基于小波基的壓縮感知重構算法設計

摘 要： 針對傳統重構理論下對硬件設備的高要求和高損耗問題，提出基于小波基的壓縮感知重構算法，利用小波變換在圖像壓縮重構上的優勢，選取合適的小波基作為稀疏基，對一維信號和二維圖像采用正交匹配追蹤（OMP）算法，進行信號的壓縮和重構，并對算法進行相應的改進。實驗表明，壓縮感知理論用于數字信號和數字圖像處理有著顯著的優勢。

關鍵詞： 壓縮感知； 小波分析； 稀疏基； 測量矩陣； 重構信號

中圖分類號：TN911.73?34； TQ028.1 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）13?0059?04

Abstract： For hardware device has high requirement and high loss according to the traditional reconstruction theory， a compressed sensing reconstruction algorithm based on wavelet basis is put forward. In the algorithm， the advantage of wavelet translation in image compression and reconstruction is used to select the suitable wavelet basis as the sparse basis， and the orthogonal matching pursuit （OMP） algorithm is adopted for one?dimensional signal and two?dimensional image to compress and reconstruct the signal. The algorithm was improved correspondingly. The experimental results show that the compressed sensing theory has a prominent advantage for digital signal and digital image processing.

Keywords： compressed sensing； wavelet analysis； sparse basis； measurement matrix； reconstruction signal

0 引 言

隨著信息技術的飛速發展，人們對信息量的需求劇增，以信息帶寬為基礎的信號處理框架要求的采樣頻率和處理速度也越來越高，傳統的Nyquist采樣已經不能滿足人們的需求[1]。而近年來出現的壓縮感知理論能夠有效規避傳統采樣的許多難題，給信號的采樣、存儲、傳輸和處理帶來巨大的便利和經濟效益，被越來越多的領域接受和應用[2?3]。小波分析在時域和頻域上同時具有良好的局部化性質，加上小波的多分辨率分析特性，使之能更好地應用于圖像處理領域。壓縮感知理論在信號壓縮過程中，對稀疏矩陣和觀測矩陣的選取最為關鍵，故將小波基作為稀疏矩陣進行壓縮，對圖像處理有著重要意義[4]。

本文將壓縮感知理論與小波理論相結合，選取合適的小波基作為稀疏基，對一維信號和二維圖像進行信號的壓縮和重構，并對算法進行了相應的改進。

1 壓縮感知算法與小波理論分析

1.1 壓縮感知算法實現

傳統的壓縮采樣重構理論包括兩個基本過程：編碼和解碼。壓縮感知理論也不例外，但在實現方式上有所區別，直接對信號進行較少采樣的同時得到信號的壓縮表示，省去了點采樣的中間過程，在節省了采樣頻率和傳輸成本的情況下，達到了集采樣與壓縮同時進行的目的。另外，該理論還指出了將模擬信號直接采樣壓縮為數字形式的有效途徑，具有直接信息采樣特性[3]。

壓縮感知算法的優勢主要體現在以下方面：

（1） 非自適應性（Non?Adaptive），一開始就可以傳輸長度較短的信號，甚至突破采樣定理的極限。

（2） 抗干擾。的任何一項都是重要的，或者說不重要的。丟失了某幾項，仍然可以完美重構。

（3） 需要最少的采樣數據，計算速度得到改善。

1.2 小波變換基本理論分析

小波變換具有多分辨率的特點，且在時頻域同時具有表征信號特征的能力，是一種窗口面積固定不變但時間窗和頻率窗都可以改變的局部化分析方法。它在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，使小波變換具有對信號的自適應性，很適合探測正常信號中夾帶的瞬態現象并顯示其成分[5]。

小波分析在圖像處理應用中的主要思想：首先，將圖像信號進行小波變換，得到不同尺度下的一系列系數；再對這些小波系數進行分析，根據實驗者不同的目的和需要，用傳統的圖像處理方法或者更符合小波變換的新方法對小波系數進行必要的處理；最后對這些處理后的小波系數進行反變換，就得到了所需要的目標圖像。

2 圖像質量評價

圖像質量的含義主要包括圖像的逼真度和可讀性兩方面。圖像質量的好壞有一定的評價方法，在傳統的圖像質量評價方法中，主要包括兩種：

（1） 主觀評價。通常用峰值信噪比（PSNR）判斷圖像質量的辦法用得最多，但有時候PSNR高并不等于圖像的主觀質量好。所以，有時候需要以人作為圖像觀察者對圖像的優劣作出評價和判斷。對于恢復圖像中得到明顯改善的形狀可以通過這種方法評價，但這種方法帶有一定的主觀性，適用于明顯的去噪效果。

3 壓縮感知算法對一維信號的壓縮重構

一維信號結構比較簡單，通過一定的線性變換（如傅里葉變換，余弦變換）下具有很好的稀疏性，同時，一維信號的頻率分量并不多，信號的平穩性和光滑性都很好，通過稀疏變換后非零值很少，一般都能得到很理想的重構效果。

3.1 傳統算法與壓縮感知算法的重構比較

壓縮感知理論與傳統采樣理論的最大區別在于能極大地縮短采樣和壓縮時間，節省硬件的消耗，卻又能獲得不亞于傳統方法的重構效果[7]。本文中選取的是一個長度為的一維信號選擇傅里葉基作為稀疏基，分別采用傳統的正交變換算法和本文的壓縮感知算法對原信號進行重構，重構過程和結果如圖1，圖2所示。

圖2中的是信號在傅里葉基下的稀疏表示。由圖可知，信號在傅里葉基下的稀疏度為選取的測量矩陣是的高斯隨機矩陣，與傅里葉基能滿足不相關準則。其中，滿足。

定義重構誤差（為重構后的信號），對比傳統的重構算法，壓縮感知算法的重構誤差更低，效果也更理想，如圖3所示。這里傳統算法中默認原信號就是采樣好的信號，只需對其進行壓縮，找出頻域幅度最大的個值，再用逆方法重構，比實際應用中的傳統方法要簡便得多，效果也理想得多。因此，可以得出結論，壓縮感知算法是一個集壓縮、采樣、重構于一體的，只要基選取合適，重構算法合理，它的優勢將是優于傳統算法的。

3.2 值對重構效果的影響

壓縮感知理論中，測量矩陣是一個的矩陣，其中值的選擇非常關鍵，它關系到對信號壓縮采樣的質量，因為最終的信號是從這個值中恢復出來的，如果選取不當，就會破壞原信號的信息，重構也無法實現。表1列出的是當選取不同的值時，一維信號的重構誤差err的值（數量級10-16）。

表1表明，當時重構誤差比較低。值太小時，重構效果不是很理想，甚至容易產生重構錯誤。但如果值太大，則對信號的壓縮度不高，傳輸和存儲中消耗的時間也更多，所以，選取一個折衷的值才能獲得不錯的重構結果。更多的值與重構誤差的關系如圖4所示。

3.3 不同稀疏基下的信號重構

不同的稀疏基對信號的稀疏程度不同，獲得的非零值的個數和大小也不同，對重構結果有一定的影響，圖5表示的是相同的信號在余弦基下稀疏化結果和重構結果（M取值為32）。

相比傅里葉基，余弦基下的稀疏化效果不如傅里葉基明顯，重構誤差也很大，證明了稀疏基的選擇同樣很關鍵。

4 壓縮感知算法對二維圖像的壓縮重構

4.1 傅里葉稀疏基下的圖像重構

二維圖像下的重構方法與一維類似，可以把二維圖像看成是列的一維信號，用一維重構的方法一列列重構出來。圖6是當稀疏矩陣是傅里葉基時的壓縮和重構效果圖。

實驗中，原圖是一個256×256的灰度圖像，測量矩陣依然選取隨機高斯矩陣，其大小為重構所用的時間為100 s以內。由圖6可知，利用壓縮感知方法重構的圖像基本滿足視覺要求，MSE和PSNR也較合理，但依然還有一定的噪點，尤其是圖6（c）中框出的部分，出現了較多的雜點，且成列分布狀況，這和重構中OMP算法有關，算法中采取的是對圖像的列向量依次進行重構，如果在某一列或某幾列的重構中發生了錯誤，則容易造成像素移位，從而形成如圖6中所示的雜點。

為了改善上述問題，本實驗針對重構算法做了相應的改進，分別對行向量和列向量進行重構，再將兩者進行一定的線性疊加，就能抑制大量雜點的產生，達到弱化噪聲的效果，再通過合適的平滑處理，雜點不再變得明顯，視覺效果得到很好的改善。

4.2 離散余弦基下的圖像重構

離散余弦變換對圖像的壓縮性能也比較好，根據余弦變換，構造出余弦作稀疏基：

構造一個的余弦基作為稀疏矩陣結果如圖7所示。相對于傅里葉基，離散余弦基下圖像的稀疏性更強，能量相對更集中，更利于信號的重構，迭代時間比傅里葉基下更快，信噪比也更高。

4.3 小波基下的圖像重構

經過多次小波變換后，圖像的能量主要集中在左上角，且層數越多，能量越集中，信號的稀疏性也更強，這是小波基優于其他基的地方。隨著階數的升高，小波變換的平滑性越好，信號不容易產生突變，而相對于db小波，symN小波的對稱性更好，相位失真小，能很好地彌補OMP算法非線性變換的缺陷，是重構效果中最理想的，具體數據參照表2。

4.4 測量矩陣對恢復性能的影響及改進措施

測量矩陣與稀疏變換基的不相干特性是壓縮感知理論具有良好性能的基礎。在實際的應用中，由于隨機高斯分布的測量矩陣存在存儲矩陣元素容量巨大、計算復雜度高的缺點。對于二維圖像，由于像素點多，數值分散，因此需要存儲很多的數值，所以對二維圖像并不適用。實驗中，選取的隨機高斯矩陣重構效果基本能滿足要求，重構的時間在80 s左右，如果選得太大，重構的清晰度固然會有很大的改善，但是是以時間和資源為代價的；但是如果設置的太小，采樣壓縮后會遺漏掉圖像的很多有用信息，最終影響圖像的復原效果。

針對測量矩陣的改善問題，將偽高斯矩陣和部分傅里葉方法結合在一起，用結構化的隨機測量矩陣設計方法，這種測量矩陣具有與所有基不相關的特性，同時也有較快的計算速度，能夠很好地解決上述問題。

5 結 論

本文將壓縮感知理論與小波理論相結合，利用小波變換在圖像壓縮重構上的優勢，選取合適的小波基作為稀疏基，對一維信號和二維圖像采用正交匹配追蹤算法（OMP），進行信號的壓縮和重構，并對算法進行了相應的改進。通過實驗驗證了其良好的應用效果。但是，壓縮感知理論對于OMP重構算法的最優化以及如何找到一種有效且快速的稀疏分解算法等問題還需要進一步深入研究。

參考文獻

[1] 史久根，吳文婷，劉勝.基于壓縮感知的圖像重構算法[J].計算機工程，2014（2）：229?232.

[2] 徐萌萌.基于小波變換的圖像融合算法研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學，2014.

[3] 曹利紅，徐志京.基于多層小波變換的壓縮感知圖像快速復原算法研究[J].電子設計工程，2015（3）：176?178.

[4] 李博，郭樹旭.一種改進的壓縮感知重構算法研究[J].現代電子技術，2013，36（3）：70?73.

[5] CUI J J， JIA X， LIU J， et al. Image reconstruction based on compressed sensing with split bregman algorithm and fuzzy bases [J]. Advanced materials research， 2012， 508： 80?83.

[6] 王小剛，田小平，楊莎莎.基于壓縮感知的圖像融合算法研究[J].計算機測量與控制，2013（3）：788?790.

[7] 張宗福.基于壓縮感知和改進自適應正交匹配的稀疏信號重構[J].計算機測量與控制，2014（5）：1568?1571.