借助直觀模型，理解“倍”的本質

◎白奇寶

(廈門外國語學校附屬小學，福建 廈門 361012)

借助直觀模型，理解“倍”的本質

◎白奇寶

(廈門外國語學校附屬小學，福建 廈門 361012)

倍是數與代數領域中的概念，它是學生在二年級學習乘除法的基礎上進行教學的，倍是一個比較抽象的概念，看不見，摸不著，生活中也接觸不多.學生建立和理解倍的概念，需要一個反復、持續的過程.教材先讓學生經歷從對生活中具體實物數量的比較中抽象出倍的過程，利用“幾個幾”引出倍的含義后，再從除法的角度加深對倍的概念的理解，讓學生體會到倍的本質.倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，不易理解，在教學中我們應安排多層次的活動，借助直觀模型，讓學生通過多次感知，在不斷比較和抽象的過程中建立倍的概念，理解倍的本質.

一、善用教材，初步感知倍

利用小兔吃蘿卜的童話情境，讓學生自主收集三種蘿卜的數量，并說說三種蘿卜在數量上有什么關系？有的學生說：“紅蘿卜比胡蘿卜多4根，白蘿卜比紅蘿卜多4根.”發現了兩種數量之間的相差關系.還有的同學說：“紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍.”發現了兩數之間的倍數關系.請小老師上臺介紹，根據3個2根的關系，引出“一個數的幾倍”的含義.讓學生用規范的三句話：“胡蘿卜有2根，紅蘿卜有3個2根，我們就說紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍”來表達“倍”的含義，引導學生通過用眼看一看，動手圈一圈、填一填，動口說一說等活動，感知白蘿卜與胡蘿卜之間的倍數關系，讓學生在已有經驗“幾個幾”的基礎上初步感知“一個數的幾倍”的含義，直觀形象，建立了倍的概念.

二、多層變化，辨析比較倍

通過標準量不變，比較量變化的活動，引導學生進一步拓展認識幾倍，通過胡蘿卜的根數不變，不斷增加和減少白蘿卜的份數，讓多個學生說說：如果白蘿卜有幾個2根，我們就說白蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍？引導學生認識6倍、7倍、10倍、2倍、50倍、100倍……并通過提問：“你發現什么數學秘密？”同學們自主探究，合作交流，發現了：“白蘿卜有幾個2根就是胡蘿卜的幾倍.”引導學生歸納與整理，發現了倍的本質.通過比較量不變，標準量變化的活動.即紅蘿卜的根數不變、胡蘿卜(3根、2根)根數變化的情況下，巧質疑：“為什么你們一會兒說紅蘿卜是胡蘿卜的2倍，一會說紅蘿卜是胡蘿卜的3倍？”引導學生探究倍數發生變化的原因.有的說：“因為胡蘿卜的根數發生了變化.”有的說：“6根與2根比，是3倍，而6根與3根比，是2倍.”老師夸同學們善于觀察，會動腦思考，發現了比較量不變，比的標準量發生變化，它們的倍數也就發生變化，感受到比的標準的重要性，潛移默化地滲透反比例的思想.讓學生在辨析比較中進一步認識倍，發展學生推理和歸納能力.通過提供“錯誤結構”，讓學生辨析明理，現在胡蘿卜有3根，白蘿卜還是10根，我們還能說：白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍嗎？學生看圖，異口同聲說：“不行，10里面有3個3，白蘿卜的根數應該是胡蘿卜的3倍多1根.”明白了它們之間雖然不是整數倍，但是也有倍數關系，將來咱們會學習用小數或分數表示它們之間的倍數關系.變中求不變，層層深入，借助直觀模型，在辨析比較中進一步認識了倍.

三、操作質疑，深化認識倍

讓學生開動腦筋，改變白蘿卜或胡蘿卜的根數使它們之間有整數倍的關系.同學們動手操作，發揮了創造力和想象力，在小組匯報時，同學們臺前邊擺邊說，A同學說：“我把白蘿卜加2根，現在胡蘿卜有3根，白蘿卜有4個3根，白蘿卜的根數是胡蘿卜的4倍.”B同學說：“我把白蘿卜減少1根，現在胡蘿卜有3根，白蘿卜有3個3根，白蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍.”同學們都送給熱烈的掌聲.C同學說：“我把胡蘿卜增加1根，白蘿卜減少2根，白蘿卜有2個4根，白蘿卜的根數是胡蘿卜的2倍，同學們我說得對嗎？”D同學質疑：“為什么不是1倍呢？”C同學說：“有2份，有2個4，就是2倍.”老師肯定學生的回答，引導學生看圖：白蘿卜的根數是胡蘿卜的2倍，我們也可以說白蘿卜的根數比胡蘿卜多1倍，有1倍是和胡蘿卜同樣多的.E同學匯報：“胡蘿卜有1根，白蘿卜有6個1，白蘿卜的根數是胡蘿卜的6倍.”F同學說：“我擺的胡蘿卜和白蘿卜都是3根，白蘿卜的根數是胡蘿卜的1倍，同學們我說得對嗎？”G同學說：“我認為是0倍.”師巧問：兩種數量相同，究竟是1倍關系還是0倍關系，引發同學思考，認為1倍關系的同學說：“因為有1個3，就是1倍.”0倍的同學認同1倍關系.老師小結：當標準量和比較量相同時，有兩種不同的說法，如果以胡蘿卜為標準，我們就說白蘿卜的根數是胡蘿卜的1倍，如果以白蘿卜為標準，我們就說胡蘿卜的根數是白蘿卜的1倍.老師提供一同學的擺法：上面擺胡蘿卜6根，下面擺白蘿卜1根，它們之間有什么倍數關系呢？改變排列的順序，避免學生的思維定式，最后引導學生梳理總結：兩個數進行比較，以小數為標準，用圈一圈的方法，看看大數里面包含幾個小數，大數就是小數的幾倍.最后老師再把直觀圖形抽象成線段圖，體現從直觀模型到抽象的過程，豐富學生對倍概念的圖形表征的同時，為后面畫線段圖來表示倍數關系做鋪墊.

本節課，借助直觀模型，在有趣的“變化中”，讓學生經歷不斷創造倍數關系的主動學習過程，從感性上升到理性來深化對倍的認識，取得較好的學習效果.