基于多維線性系統的輸出反饋魯棒重復控制研究

摘 要： 重復控制方法已在很多復雜的控制系統中得到了廣泛的應用。針對一類多維線性系統，提出輸出反饋魯棒重復控制方法。根據重復控制的設計方法，建立了系統模型，結合Lypapunov函數和線性矩陣不等式（LMI），推導出閉環系統的穩定條件。仿真實例表明所設計的重復控制系統具有較好的魯棒穩定性和系統跟蹤性能。

關鍵詞： LMI； 重復控制； 魯棒性； 多維線性系統

中圖分類號： TN911?34； TB21 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）02?0012?03

Robust repetitive control of output feedback based on multidimensional linear system

HE Juan， CHEN Jiqiong

（School of Physics and Electromechanical Engineering， Zunyi Normal College， Zunyi 563002， China）

Abstract： The repetitive control method has been widely used in many complex control system. In this paper， the robust repetitive control method of output feedback is put forward for the first class multidimensional linear system. The system model was established according to the design method of repetitive control. The stability conditions of closed?loop system were derived in combination with the Lypapunov function and linear matrix inequality （LMI） method. Simulation results show that the repetitive control system has high robust stability and tracking performance.

Keywords： LMI； repetitive control； robustness； multidimensional linear system

0 引 言

重復控制理論[1?4]首先是由日本學者Inoue等提出來的一種魯棒控制理論，此控制理論不同于其他控制系統，具有自學習、自適應的功能，其目的是設計一種控制器，使整個系統高精度地跟蹤任意的周期參考信號。從控制理論的觀點來看，這種控制系統的自學習機制實際上是將周期信號的動態模型植入了系統的重復控制器中，從理論上保證了人類學習中循序漸進的實現，最終實現對于任意周期輸入信號的高精度跟蹤。很多學者在此基礎上開始對一維和二維系統進行理論的研究，本文將此方法用于多維控制系統中。

1 多維線性系統控制問題描述

基本的重復控制系統如圖1所示。其中[CR（s）]為重復控制器，它是周期信號發生器的嚴密動態模型，T為時滯環節的延時時間，也就是參考信號的周期。虛線框所示部分的傳遞函數為：

[CR（s）=11-e-sT]

跟蹤誤差為：

[e（t）=r（t）-y（t）]

若設：

[u（t）=0， t<0]

則[CR（t）]的時域表達式為：

[u（t）=u（t-T）+e（t）]

圖1 基本的重復控制系統

圖1中被控對象[G（t）]為單輸入/單輸出的正則線性系統：

[x（t）=Ax（t）+Bu（t）y（t）=Cx（t）+Du（t）] （1）

式中：[x（t）]為n維狀態變量，即[x（t）∈Rn]；[u（t），y（t）]分別為控制對象[G（t）]的輸入和輸出，[u（t）∈R，y（t）∈R]；A，B，C，D分別為具有多維實數矩陣，由系統的正則性可知[D≠0]。因此可以得到基于靜態輸出反饋的重復控制系統結構圖如圖2所示。

圖2 基于靜態輸出反饋的重復控制系統結構圖

則靜態輸出反饋控制律為：

[u（t）=kev（t）+kyy（t）， ke，ky∈R] （2）

式中[ke，ky]分別為重復控制器的前饋增益和輸出反饋增益。尋求靜態控制增益[ke，ky]就是重復控制系統的設計問題，它們使得圖2所示的重復控制系統在控制律（2）的作用下魯棒穩定，并且能使穩態跟蹤誤差趨向于零。

由式（1）和式（2）得：

[u（t）=ke1-kyDv（t）+kyC1-kyDx（t）] （3）

由于[v（t）=e（t）+v（t-T）]，[v（t）]中既包含了本周期的控制結果[e（t）]，又包含了對上周期的學習效應[v（t-T）]。因此靜態輸出反饋控制律（2）中的控制增益[ke或ky]都不能單獨調節重復控制過程中的控制或學習。為了從根本上改善系統的特性，必須獨立地調節重復控制過程中的控制和學習行為，下面在多維空間上對圖2進行重復控制系統進行精確的描述。先將無限區間[[0，∞）]劃分為無限多個有限區間[[kT，（k+1）T]，（k=0，1，2…），?t∈[0，∞）]，這樣就存在一個區間[[kT，（k+1）T]]，使得[t=kT+τ，且τ∈[0，T）]。于是，時域變量[ξ（t）]可以表示為[ξ（t）=ξ（kT+τ）=ξ（k，τ），Δξ（t）=][Δξ（k，τ）-Δξ（k-1，τ）]。對于給定的參考輸入信號[r（t）]，跟蹤誤差為：

[e（t）=e（k，τ）=r（k，τ）-y（k，τ）]

考慮圖2所示的重復控制系統中各個變量在周期之間的狀態變化，得到連續/離散多維模型：[Δxk，τ=AΔxk，τ+BΔuk，τek，τ=ek-1，τ-CΔxk，τ-DΔuk，τ] （4）

反饋控制律（2）的多維空間描述為：

[Δu（k，τ）=k1CΔx（k，τ）+k2e（k-1，τ）] （5）

由式（3）～式（5）可以得到：

[k1=-ke-ky1+（ke-ky）D， k2=ke1+（ke-ky）D] （6）

與時域空間中的控制律（3）相比，多維空間描述的控制律（5）的特點是能夠通過調節增益[k1和k2]來獨立調節一個周期之內的控制行為[Δx（k，τ）]和各個周期之間的學習過[e（k-1，τ）]。并且由式（6）即可得到靜態輸出反饋控制律中的增益：

[ke=k1′+k2′， ky=k2′] （7）

式中：

[k1′=-k11+Dk1； k2′=（1-k1D1+k1D）； k2-k12（1+k1D）2] （8）

2 基于輸出反饋的重復控制器設計

結合以上的描述，將圖2所示的重復控制系統的設計轉化為連續/離散多維系統（4）的鎮定控制器設計問題。因此，將式（5）代入式（4）得到如圖2所示的閉環系統：

[Δx（k，τ）e（k，τ）=A+Bk1Bk2-C-Dk1C1-Dk2Δx（k，τ）e（k-1，τ）] （9）

再通過構造Lypapunov函數，利用多維系統穩定性理論結合輸出矩陣的結構奇異值分解，以LMI的形式得到系統（4）在控制器（5）作用下的穩定條件：

定理1 如果存在正定對稱矩陣[X11，X22，X2]，以及合適的矩陣[W1，W2]，使得如下LMI：

[Σ11BW2Σ13?-X2Σ23??-X2<0] （10）

成立，其中[C=US0VT]，[S≥0]是半正定矩陣，[U，V]是酉矩陣。

[X1=VX1100X22VT，Σ11=AX1+BW1C+X1AT+CTW1TBT，]

[Σ13=-X1CT-CTW1TDT]， [Σ23=X2-W2TDT]

則多維線性系統（4）在控制器（5）的作用下漸近穩定，控制器增益為：

[k1=W1USX11-1S-1UT， k2=W2X2-1] （11）

3 系統仿真[5?6]

本文將上述設計的重復控制器應用于某電機控制機械臂系統中。它的系統輸入為電樞電壓控制輸入信號，輸出為機械臂的轉矩，由狀態空間建模描述為控制對象（1）的形式。取控制對象（1）為三維矩陣，其參數如下：

[A=-0.8-0.021-0.020.0422.51.5-0.25， B=-0.111，C=1011， D=1]

取響應信號為周期信號：

[r（t）=cosπt10+0.5cos2πt10+0.5cos3πt10]

首先，運用Matlab工具箱來求得式（10）中的LMI的可行解，代入式（11）得到[k1=-0.299 6，k2=0.343 8]。

接著把[k1，k2]代入式（7）和式（8）可以得到：[ke=0.745 7，ky=0.318 1]。

仿真結果如圖3～圖5所示，采用傳統的PID控制（其中KP=10，KI=5，KD=1）系統，其仿真結果如圖6所示。

圖3 控制律（2）作用下的輸入/輸出跟蹤曲線

圖4 控制律（2）的仿真曲線

圖5 重復控制的跟蹤誤差仿真曲線

由仿真結果可以看出：此重復控制系統的跟蹤誤差小，當t=3.5 s時系統的穩態誤差就等于零。用傳統的PID控制其仿真圖如圖6所示，而其穩態跟蹤誤差在t=6.5 s時才等于零。將仿真圖5和圖6 相比較，可見本文提出的對于多維線性系統的輸出反饋重復控制方法優越于傳統的PID控制方法，并且具有較好的魯棒穩定性和跟蹤性能，在控制系統中具有更實際的意義。

圖6 傳統PID控制的跟蹤誤差仿真曲線

4 結 語

本文針對一類多維線性系統，提出了輸出反饋魯棒重復控制方法。根據重復控制的設計方法，建立了多維線性模型，結合Lypapunov函數和線性矩陣不等式（LMI）方法，推導出閉環系統的穩定條件，同時以LMI的形式給出。數值仿真實例表明所設計的重復控制系統具有較好的魯棒穩定性和系統跟蹤性能。

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