Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性

楊　海，裴元太，付瑞琴

( 1．西安工程大學理學院，陜西西安710048; 2．西安石油大學理學院，陜西西安710065)

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Diophantine方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性

楊海1*，裴元太1，付瑞琴2

( 1．西安工程大學理學院，陜西西安710048; 2．西安石油大學理學院，陜西西安710065)

摘要:設a是大于1的正整數，v2( a)表示2可以整除a的最高次冪．運用初等數論方法研究了方程( an－1) ( ( a+1)n－1) = x2的可解性．證明了當a滿足以下3個條件之一時該方程無解( x，n) : ( i) a是偶數，v2( a)是奇數; ( ii) a是偶數，v2( a) = 2; ( iii) a是奇數且a≡5或9( mod 16)．同時也證明了至少有5/6的正整數a可使該方程沒有適合n＞2的解( x，n)．

關鍵詞:指數Diophantine方程;可解性;密率

1引言及主要結論

令N是所有正整數的集合．設a是大于1的正整數，ν2( a)表示2可以整除a的最高次冪．2000年，Szalay［1］證明了當a=2時，方程

無解( x，n)．此后，人們對于方程( 1)及其推廣形式進行了很多研究［2－6］．最近，梁明［7］證明了當a≡2或3 ( mod 4)時，方程( 1)無解;并且提出猜想:對于任何大于1的正整數a，方程( 1)都無解．這是一個至今尚未解決的問題．由文獻［1］的結果可知至少有1/2的正整數a可使方程( 1)無解．

本文運用初等數論方法證明了以下結果:

定理1方程( 1)沒有可使n是偶數的解( x，n)．

推論1如果正整數a滿足下列條件之一，則方程( 1)無解:

( i) a是偶數，ν2( a)是奇數;

( ii) a是偶數，ν2( a) = 2;

( iii) a是奇數，a≡5或9( mod 16)．

推論2至少有5/6的正整數a，可使方程( 1)無解( x，n)．

顯然，上述推論包括了文獻［7］在a是偶數時的結果，并且改進了文獻［7］中a無解的密率．

2若干引理

引理1［8］對于任何非平方正整數d，方程

( u，v) = ( uk，vk) ( k=1，2，…)是方程( 2)的全部解．

引理2設( u，v) = ( ur，vr)和( us，vs)是方程( 2)的兩組解，其中r，s是不同的正整數．如果2| ur且2 us，那么必有2 r和2|s．

證明情形(Ⅰ) :當2|t時，由式( 3)可知

由式( 4)可知此時ut= 2u2

2r－1是奇數．由……