基于凸優化的低復雜度平面陣列綜合方法

摘 要： 針對運用凸優化方法綜合平面陣列耗時較長的問題，提出一種基于凸優化的低復雜度平面陣列綜合方法。該方法將基于加權?1范數最小化的平面陣列綜合模型中二維波束旁瓣約束條件轉換成橫向陣列和縱向陣列的一維波束旁瓣約束問題，從而降低了凸優化的約束條件數，有效加快了算法的收斂速度。仿真結果表明，該方法雖然在平面陣列綜合的稀疏程度方面要稍劣于傳統凸優化方法，但是它能快速獲得具有大范圍低波束旁瓣電平以及更短孔徑的平面陣列。

關鍵詞： 平面陣列； 陣列綜合； 凸優化； 低復雜度

中圖分類號： TN957?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）03?0009?04

Low complexity planar array synthesis method based on convex optimization

CHEN Jinli， ZHONG Jiyang， CAO Huasong

（College of Electronic and Information Engineering， Nanjing University of Information Science and Technology， Nanjing 210044， China）

Abstract： Since the convex optimization method used to synthesize the planar array has long time consuming， a low complexity planar array synthesis method based on convex optimization is proposed. The two?dimensional beam sidelobe constraint condition in the planar array synthesis model based on weighted ?1 norm minimization is transformed into the one?dimensional beam sidelobe constraint condition for horizontal array and longitudinal array by the method， which can reduce the number of convex optimization constraint conditions， and effectively promote the convergence speed of the algorithm. The simulation results show that the proposed method performs slightly worse than the traditional convex optimization method in the aspect of sparsity degree of synthesis planar array， but it can fast obtain the planar array with shorter aperture and broader low?beam sidelobe level.

Keywords： planar array； array synthesis； convex optimization； low complexity

0 引 言

稀疏陣列是一種從規則的柵格中抽去天線單元或接匹配負載而形成的陣列，其具有孔徑較大、波束較窄以及空間分辨率較高等性能，已被廣泛應用于雷達、電子通信、以及衛星廣播電視等領域[1]。然而，稀疏陣列由于其陣元的稀疏布置導致其波束旁瓣電平抬高。稀疏陣列綜合的目的就是通過聯合優化陣列的陣元位置和激勵方式，使得天線陣列能夠以最少的陣元數目滿足期望的波束輻射特性[2]。

隨著計算機技術的飛速發展，高效的陣列綜合方法已成為研究熱點。目前應用于平面稀疏陣列綜合的算法主要有遺傳算法[3]、模擬退火算法[4]、粒子群算法[5]以及蟻群算法[6]等，這些算法從本質上來說都是基于隨機性的自然算法，在綜合過程中需要進行大規模的搜索，導致此類算法的收斂速度慢，并容易陷入局部最優解等問題。稀疏陣列在空間上離散、稀疏的分布特點與最近發展的信號重構理論中稀疏信號的特性相類似，可將天線陣列綜合問題看作是空間稀疏信號重構的問題，因此，稀疏信號重構技術為陣列綜合問題的解決提供了一個新的途徑。文獻[7]提出了一種基于?1范數最小化的稀疏線性陣列綜合方法，該方法將稀疏信號重構方法如凸優化方法應用于稀疏陣列綜合問題的求解中。文獻[8]建立了基于迭代加權?1范數最小化的陣列綜合模型，利用迭代凸優化方法實現線性陣列綜合，即利用上一次迭代獲得的陣列激勵向量求解當前迭代的激勵向量，從而能獲得稀疏程度更高的稀疏陣列。

大型平面陣列可以同時測量目標的俯仰角和方位角，從而能夠實現目標的三維空間定位，其應用范圍要大于遠線性陣列，因此研究平面陣列的綜合方法更具有實際意義。文獻[9]利用加權矩陣的共軛對稱性將波束約束條件轉變為凸函數，從而可利用凸優化方法解決平面陣列的綜合問題。文獻[10]利用凸優化方法求解一系列基于加權?1范數最小化的平面陣列波束綜合問題，在滿足輻射特性的條件下能獲得盡可能稀疏的平面陣列。由于平面陣列通常包含較多的陣元，而且在陣列綜合模型中其二維波束旁瓣的抑制范圍較大，從而導致需要相當長的時間來綜合出滿足要求的平面陣列。為此，本文提出了一種基于凸優化的低復雜度平面稀疏陣列綜合方法。該方法首先建立基于加權?1范數最小化的平面陣列綜合問題，然后利用Kronecker積的性質將整個二維觀測角度上的波形約束條件轉換為兩個一維觀測角度上的波形約束問題，從而使得平面陣列綜合的復雜度與兩個線性陣列綜合問題相當。因此，本文方法在滿足期望峰值波束旁瓣電平的條件下能夠快速綜合出孔徑更短的平面陣列，由于該方法綜合后的平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平，使得其在平面陣列的綜合稀疏程度方面會稍劣于傳統凸優化方法。

1 平面稀疏陣列模型

考慮如圖1所示的平面陣列，圖中黑點表示天線單元。在陣列區域內，沿[x]軸及其平行方向各有[M]個柵格點，沿[y]軸及其平行方向各有[N]個柵格點，這些柵格點可布置天線單元，[dx]和[dy]分別表示[x]軸方向和[y]軸方向的相鄰陣元最小間距。[θ]和[φ]分別表示信號的俯仰角和方位角，定義域分別為[θ∈[0，π2]]和[φ∈[0，2π]]。

平面陣列的導向矢量[A]和激勵矢量[w]分別表示如下：

[A=a11 a12 … a1N a21 a22 … a2N … aM1 aM2 … aMNT] （1）

[w=w11 w12 … w1N w21 w22 … w2N … wM1 wM2 … wMNT] （2）

式中：[[?]T]表示矢量轉置；[amn=e-jk（mdxμ+ndyv）]是陣列單元[（m，n）]的方向圖[（m=0，1，2，…，M-1；n=0，1，2，…，N-1）；][k=2πλ，][λ]為波長；[μ]和[v]是方向參數，分別表示為[μ=sinθcosφ]和[v=sinθsinφ，]其取值范圍分別為[μ∈[-1，1]]和[v∈[-1，1]]；[wmn]是第[（m，n）]個位置上天線單元的激勵值。假設陣列中的單元都是無方向性的，則平面陣列的方向圖可表示為：

[F（μ，v）=m=0M-1n=0N-1wm，nejk（mdxμ+ndyv）=AH（μ，v）w] （3）

由式（3）可知，影響平面陣列波束方向圖綜合性能的主要因素有陣元的個數、陣元的位置及其激勵。稀疏陣列綜合的本質就是在給定的約束條件下求取上述各參數的過程。在給定的平面陣列規模和旁瓣電平約束條件下，以尋找出陣元數目最少的平面稀疏陣列為目標對陣元位置和陣元激勵進行綜合，則采用加權?1范數優化的陣列模型表示如下[10]：

[minw Qw1（4a）s.t. AH（μ0，v0）w=1 （4b） AH（μ，v）w

式中：[[?]H]表示矢量的共軛轉置；[Q]是由一組加權系數[qk]組成的1?范數加權矩陣；[μ0]和[v0]為期望波束主瓣所對應的方向參數；[Ω]為平面陣列的波束旁瓣區域；[psl]是給定的峰值旁瓣電平。

2 平面陣列的低復雜度綜合方法

由式（4）可知，平面陣列綜合問題的求解所需時間與平面陣列的旁瓣區域[Ω]有關，與線性陣列相比，由于平面陣列的觀測角度為二維角度，因此其在旁瓣區域[Ω]內的采樣數會呈平方式增長，從而導致陣列綜合問題中約束條件較多，則利用凸優化方法求解式（4）會耗時很長。因此為了提高平面陣列綜合的速度，必須簡化式（4）中的波束旁瓣約束條件。

由式（1）可知，平面陣列的導向矢量[A]可改寫為：

[A=Ax（μ）?Ay（v）] （5）

式中：[Ax（μ）=1 ejkdxμ… ejk（M-1）dxμT]為橫向陣列的導向矢量；[Ay（v）=1 ejkdyv… ejk（N-1）dyvT]為縱向陣列的導向矢量。[w]是平面陣列綜合問題（4）中需要求解的陣列激勵矢量，假設矢量[w]也可以寫成如下形式：

[w=wx?wy] （6）

式中：[wx]和[wy]分別為平面陣列的橫向陣列和縱向陣列的激勵向量。將式（5）和式（6）代入式（3），根據Kronecker積的性質可得：

[F（μ，v）=AH（μ，v）w=（Ax（μ）?Ay（v））H×（wx?wy）=（AHx（μ）×wx）?（AHy（v）×wy）=Fx（μ）×Fy（v）] （7）

式中：[Fx（μ）=AHx（μ）×wx]為橫向陣列的波束方向圖；[Fy（v）=AHy（v）×wy]為縱向陣列的波束方向圖。假設[Fx（μ）]和[Fy（v）]均為歸一化波束方向圖，即[Fx（μ）≤1，][Fy（v）≤1，]則根據式（7），式（4b）可改寫為：

[ Ax（μ0）wx=1， Ay（v0）wy=1] （8）

旁瓣電平約束條件式（4c）可等效為：

[AH（μ）w?Fy（v）

式中：[Ωx]和[Ωy]分別為方向參數[μ]和[v]在波束旁瓣區域內的取值范圍。由于[Fx（μ）≤1，][Fy（v）≤1，]滿足式（9）的充分條件為：

[AH（μ）w

由式（8）～式（10）可知，基于加權?1范數最小化的平面陣列綜合問題，即式（4）可改寫為如下形式：

[minw Qxwx1+Qywy1s.t. Ax（μ0）wx=1， Ay（v0）wy=1 AH（μ）w

式中[Qx]和[Qy]分別為橫向陣列和縱向陣列的1?范數加權矩陣，分別由式（12）和式（13）決定。

[Qx=diag（q（l-1）x）， q（l-1）xm=1w（l-1）xm+δ， m=0，1，2，…，M-1] （12）

[Qy=diag（q（l-1）y）， q（l-1）yn=1w（l-1）yn+δ， n=0，1，2，…，N-1] （13）

式中：[w（l-1）xm]和[w（l-1）yn]分別是第[l-1]次迭代時橫向陣列和縱向陣列的激勵向量估計值[w（l-1）x]和[w（l-1）y]中的第[m]和第[n]個元素，在第一次迭代中即（[l=0]）時，[w（l）x]和[w（l）y]均為全1向量；[δ]是一個非常小的正常量，用于避免當激勵向量[w（l-1）x]和[w（l-1）y]中出現零值時導致算法運行終止。

由式（11）可知，本文利用Kronecker積的性質將整個二維觀測角度上的旁瓣約束條件即式（4）分解成兩個一維觀測角度上的旁瓣約束問題，大大降低了平面陣列綜合時的約束條件數，即平面陣列綜合問題等效于橫向陣列和縱向陣列的綜合問題，從而使得平面陣列綜合的復雜度與兩個線性陣列綜合問題相當。當迭代次數[l]達到[lmax]或者滿足終止條件（14）和（15）時平面陣列綜合完成：

[w（l）x-w（l-1）x1<ξx] （14）

[w（l）y-w（l-1）y1<ξy] （15）

式中[ξx]和[ξy]為誤差值。令：

[w=w（l）x?w（l）y] （16）

根據激勵向量估計值[w]中的非零元素所在的位置確定為綜合后平面陣列的陣元位置，而該非零元素值的大小即為該陣元的激勵幅度值。

3 仿真實驗

本文對基于凸優化的平面陣列綜合問題中的約束條件進行了簡化，提出一種低復雜度的平面陣列綜合方法。下面設計了運用傳統凸優化方法和本文方法進行平面陣列綜合的對比實驗。以下仿真實驗均使用配置為Intel? Core[?] i5?4570處理器、主頻為3.2 GHz、內存為4 GB的計算機。

仿真參數設置如下：平面陣列[x]軸方向的陣列孔徑為[4.5λ]，[y]軸方向的陣列孔徑為[8λ，][x]軸方向陣元間距[dx=λ4，][y]軸方向陣元間距[dy=λ4，]則初始化平面陣列的橫向陣元數[M=19，]縱向陣元數[N=33。]要求陣列綜合后波束方向圖峰值旁瓣電平小于-20 dB，設置方向參數[μ]和[v]在其取值范圍內的采樣數分別為[Lμ=41]和[Lv=41，]誤差最小值[ξx=ξy=10-3]。

圖2（a）和圖2（b）分別是利用文獻[10]中的迭代凸優化方法和本文方法進行平面陣列綜合獲得的陣元位置分布圖。圖3（a）和圖3（b）分別為文獻[10]方法和本文方法綜合后的平面陣列波束方向圖。

由圖2和圖3可知，兩種方法綜合后的平面陣列的波束旁瓣電平均控制在-20 dB以下；文獻[10]方法需要3 168 s的綜合時間獲得陣元數為41的平面稀疏陣列，這是由于二維觀測角度所對應的旁瓣約束條件較多，影響了平面陣列綜合的收斂速度；而本文方法僅需3 s即可快速完成平面陣列的綜合，綜合后的平面稀疏陣列陣元數為48，由于本文方法綜合后的平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平以及更短的陣列孔徑，這使得其在平面陣列的綜合稀疏程度方面要稍劣于文獻[10]中的方法。平面陣列具有大范圍低波束旁瓣電平，可以降低外界干擾信號的影響，而更短的陣列孔徑可降低平面陣列對工作環境的限制，使得布陣更具有靈活性。

4 結 語

由于平面陣列包含陣元數較多且其二維波束旁瓣的抑制范圍較大致使凸優化約束條件數劇增，從而導致平面陣列綜合的耗時很長。本文提出了一種基于凸優化的低復雜度平面陣列綜合方法，利用Kronecker積的性質將平面陣列綜合中的二維波束旁瓣約束條件轉化為一維波束旁瓣的約束條件，大大減少了凸優化的約束條件數，從而加快了平面陣列綜合的速度。本文提出的平面陣列綜合方法在收斂速度、陣列孔徑長度以及低波束旁瓣范圍等方面均優于傳統的凸優化方法。

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