不確定時延網絡控制系統的穩定性設計

摘 要： 針對網絡環境下的控制系統所具有的網絡時延和不確定性特點，考慮最大允許網絡誘導時延下界不為零及系統帶有不確定性的情況，采用不需事先指定參數的更具一般性的狀態反饋控制器，建立狀態反饋的閉環網絡控制系統模型。通過引入積分不等式方法，對Lyapunov?Krsasovskii泛函中的二次型積分項直接進行界定，避免了對系統進行模型變換和對交叉項的界定所帶來的保守性。在此基礎上，推導出使網絡控制系統魯棒穩定的條件。最后通過對模型進行Matlab仿真，得到狀態響應曲線。系統狀態很快趨于穩定，表明該結論的有效性和可行性。

關鍵詞： 網絡控制系統； 網絡誘導時延； 積分不等式方法； Lyapunov?Krasovskii泛函

中圖分類號： TN926?34； TP273 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）16?0010?04

Abstract： Since the control systems have characteristics of network time?delay and uncertainty in the network environment， a common mode feedback controller without assigning specify parameters in advance is used to establish the closed?loop network control system model with the state feedback by taking into account of fact that the lower bound of the maximum allowable network induced delay is not zero and the system has uncertainty characteristics. The quadratic integral item in Lyapunov?Krsasovskii functional is defined directly by introducing the integral inequality approach， which can avoid the conservative property caused by model transformation of the system and definition of the cross terms. On this basis， the condition that makes the networked control system robust stability is derived. The state response curve of the system is obtained by conducting Matlab simulation for the model. The system state tends to be stable， which shows the validity and feasibility of the conclusion.

Keywords： network control system； network deduced time?delay； integral inequality approach； Lyapunov?krasovskii function

0 引 言

隨著計算機與信息技術、網絡技術與控制理論的發展，網絡控制系統（NCS）被廣泛應用于航空航天、傳感器網絡、工業控制網絡、機器人遠程控制和微機電系統等復雜的控制系統中[1?8]。然而，通信與控制的相互作用使NCS的分析和設計變得非常復雜?；诰W絡的控制系統給信號處理、通信技術和控制技術等提出了新的挑戰。近年來，眾多學者對NCS的研究非?；钴S，如NCS的穩定性分析與控制綜合、最大時延上界的求取等，它們統稱為基于網絡的控制，也被確定為控制領域的關鍵研究方法之一[9]。

網絡時延是導致NCS性能下降的主要原因，同時，系統建模誤差和工作環境的變化也導致系統存在不確定性，因此，考慮具有網絡時延和不確定性的NCS的分析和設計是當前研究的熱點[6，10]。文獻[9]將NCS中誘導延時、丟包和數據包錯序等問題表示成最大允許時延的NCS綜合模型，考慮外界擾動下不確定性系統的魯棒分析和綜合問題。但是在系統綜合分析時，必須事先指定一些參數，且這些參數只能采用試湊的方法，因此給系統帶來很大的保守性。

文獻[11]中為了處理上的方便，在構造Lyapunov?Krasovskii泛函時，利用牛頓?萊布尼茨公式對泛函中的雙積分項進行了模型變換，變換的目的是產生積分項，使得交叉項和二次型積分項同時出現，對交叉項的界定抵消泛函導數中的二次型積分項，獲得了時延相關的系統穩定條件；但是，此變換將導致變換后的系統產生新的動態而與原系統不等價，使得系統結果變得保守[9]。文獻[12]把數據包丟失情況作為不確定性處理，考慮網絡時延有上界，并通過引入自由權矩陣消除了交叉項， 但是自由權矩陣的引入會需要耗費更多的計算機運行時間。

本文考慮最大允許網絡誘導時延下界不為零及系統帶有不確定性的情況，并采用更具一般性的狀態反饋控制器。引入積分不等式方法，通過對泛函中的二次型積分項直接進行界定，避免了對系統進行模型變換和對交叉項的界定所帶來的保守性，推導出使閉環網絡控制系統的魯棒穩定性條件。

1 NCS問題描述

考慮被控對象具有時變結構不確定性，可表示為如下狀態方程：

[xt=A0txt+B0tutxt=?t] （1）

式中：[xt?Rn]是狀態向量；[ut?Rm]是控制輸入量；系統矩陣[A0t，B0t]是時變的，且有如下形式：

[A0tB0t=A B+DFtEa Eb]

式中：[D，Ea和Eb]是具有合適維數的常數矩陣；[Ft]為具有Lebesgue可測元素的未知實矩陣，滿足如下關系：[FTtFt≤I，?t，] 其中，[I]是合適維數的單位矩陣。

為方便分析，先做如下假設：傳感器采用時鐘驅動方式，而控制器采用事件驅動方式， T為采樣周期。傳感器在采樣時刻[0，T，2T，…，nT] 都采樣數據并給數據包打上時間標簽向控制器發送，如圖1所示。

經過網絡時延[τsc]后，控制器收到數據后立即進行計算，控制器計算時間為[τc]，計算出控制信號后向執行器發送，經過網絡時延[τca]后控制信號到達執行器，在此過程中始終保持系統時鐘同步。采用狀態反饋控制器：

[uct=Kxct-τc] （2）

式中：[xct?Rn]是控制器的輸入量；[uct?Rm]是控制器的輸出量；[K∈Rm×n]是具有適當維數的常數矩陣。

則可知執行器收到的控制信號為：

[ut=uct-τca=Kxt-τsc-τc-τca] （3）

假定網絡時變時延[τ=τsc+τc+τca≤γ]，[γ]是從傳感器到執行器之間的網絡誘導時延上界。綜合式（1）～式（3），網絡控制閉環系統就可表示為：

[xt=A+DFtEaxt+B+DFtEbKxt-τxt=?t， t∈-γ，0] （4）

2 NCS魯棒穩定性分析

為了對閉環系統進行穩定性分析，引入幾個定理：

引理1 Schur補[12]：對于給定的對稱矩陣[S=ST=S11S12?S22，]其中，[S11∈Rn×n] 。以下三個條件是等價的：

[S<0； S11<0，S22-ST12S-111S12<0；S22<0，S11-S12S-122ST12<0] （5）

引理2 給定具有適當維數的[9]矩陣[Q=QT，H，E，]則[Q+HFtE+ETFTtHT<0] 對所有滿足[FTtFt≤I]的[Ft]都成立的充要條件是存在一整數[ε>0，]使得下列不等式成立：

[Q+ε-1HHT+εETE<0] （6）

Park不等式[12]：對任意給定向量[α，b∈Rn] ，矩陣[M∈Rn×n]，則以下不等式成立：

[-2aTb≤abTRRM?MTR+IR-1RM+Iab] （7）

定理1 對于給定標量[ε>0]，如果存在適當維數的對稱正定矩陣[P，R]及矩陣[X=M1M2，][γ>0，]使以下不等式成立，則NCS閉環系統（4）是漸進穩定的。

且有：

[T00T<1γR00R] （20）

即可用求解器gevp求得最大時延上界。

3 系統仿真

取定系統參數為[11]：[A=-0.2-10.4-0.4，][BK=-0.2-0.40-0.5]，[D=1001]，[Ea=Eb=0.2000.2，]取時變時延[τ=hsin100t，h<γ，]得傳感器采樣周期為0.1 s。

用Matlab的gevp求解器可得最大時延上屆[γ=3.028]，即時延[0≤τ≤0.330 2]。

取[ε]=1，[γ=0.3，h=0.2]，用feasp求解器驗證可行性，可得tmin=-0.035 9，正定矩陣：

[P=0.305 50.039 10.039 10.790 7， R=0.411 30.007 60.007 60.697]

矩陣：

[M1=-0.7240.058 70.058 7-0.728 2， M2=1.012 60.058 5-0.220 40.789 2]

系統的狀態響應曲線如圖2所示，從圖2中可以看出，系統狀態很快趨于穩定。

4 結 論

本文針對具有時變時延和不確定性的網絡化控制系統，通過引入積分不等式方法，對Lyapunov?Krsasovskii泛函中的二次型積分項直接進行界定，避免了對系統進行模型變換和對交叉項的界定所帶來的保守性，推導出使網絡化控制系統魯棒穩定的條件。并給出滿足閉環系統穩定條件下的最大允許時延上界的求取方法，最后的仿真算例表明了該結論的有效性和可行性。

參考文獻

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