帶有分數積分的波動方程解的非存在性

許勇強

( 1．閩南師范大學數學與統計學院，福建漳州363000; 2．廈門大學物理與機電工程學院，福建廈門361005)

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帶有分數積分的波動方程解的非存在性

許勇強1，2

( 1．閩南師范大學數學與統計學院，福建漳州363000; 2．廈門大學物理與機電工程學院，福建廈門361005)

摘要:通過選擇恰當的檢驗函數與平移討論相結合，給出了一類非線性項具有非局部性質的波動方程局部解和全局解存在的必要條件．

關鍵詞:波動方程;非線性項;分數積分;全局非存在性;弱解

本文主要研究下面的波動方程

的弱解的非存在性問題．它滿足如下的初值條件:

由于下面的極限

在分布意義下存在，所以方程( 1)可以認為是經典的半線性波動方程

的逼近問題，這里Γ是歐拉γ函數．

顯然，方程( 1)中的非線性項包含自相似的記憶類型，且可以看作是Riemann－Liouville積分算子

對于該算子，最早于1832年，Liouville引進了α=－∞的特殊情形，然后于1876年，Riemann考慮了α= 0的形式［1］．因而，方程( 1)具有下面的形式:

其中Jα0|t表示Riemann－Liouville分數積分(見公式( 10) )．

我們來描述與方程( 1)相聯系的一些方程的存在意義．最近，Chen等［2］研究了下面的方程:

該方程用于描述聲音在黏性流體中的傳播，其中c0表示無黏性相速度，2α0則代表熱力黏性系數．因此，方程( 5)可以看作是早期Greenberg等［3］重要工作的推廣．該作者考慮了下面的方程:

其中ρ0，λ表示與介質有關的常數，而g( x，t)則表示外力的一個給定函數．

因為方程( 5)可以認為是非線性方程的逼近問題，所以方程( 3)包含了一個具有應用價值的非線性項．同時，Carvalho等［4］研究了方程( 3)．假……