. Equipment Development Strategy Research Institute, Equipment Academy, Beijing 101416, China)

AbstractTo solve out the issue of the deviation of Cook-Torrance model in actual application, by taking aviation aluminum plate as the research object, the paper makes contrastive analysis on simulation data and experimental data of bidirectional reflectance distribution function, and brings out a way to improve Cook-Torrance model through correction of specular reflection and diffuse reflection of Cook-Torrance model. As to the specular reflection of the model, the paper fits correction parameters based on the genetic algorithm; as to diffuse reflection of the model, the paper solves out the diffuse parameters with statistical method. Simulation and experimental result shows, the improved model can describe the bidirectional reflectance distribution characteristics of metal materials such as aluminum and brass with different wavelengths more accurately.

Keywordsaviation aluminum plate; Cook-Torrance model; bidirectional reflectance distribution function (BRDF); genetic algorithm

鋁合金是飛機輕量化的首選材料[1]，在航空領域具有不可替代的作用，在各種飛機上都有普遍地應用，特別是在軍用飛機中用量最高達60%，且一直被用于無人機的主梁和發動機機艙[2]。作為飛機的重要組成材料，航空鋁材的各方面特性已經成為研究的焦點。故本文選取飛機材料中最為常見的航空鋁板作為研究對象。BRDF是表征目標光學散射特性的重要參數。Cook-Torrance模型是一種常見的BRDF模型，能夠對目標材料的鏡面反射和漫反射進行全面分析。相對于其他模型，該模型具有適用材料多和計算量小的優勢，因此在計算機圖形學中得到了十分廣泛的應用[3-6]。但受制于模型參數的設置，Cook-Torrance模型在描述航空鋁板的光學特性時存在較大偏差。為充分利用該模型的優勢，基于實驗分析提出了一種Cook-Torrance模型改進方法以彌補其不足。

本文首先從航空鋁板材料入手，分析得知Cook-Torrance模型仿真結果與BRDF實驗結果之間的偏差具有可分離為鏡面反射部分和漫反射部分的特點。然后基于實驗數據分別對Cook-Torrance模型的鏡面反射部分和漫反射部分進行修正與優化，并根據遺傳算法和統計平均方法計算獲得修正模型的參數，進而得到改進的Cook-Torrance模型。最后在不同材料和不同波長下，對改進的Cook-Torrance模型進行驗證。該方法對準確建立不同材料的Cook-Torrance模型具有重要的借鑒意義。

1Cook-Torrance模型概述

Cook-Torrance模型[3]采用微面元的方法對目標表面進行研究。該模型計算公式為

(1)

式中，R為BRDF值，單位為(sr)-1；Rs為BRDF鏡面反射分量；Rd為BRDF漫反射分量。

漫反射分量為

(2)

式中，ρ為目標材料的方向半球反射率；Kd為漫反射分量所占的比例。

鏡面反射分量為

(3)

式中，F為菲涅耳反射系數；D為表面高低起伏分布函數；G為遮蔽因子；θi為入射角；θr為探測角；Ks表示鏡面反射分量所占的比例，且有Ks+Kd=1。

2鋁合金表面Cook-Torrance模型仿真數據的偏差分析

按照以上方法共進行了16×16×33=8 448組實驗。為了便于統一分析，將得到的8 448組BRDF值按照如下方法進行排列：首先固定θi的值，再遍歷θr的值;此時每取一個θr的值，則遍歷一次φ的值，最后以此作為循環過程再遍歷θi的值。具體流程圖如圖1所示。圖中Number為對應于每一組角度的序號。

圖1　角度排列流程圖

按照圖1所示的流程順序，BRDF仿真結果如圖2所示，其中橫坐標Number為序號，縱坐標為BRDF值，單位為(sr)-1。由圖2中排序后的BRDF值，可以看出BRDF僅在若干個離散點處具有明顯的非零值。進一步分析，圖2中共有16個極大值點，它們對應的角度均為方位角φ=π，且入射角等于探測角(θi=θr)。為分析方便，將滿足條件φ=π和θi=θr的16個點提取出來進行分析，如圖3所示。為表述方便，稱其為BRDF鏡面反射線，其中橫坐標為入射角θi，單位為(°)。

圖2　排序后的BRDF仿真結果

圖3　仿真得到的BRDF鏡面反射線

為了對Cook-Torrance模型進行研究，采用REFLET 180測量儀對航空鋁板的真實BRDF值進行實驗測量。REFLET 180測量儀可以對目標進行全方位自動掃描和測量，快速獲得不同入射角、探測角和方位角下目標的BRDF值。

將BRDF值按照圖1所示流程進行排列，結果如圖4所示。提取其中的BRDF鏡面反射線如圖5所示。

圖4　排序后的BRDF值

圖5　實驗得到的BRDF鏡面反射線

對比圖2與圖4可知，仿真結果相對實驗結果存在較大偏差。圖3中仿真得到的BRDF鏡面反射線與圖5中實驗得到的BRDF鏡面反射線具有明顯不同的變化趨勢。通過研究發現，這一部分偏差主要由于Cook-Torrance模型將每一個微面元近似為理想的光滑表面進行研究，而實驗中的材質較為粗糙，故不能準確地對其進行模擬。特別是當入射角較大時，入射方向與目標表面趨于平行，此時在目標材質表面的遮擋效應和多次散射作用十分明顯，對BRDF值產生較大的影響。此外，雖然Cook-Torrance模型具有比較廣泛的適用范圍，但不可能對每一種材料的BRDF值都十分準確地描述，即總是會存在不同程度的偏差。因此考慮從實驗數據出發，針對所研究的材質對模型進行一些必要的修正和改進，以使得模型能夠更準確地描述該材質的雙向反射分布特性。

3Cook-Torrance模型改進方法研究

圖3和圖5中的16個數值可以表示鏡面反射對BRDF值的貢獻，而漫反射對BRDF值的貢獻則可以由非鏡面反射方向的BRDF值來表示。由圖2和圖4可以看出，相對于鏡面反射而言，漫反射分量非常小，故在考慮鏡面反射時，漫反射部分可以忽略不計；而在考慮漫反射時，由于其值接近于零，且理想的漫反射與角度無關，則可以將其視為常值。因此，從BRDF鏡面反射分量和BRDF漫反射分量兩部分對模型改進方法進行研究。

3.1基于遺傳算法的Cook-Torrance模型鏡面反射分量改進方法

分別將實驗和仿真得到的BRDF鏡面反射線進行對比，如圖6所示。根據仿真數據和實驗數據的BRDF鏡面反射線變化趨勢的不同，對BRDF鏡面反射分量進行改進。

圖6　Cook-Torrance模型仿真數據與實驗數據對比圖

對于鏡面反射部分，可將Cook-Torrance模型簡寫成如下形式

Rs=FDGH

(4)

式中，H的表達式為

(5)

經分析，在F、D、G和H中，僅有F和H兩項對鏡面反射線有影響。由于F由經典公式——菲涅耳公式推導得到，具有明確的物理意義，故通過對H進行修正來實現對模型的改進[4]。由于航空鋁板表面為各向同性表面，根據光路的可逆性，可得知入射角和探測角具有互易性，從而H是關于θi、θr對稱的。

(6)

其次，考慮到此時2條鏡面反射線的變化趨勢仍然有明顯不同，于是在分子和分母項各加入一個常數項來修正曲線的細節走勢，使得仿真曲線與實驗曲線的擬合情況更加理想，系數分別設為a和b，則有

(7)

最后，考慮到幅值的倍數差異，引入一個因子c，最終得到改進的H表達式為

(8)

對于所選的航空鋁板材料，為了得到a、b、c的值，采用遺傳算法[5-6]進行參數擬合。以實驗數據和仿真數據比值的均方差E作為遺傳算法的適應度函數，其具體形式為

(9)

式中，Rept和Rsim分別為實驗數據和仿真數據；Mavg表示實驗數據與仿真數據比值的算數平均值。

通過遺傳算法進行參數擬合得到，當a=0.849 2，b=0.257 6，c=0.434 7時，E取最小值。故最終得到

(10)

改進的Cook-Torrance模型鏡面反射部分為

(11)

3.2基于統計方法的Cook-Torrance模型漫反射分量改進方法

在國內外的BRDF模型[7]中，常將物體表面的漫反射假設為理想漫反射進行研究。由于本實驗結果中大部分非鏡面方向的BRDF值接近于零，故假設模型的漫反射分量為理想的漫反射，并將通過統計平均方法得到的非鏡面反射BRDF平均值作為BRDF模型的漫反射分量。對于漫反射部分的改進主要針對模型參數進行化簡。

先對實驗數據進行處理，通過對BRDF實驗值與改進的Cook-Torrance模型鏡面反射分量做差的方法剔除鏡面反射的部分，僅留下非鏡面反射值。在選取BRDF非鏡面反射值計算漫反射分量時，由于設備自身的探測器具有一定的測量范圍，因此鏡面反射并不完全發生在θi=θr的情況下。

圖7　BRDF漫反射分量實驗值

(12)

先前在對Cook-Torrance模型鏡面反射部分進行改進時，去除了鏡面反射比例參數Ks的影響，從而使得漫反射比例參數Kd變成了一個獨立的參數。因此在對Cook-Torrance模型漫反射分量進行改進時，進一步通過將Cook-Torrance模型漫反射分量中的參數Kd·ρ設為e，使模型形式相對于經典Cook-Torrance模型進一步簡化。簡化后BRDF漫反射分量形式如下:

(13)

對于所研究的航空鋁板，其中e=0.014 9π=0.046 8。通過以上對Cook-Torrance模型改進方法的研究，最終得到改進的Cook-Torrance模型為

(14)

基于航空鋁板的改進Cook-Torrance模型為

0.046 8/π

(15)

4改進Cook-Torrance模型驗證

由圖7可以看出，BRDF漫反射實驗數據均不超過1.5，而改進模型的漫反射仿真值為Rd=0.014 9，因此BRDF漫反射實驗數據與改進模型仿真數據的最大差值同樣不超過1.5。為了進一步直觀分析改進Cook-Torrance模型的效果，按照圖2的排列順序，仿真結果與實驗結果之差的絕對值Rminus如圖8所示，其中星點代表鏡面反射對應的點。圖8中94.79%的值滿足Rminus<0.1，此時仿真結果與實驗結果擬合效果比較理想，而其中差異較大的部分主要由星點構成。因此接下來將BRDF鏡面反射線提取出來進行對比分析，如圖9所示，其中實線為仿真結果，星點為實驗結果。

圖8　改進模型仿真結果與實驗結果之差

通過圖6與圖9對比可發現，相比于經典Cook-Torrance模型，改進后的模型仿真結果對實驗得到的BRDF鏡面反射線具有非常理想的擬合效果。為了對該模型改進方法進一步驗證，分別在525 nm波長的典型綠光和445 nm波長的典型藍光下，將經典Cook-Torrance模型和改進Cook-Torrance模型的仿真數據與實驗數據進行對比分析，如圖10和圖11所示。

圖9　改進后的Cook-Torrance模型仿真與實驗鏡面反射線對比圖

圖10　525 nm波長下BRDF鏡面反射線對比圖

圖11　445 nm波長下BRDF鏡面反射線對比圖

由圖10和圖11中BRDF鏡面反射線的對比可以看出，改進的Cook-Torrance模型修正了BRDF鏡面反射線的變化趨勢，特別是當入射角度大于60°時，對實驗數據的擬合程度有了顯著地提升。

為進一步驗證改進方法的正確性，再選取一種黃銅材料，分別在645 nm、525 nm和445 nm情況下進行驗證。經遺傳算法和統計方法計算得到改進Cook-Torrance模型參數a=0.795 0，b=0.132 7，c=0.811 0，e=0.017 3。經典Cook-Torrance模型和改進Cook-Torrance模型的仿真數據與實驗數據進行對比分析如圖12所示。

圖12　不同波長下黃銅材料的BRDF鏡面反射線對比圖

通過圖12可看出，由該方法得到的改進模型，對于研究黃銅材料也具有很好的效果。綜合以上分析，充分說明了改進的Cook-Torrance模型可以實現對不同材料BRDF值分布情況更加真實準確的描述，也進一步驗證了該模型改進方法的正確性。

5結 束 語

在645 nm的波長下，綜合考慮了鏡面反射和漫反射的情況對模型進行改進。通過對改進模型仿真結果的分析得到，相比于經典Cook-Torrance模型，改進的Cook-Torrance模型可以更好地模擬和分析航空鋁板的雙向反射分布特性。并對不同波長和不同材質分別做進一步的驗證，驗證結果表明，對于鋁合金和黃銅等金屬材質，改進模型的仿真結果較為理想。

Cook-Torrance模型的改進方法具有很重要的應用價值。對于不同的材料，經典Cook-Torrance模型經常會存在不同程度的偏差。通過引入的模型參數a、b、c、e來代替原有參數Ks、Kd和ρ，得到了一個滿足互易性的四參數改進模型。該改進模型計算量小，且具有更廣的適用范圍和更高的準確度，同時在一定程度上克服了模型適用范圍的限制給工程實際問題帶來的復雜和冗余。此外，該方法為BRDF模型的改進工作提供了一條可以參考的途徑，對該Cook-Torrance模型改進方法的深入研究與驗證，將成為下一步工作的內容。

參考文獻(References)

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(編輯：李江濤)

中圖分類號O432

文章編號2095-3828(2016)01-0116-06

文獻標志碼A DOI10.3783/j.issn.2095-3828.2016.01.024

作者簡介李明哲(1990-)，男，碩士研究生，主要研究方向為目標光學特性分析。

基金項目部委級資助項目

收稿日期2015-01-16