初中數學函數教學中直觀想象能力的培養

江蘇省如皋市吳窯鎮吳窯初級中學 夏紅蘭

初中數學函數教學中直觀想象能力的培養

江蘇省如皋市吳窯鎮吳窯初級中學 夏紅蘭

函數是初中數學的難點，需要學生的直觀想象能力作為支撐。在教學中創設情境并借助于現代教學手段，最終從數形結合的角度，利用直觀的現象刺激學生的想象，可以有效培養學生的直觀想象能力。

初中數學；直觀想象；函數

函數知識是初中數學教學的重點，也是學生學習的難點。學生感覺難的主要原因，就是函數知識比較抽象，邏輯性強，初中學生的思維能力難以像其他簡單知識一樣起到支撐的作用。因此，解決問題的關鍵就是培養學生的抽象思維能力，但是又應當看到抽象思維能力的培養并非一朝一夕之事，需要逐步培養，而培養策略就直接影響著最終的結果。筆者通過實踐發現，在此過程中培養學生的直觀想象能力，可以起到牽一發而動全身的作用，可以讓學生在函數學習中更輕松地進行思考。本文嘗試就此展開討論。

一、創設情境引導學生積極類比，是直觀想象能力培養的前提

直觀想象能力的概念理解中有兩個關鍵詞：一是直觀；二是想象。在筆者看來，直觀是基礎，屬于學習心理中的信息輸入的基礎或者說前提；想象是過程亦是結果，是直觀思維下大腦信息加工的結果，是數學思維的過程性支撐。對于初中學生的函數學習而言，由于函數知識本身的抽象性，學生直觀想象肯定是有困難的，因此就需要教師通過教學設計的優化，讓學生迅速進入直觀想象的學習狀態?？紤]到初中函數學習中，二次函數是一個重點，筆者就以此為例進行闡述。

如果比較近年來的人教版數學教材，可以發現其在學習情境方面有很多的思考與設計，但在實際教學中由于教材陳述得相對簡單，有時候教師未必能夠有效地參透教材編寫者的意圖。以二次函數的引入為例，二次函數開始之時，借助于引言中的正方體表面積問題，構建出表面積y與邊長x的關系為y=6x2。通常情況下，由于這一素材的簡單，因此很少有教師在課堂上會將其認真設計成一個可供學生直觀想象的情境，因而也就錯失了一個直觀想象能力培養的機會。

筆者分析這一設計發現，教材上不僅有文字敘述，還有圖片說明。筆者就想：難道初中學生還想象不出正方體的表面積與邊長的關系嗎？這種顯而易見的事情，為什么教材要辟出篇幅給出一個正方體的斜視圖及展開圖呢？后來在一次教學之后與學生交流才發現，確實有相當一部分學生難以迅速地構建出表面積與邊長的關系。請注意，筆者這里說的是“難以迅速”而不是“難以”，學生會但就是不快。缺乏的是什么能力？正是直觀想象能力。因此教學中筆者在引入二次函數的時候分兩步來進行：第一步，給學生呈現一個正方體，然后問要將其用不同的顏色涂各個面，需要幾種顏色？不出意外，學生遲疑了數秒之后才做出判斷；然后一人發一個小木質正方體（由家具廠里獲得，很容易），并讓學生用自備的水彩筆涂色。學生感覺有趣，因為像小學課堂，但真正在選色涂面的時候，可以發現其實有三分之一以上的學生非常隨機，而只有三分之一不到的學生能夠先認真思考涂的順序，再去涂色。但是經過這一過程之后，學生對正方體六個面的認識是相當的深刻。這個時候給出邊長與表面積關系的問題，學生迅速回答出了y=6x2的結果。這說明什么？說明學生能夠在直觀想象的基礎上構建數學知識了，這就是情境的作用。

二、現代教學手段促進形象思維，是直觀想象能力培養的階梯

二次函數知識當中，二次函數解析式的一般形式的記憶是一個看不出的難點。當給出形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數叫二次函數這一定義的時候，需要注意這是一種純粹數學語言的描述，對于至少三分之一的學生來說，仍然是一種抽象理解。這個時候怎么辦？筆者在教學中并沒有做太多的工作，只是借助于多媒體，將此前在舉例子過程中得到的三個具體的解析式中的x前的數字轉換成了字母，結果短短一分鐘不到的時間內，學生就意識到了原來此前得到的就是二次函數的特例。不要小看這一過程，其對于直觀想象能力弱的學生來說，就是一種輔助數學思維構建的策略，本身也是直觀想象能力培養的過程，用有的學生的話來說，“看了這個動畫之后，我在自己的大腦里也能完成這樣的變化了。”這實際上就是學生思維對表象的加工，是典型的直觀想象過程。

二次函數的圖像是另一個難點，通常情況下，二次函數的圖像都是通過描點法得來的。這種常規做法看起來并沒有什么問題，那么大多的學生也就在此過程中學會了二次函數的作圖。但是，這可能只是表面現象，因為這極有可能是學生重復的結果。筆者曾經做過試驗，在進行了一次描點法作圖之后，讓學生去說出自己的認識，學生幾乎一無所知。如何讓學生走出簡單模仿的狀態呢？筆者以為現代教學手段仍然可以發揮重要作用。

首先，給出一個簡單的二次函數，如y=3x2+5x+2。先讓學生去確定幾個特殊點，并借助于excel輸入，結果在坐標上生成了一個圖像。這個時候給學生提出一個問題，大家觀察電腦生成的圖像有什么特點？學生會說不那么好看，“一折一折”的。而學生的這一認識，恰恰是可以將他們的思維通過直觀想象引入二次函數圖像構建的，因為筆者下面的問題是“怎樣才能出現更平滑的圖像呢”，學生自然就在大腦里主動構思：如果是自己畫的話，這個圖像可能是什么樣子？這個問題可以驅動學生在大腦中構思二次函數的圖像，而這就是基于已有直觀圖像進一步想象的過程。事實證明，學生普遍認識到應當基于相鄰兩點之間的“趨勢”去“畫”（在大腦中完成）圖，他們也會發現，如果取的點越多，那得到的圖像就越準確。在學生的這一認知基礎之上，再用excel取更多的點生成二次函數圖像，結果圖像果然平滑好看得多，更重要的是，這一圖像是符合學生的猜想的，因而實際上就驗證了學生直觀想象的結果，這樣的結果自然能夠深化學生對直觀想象的信心（盡管他們自己并不知道已經完成了一個直觀想象的過程）。

三、數與形相結合刺激數學思維，是直觀想象能力培養的目標

數學是研究數與形的學科，初中數學在數形方面有著豐富的素材，在實際教學中堅持數形結合的思想，往往也可以讓學生的直觀想象能力更為強大。當然，數形結合本身就是數學教學的目標，是知識目標，亦是能力目標。當學生認識到可以通過數形結合更好地學習數學時，其自然可以成為學生學習視野中的對象。

在二次函數的教學中，數與形的聯系，自然離不開二次函數的解析式與圖像，在上面已經闡述了通過現代教學手段構建圖像的思路。實際上在此基礎上還是要深化的，因為不同的系數對應著不同形狀的圖像，而在上述基礎上，讓學生進一步猜想不同系數的圖像，是可行的措施。比如說先只逐步遞增二次項前的系數，讓學生想象圖像會怎樣變化，再只遞增一次項的系數，讓學生猜想圖像的變化，當然常數項亦可。這樣的過程可先用多媒體呈現后由學生猜想，猜想是必需的步驟，是直觀想象能力培養的關鍵。學生構建出來的圖像正確與否，直接反映了直觀想象能力的高低，因而后面的教學就可以有的放矢。

[1]陳旭鋒.初中數學函數教學存在的困難及教學對策[J].中小學教學研究，2016（5）.