一類自參數動力吸振器減震系統的Hopf分岔分析

秦　爽, 張建剛, 俞建寧, 杜文舉

(1.蘭州交通大學數理學院, 甘肅　蘭州　730070; 2.蘭州交通大學交通運輸學院, 甘肅　蘭州　730070)

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一類自參數動力吸振器減震系統的Hopf分岔分析

秦爽1, 張建剛1, 俞建寧1, 杜文舉2

(1.蘭州交通大學數理學院, 甘肅蘭州730070; 2.蘭州交通大學交通運輸學院, 甘肅蘭州730070)

[摘要]通過系統運動的拉格朗日方程和牛頓第二定律,建立了振動系統的運動方程，并對一類帶有粘性阻尼擺的自參數動力吸振器減振系統的復雜動力學行為進行研究.通過非線性動力學理論,分析該系統平衡點的穩定性，選擇適當的分岔參數證明了Hopf分岔的存在.最后,通過數值仿真證明理論分析的正確性.

[關鍵詞]自參數吸振器系統;穩定性;Hopf分岔;Lyapunov系數;周期軌道

動力吸振通過動力吸振器吸收主系統振動的能量,達到使主系統振動降低的目的.目前,已有許多以擺或者類似于擺的作用為輔助系統的自參數振動系統的研究.Hatwal等對兩自由度自參數振動系統在受到諧波外激勵作用時產生的周期和混沌運動進行研究,輔助系統采用的是單擺上附加的扭轉彈簧[1-3].Cuvalci等分析研究了一個以單擺為輔助系統的懸臂梁自參數振動系統[4].Banerjee等采用高階平均法對兩自由度自參數弱非線性振動系統的分岔及其通往混沌的道路進行研究與探討[5].

Hopf分叉在實際問題中有著廣泛的應用，它是一類比較簡單但又必不可少的動態分叉問題.由于它密切聯系著自激振動產生的問題，所以在動態分叉研究和極限環研究中有著重要的理論價值和研究意義.目前學者們已經發表了很多有關分叉的文獻和專著[6-9].

JerzyWarminski等討論了一個附加阻尼擺的自參數吸振器系統的主參共振區的不穩定性[8].文獻[9]在此基礎上采用多尺度法討論了該系統的平衡解,并通過羅斯-霍爾維茲判據判斷其穩定性條件.但是,文獻[8,9]并沒有對系統的Hopf分岔行為進行研究.本文詳細研究該系統的Hopf分岔行為，通過對系統的第一Lyapunov系數的計算，分析了該系統的Hopf分岔的方向，最后為驗證理論推導的正確性，對該系統進行數值仿真.

1模型的建立

考慮一個帶有粘性阻尼擺的自參數動力吸振器減振系統的動力系統,其結構示意圖如圖1所示.該系統主要由質量為m1的物塊和非線性彈簧組成的非線性振子以及質量分別為mp、m2的桿和小球組成的單擺這兩個子系統構成,并且此單擺附著在質量為m1的物塊的一個支點處.記此處單擺的粘性阻尼系數為cφ.因為系統受到外激勵作用,我們將這個非線性振子受迫于一個線性的彈簧.

假定此系統的彈簧振子是非線性Duffing型振子,即有F=kx+k1x3.將自參數動力吸振器系統運動的廣義坐標定為垂直方向位移x和其上附著單擺的角度位移φ,運用拉格朗日方程和牛頓第二定律,可以得到此模型所對應的微分方程：

(1)

其中，單擺的長度記為l,單擺與質塊m1的粘性阻尼系數記為cφ，非線性振子中阻尼的阻尼系數記為c.

圖1　自參數動力吸振器系統力學模型

為了方便研究與分析,選取新的時間尺度和長度尺度,將自參數動力吸振器系統進行無量綱化,令

對方程(1)進行無量綱化：

(2)

其中對應的無量綱系數分別為：

這里,單擺角度位移φ的二階導數(擺動加速度)和φ的一階導數(擺動速度)的平方這兩個耦合項引起了方程(2)的自參數激勵.對無量綱化運動微分方程(2)進行轉化,轉化為一階微分方程組的形式,即

(3)

固定α1=0.26,α2=0.1,q=2.45,μ=17.228,λ=0.127,γ=0,θ=0.6時,系統(3)可以得到如圖2(a)~(d)所示的一個混沌吸引子.

把系統(3)化為五維的自治系統,采用Wolf算法,計算得到系統(3)的5個Lyapunov指數分別為:λ1=0.061 1,λ2=0,λ3=-0.102 9,λ4=-0.170 1,λ5=-0.211 1.利用Kaplan-Yorke猜想公式,求出Lyapunov維數DKY=2.593 78.圖3(a)~(d)為系統(3)的時間響應圖、龐加萊截面、Lyapunov指數譜圖及功率譜圖.

2平衡點穩定性分析

令x5=cosθτ,x6=-θsinθτ,將系統(3)化為六維自治系統

(4)

圖2　系統(1)在不同空間的吸引子

圖3　(a) 時間響應圖　(b) x1-x2平面的龐加萊截面　(c) Lyapunov指數譜圖　(d)功率譜圖

顯然,E0=(0,0,0,0,0,0)恒為系統(4)的平衡點.為了簡便,本文只討論平衡點E0處的穩定性以及Hopf分岔情況.

系統(4)在平衡點E0處的Jacobian矩陣為

(5)

求得系統(4)在平衡點E0處Jacobian矩陣的特征方程為

p(ξ)=k0ξ6+k1ξ5+k2ξ4+k3ξ3+k4ξ2+k5ξ+k6

(6)

其中，k0=1,k1=α1+α2,k2=θ2+α1α2+λ+1,k3=α1θ2+α2θ2+α2+λα1,k4=θ2+α1α2θ2+λθ2+λ,k5=α2θ2+α1λθ2,k6=λθ2.

根據Routh-Hurwitz判據,知方程(6)的所有特征值都具有負實部,當且僅當

k1>0,Δi>0(i=2,3,4,5),k6>0.

(7)

定理1選λ為分岔參數,λ=λ0使得

ki>0(i=0,1,…,6),Δi>0(i=1,2,3,4)

(8)

成立時,系統(4)發生Hopf分岔,其中λ0為Hopf分岔的臨界值.

3平衡點E0處的Hopf分岔分析

先回顧文獻[11]中介紹的對于四維系統Hopf分岔的第一Lyapunov系數的求法, 然后進行理論分析.考慮以下系統

x′=f(x,ζ)

(9)

其中x∈R6,ζ∈Rm分別是系統的狀態變量和控制參數.假設系統(9)有一個平衡點x=x0,ζ=ζ0,并且變量x-x0仍然記為x,則F(x)=f(x,ζ0)的泰勒展開式為

(10)

其中A=fx(0,ζ0),并且對i=1,…，6有

(11)

假設在平衡點(x0,ζ0)處系統(9)有一對純虛根λ1,2=±iω0,(ω0>0),而且系統其他特征值具有非零實部.

令p,q∈C6，滿足

Aq=iω0q,ATp=-iω0p,〈p,q〉=1

(12)

其中AT為A的轉置，則第一Lyapunov系數可以定義為

(13)

其中，

I6為6×6的單位矩陣.

取參數α1=0.26,α2=0.1,q=2.45,μ=17.228,γ=0,θ=0.6時可以求得Hopf分岔臨界值λ0=0.135 14,并且有

k0=1,k1=0.36,k2=1.521 1,k3=0.264 7,

k4=0.553 1,k5=0.048 6,k6=0.048 6,

Δ1=0.36,Δ2=0.282 9,Δ3=0.020 7,

顯然,定理1條件滿足.當參數λ變化經過λ0=0.135 14時,系統(4)在平衡點E0處發生Hopf分岔.

下面通過求解系統(4)的第一Lyapunov系數,判斷Hopf分岔的穩定性.在給定的參數下,系統(4)在平衡點E0處Jacobian矩陣的特征方程為

p(ξ)=ξ6+0.36ξ5+1.5211ξ4+0.2647ξ3+

0.5531ξ2+0.0486ξ+0.0486

(14)

方程(14)的6個特征值分別為

λ1,2=±0.6002i,λ3,4=-0.13±0.9915i,

λ5,6=-0.0499±0.639i.

根據(11)式,可以得到對應于f的線性函數

B(x,y)=(0,0.6293(x3y3-x4y4)+

0.2328(x3y4+x4y3),0,0.1352(x1y3+x3y1)+

0.0351(x2y3+x3y2)-0.3311(x3y5+x5y3),0,0)T,

C(x,y,z)=(0,1.5418(x5y3z3+x3y5z3+x3y3z5)-0.1636x3y2z3-0.6293x3y1z3,0,0.6293×

(x3y4z4+x4y4z3+x4y3z4)-0.0629(x4y3z3+x3y4z3+x3y3z4)-0.4139x3y3z3,0,0)T

(15)

通過直接計算可以求得滿足(12)式的特征向量

q=(-1.004-3.2201i,-0.6026-1.9329i,

-0.3992-0.6889i,-0.2396-0.4135i,

-1.6673i,1)T,

p=(0.6767+1.06i,1.4788-1.4677i,

-5.3643-6.1859i,-11.4875+7.0152i,

-0.7633+0.6083i,-1.0139-1.2722i)T.

并且有

B(q,q)=(0,-47.887+104.15i,0,-1.0471+

0.4303i,0,0)T,

h20=(-39.27+208.86i,-250.63-47.12i,

13.35-18.8i,22.57+16.02i,0,0)T,

B(q,h11)=(0,313.36-128.5i,0,-4.1365+

86.0414i,0,0)T,

12.7225i,0,0)T,

-41.3933-80.845i,0,0)T,

H21=(0,625.7397+1.8826i,0,-47.8663+

78.5153i,0,0)T,

G21=956.36-2199.5i.

定理2系統(4)在平衡點E0處的第一Lyapunov系數為

(16)

因此,系統(4)在平衡點E0處發生亞臨界的Hopf分岔,并且產生一個不穩定的極限環.

4數值仿真

為驗證理論分析的正確性,本文選取λ=0.14>λ0,λ=λ0=0.135 14,λ=0.12<λ0,分別得到系統(4)的3組時間響應圖和相圖,如圖4~圖6所示.當λ=0.12<λ0時,平衡點是穩定的;當λ=0.14>λ0時,平衡點是不穩定的.數值模擬與前一節的理論相符,系統(4)在平衡點E0處發生的Hopf分岔是亞臨界的Hopf分岔,并且產生一個不穩定的極限環.

圖4　當λ=0.12時系統(4)的時間響應圖和相圖

圖5　當λ=λ0=0.135 14時系統(4)的時間響應圖和相圖

圖6　當λ=0.14時系統(4)的時間響應圖和相圖

5結論

本文通過嚴格的數學推導及數值仿真研究了一類帶有粘性阻尼擺的自參數動力吸振器減振系統,對該系統平衡點的穩定性理論進行分析,并且通過選取適當的分岔參數,證明了系統在分岔參數穿過臨界值時發生Hopf分岔，并計算得到系統的第一Lyapunov系數，進而判定系統分岔的方向和穩定性；最后通過數值模擬驗證了理論推導的正確性.

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[10]KUZNETSOVYA.Elementsofappliedbifurcationtheory[M].NewYork：AppliedMathematicalSciences, 2004.

(責任編輯吳強)

Hopf bifurcation analysis in an autoparametric dynamic vibration absorber

QIN Shuang1, ZHANG Jiangang1, YU Jianning1, DU Wenju2

(1. School of Mathematics and Physics, Lanzhou Gansu 730070, China;2. School of Traffic and Transportation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China)

Abstract：The complex dynamic behavior of the autoparametric vibration absorbing system is studied. The dynamical equation of the system is established using Lagrangian and Newton’s second law. More precisely, the stability of the equilibrium points were studied by means of nonlinear dynamics theory. The existence of Hopf bifurcation is investigated by choosing the appropriate bifurcation parameter. Besides, numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

Key words：autoparametric vibration absorbing system; stability; Hopf bifurcation; Lyapunov coefficients; periodic orbits

[中圖分類號]O322

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-8004(2016)02-0027-06

[作者簡介]秦爽(1992—) ,女, 黑龍江大慶人, 碩士, 主要從事非線性系統動力學及其控制方面的研究.

[基金項目]國家自然科學基金項目(61364001).

[收稿日期]2015-11-25