由分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程傳輸不等式

徐麗平，李治　(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

?

由分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程傳輸不等式

徐麗平，李治(長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

[摘要]通過分形分析方法，在Riemann-Stieltje積分意義下，對關于分數布朗運動的積分建立一些合理的估計，利用所建立的估計在賦予一致度量的連續函數空間上，對一類參數的分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程解的概率分布建立Talagrand-類型T1傳輸不等式。

[關鍵詞]傳輸不等式；Girsanov定理；分數布朗運動

假設(E,d)是賦予σ-域β的度量空間，且d是β?β-可測的。給定常數p≥1和E上的概率測度μ,ν，Wasserstein距離定義為：

這里，φ(μ,ν)表示所有E×E上邊緣分布為μ和ν的乘積概率測度。Talagrand[1]對Rn上的標準的Gaussian測度μ建立了傳輸不等式：

f>0μ(f)=0

其中，d(x,y)=|x-y|。

一般地，如果存在常數C≥0使得對任意的概率測度ν滿足：

(1)

(2)

其中，Cτ=C([-τ,0];R)是[-τ,0]→R賦予一致范數‖·‖∞的連續函數空間；對?u∈[-τ,0]，Xt∈Cτ表示函數Xt(u)=X(t+u)；b,σ:Ω×[0,T]×Cτ→R。

方程(2)中的隨機積分是樣本軌道意義下的Riemann-Stieltje積分。下面，筆者將應用一些最新的分數微分方程的結論和Girsanov變換方法，對方程(2)解的概率分布建立傳輸不等式。

1預備知識

對任意給定的T，考慮區間[0,T]，設(Wt)t∈[0,T]是定義在概率空間(Ω,F,P)上的布朗運動，記Ft=σ(Ws,s≤t)表示W生產的σ-代數。設BH=(BH(t))t∈[0,T]是定義在(Ω,F,P)由W變換得到的分數布朗運動，也就是說BH能表示為：

(3)

式中，核函數KH被定義為：

(4)

如果s≥t，則KH(t,s)=0。

對給定的實數0≤λ≤1及0≤s

‖f‖λ=‖f‖s,t,∞+‖f‖s,t,λ

其中：

考慮下面的假設條件：

(H1)函數b(t,ξ)是連續的，進一步，b(t,ξ)對t關于ξ是Lipschitz連續和線性增長的，即存在常數L1,L2使得對所有的ξη∈Cτ及t∈[0,T]滿足：

|b(t,ξ)-b(t,η)|≤L1‖ξ-μ‖

|b(t,ξ)|≤L2(1+‖ξ‖)

(H2)函數σ(t,ξ)連續且對ξFrechet可微，進一步，存在常數L3,L4,L5使得對所有的ξ,η∈Cτ及t∈[0,T]滿足：

|Dξσ(t,ξ)|≤L3

|Dξσ(t,ξ)-Dξσ(t,η)|≤L4‖ξ-η‖

|σ(t,ξ)-σ(s,ξ)|+|Dξσ(t,ξ)-Dξσ(s,ξ)|≤L5|t-s|

在假設條件(H1)、(H2)下，文獻[9]證明了如果1-H<α

2由粗糙函數驅動的確定性微分方程

這里處理由Holder連續函數驅動的確定性微分方程，主要目的是證明由2個不同的Holder連續函數驅動的確定性微分方程的解關于一致度量d∞的估計。

(5)

的可測函數f:[0,T]→R和g:[0,T] →R，其中：

C1-α+ε([0,T];R)?W1-α+∞([0,T];R)?C1-α([0,T];R)?ε>0

給定函數f∈Wα,1([0,T];R)及g∈W1-α,∞([0,T];R)，由分數階導數算子[11]定義的一般化Stieltjes積分為：

定義：

進一步，有：

(6)

對任意的λ≥0，在空間C1-α([a,b];R)中引入下面的等價范數：

(7)

(8)

這里x0=φ∈Cτ。

‖x‖t-α,λ0≤M0

其中，λ0是依賴于T,α,Li的常數；M0是依賴于T,α,φ,Li的常數；i=1,…,5。

(9)

(10)

證明由式(6)，σ的有界性及假設條件(H2)知：

|Jσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(xt)‖α,1

引理1得證。

進一步，如果令Δ=(2L1)-1∧1，則對所有的T≤Δ，存在常數K使得：

(11)

證明由方程(7)和(8)知：

利用式(6)及引理1有：

因此：

(12)

在式(12)中，令t=T并注意到對T≤1,有T1-α≥T2-2α≥T2-α，于是得到式(11)。

3主要結果

引理2[2]設μ是度量空間(E,d)上的概率測度，ξ,ξ′是概率分布為μ取值與E的2個獨立的隨機變量，如果：

有限，則μ在(E,d)上滿足傳輸不等式T1(C)。

(13)

下面估計∧α(BH)。根據∧α的定義知：

因此：

另一方面，利用文獻[7]中引理8知：

在式(13)兩邊取期望得：

因此，定理1得證。

注1在方程(2)中，如果τ=0，b,σ是時齊的，定理1弱化為文獻[8]中的定理2，而文獻[8]定理2的T1(C)性質中的常數C獨立于初始值。但是對于泛函情況，在定理1中的C依賴于初值。盡管如此，對于僅僅漂移項含有時間延遲的情況下方程(2)的T1(C)性質中的常數C也獨立于初始值φ。

(14)

可以得到定理2。

證明從定理1 的證明可知，如果命題1中的K獨立于初始值函數φ，則定理2立即成立。為此，定義：

接下來估計Gσ(x)(t)。由式(6)，σ的有界性及假設條件(H2)知：

|Gσ(x)(t)|≤∧α(g)‖σ(t,x(t))‖α,1

考慮下面2個確定性微分方程：

(15)

(16)

這里x(0)=φ(0)。

類似于命題1的證明，定義Δ=(2L1)-1∧1，則對所有的T≤Δ，存在獨立于初始函數φ的常數K使得：

證畢。

4結語

利用分形分析的方法，在R上對一類分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程在一致度量空間上建立了T1傳輸不等式。進一步，將在無窮維空間中，利用Girsanov變化方法對分數布朗運動驅動的隨機時滯偏微分方程和中立型方程建立T1和T2傳輸不等式。

[參考文獻]

[1]Talagrand M.Transportation cost for Gaussian and other product measures[J].Geom Funct Anal, 1996,6:587～600.

[2] Djellout H, Guilin A, Wu L.Transportation cost-information inequalities for random dynamical systems and diffsions[J].Ann Probab, 2004,32: 2702～2732.

[3] Wu L, Zhang Z.Talagrand’sT2-transportation inequality w.r.t.a uniform metric for diffusions[J].Acta Math Appl Sin Engl Ser, 2004,20: 357～364.

[4] Wang F Y.Transportation cost inequalities on path spaces over Riemannian manifolds [J]. Illinois J Math, 2002,46: 1197～1206.

[5] Wang F Y.Probability distance inequalities on Riemannian manifolds and path spaces[J]. J Funct Anal, 2004,206: 167～190.

[6] Wu L.Transportation inequalities for stochastic differential equations of pure jumps[J]. Ann Inst Henri Poincare Probab Stat, 2010,46: 465～479.

[7] Ma Y.Transportation inequalities for stochastic differential equations with jumps[J]. Stochastic Process Appl, 2010,120: 2～21.

[8] Saussereau B.Transportation inequalities for stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion[J].Bernoulli, 2012,18(1) :1～23.

[9] Boufoussi B, Hajji S.Functional differential equations driven by fractional Brownian motion[J].Compt Math Appl, 2011,62:746～754.

[10] Samko S G, Kilbas A A, Marichev O I.Fractional Integrals and Derivatives[M]. Yvendon:Gordonand Breach Science Publishers,1993.

[11] Zahle M.Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus[J].Probab Theory Related Fields, 1998,111: 333~374.

[12] Nualart D, Rascanu A.Differential equations driven by fractional Brownian motion[J]. Collect Math, 2002,53: 55~81.

[編輯]洪云飛

[文獻標志碼]A

[文章編號]1673-1409(2016)01-0070-07

[中圖分類號]O211.63

[作者簡介]徐麗平 (1980-)，女， 碩士， 講師，現主要從事隨機微分方程方面的教學與研究工作； E-mail: xlp211@126.com。

[基金項目]國家自然科學基金項目(11271093)； 湖北省教育廳青年人才項目(Q20141306)。

[收稿日期]2015-10-28

[引著格式]徐麗平，李治.由分數布朗運動驅動的隨機泛函微分方程傳輸不等式[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(1)：70～76.