在學習相似三角形時要重視對應關系

金銀千

（江蘇省鹽城市尚莊初級中學）

在學習相似三角形時要重視對應關系

金銀千

（江蘇省鹽城市尚莊初級中學）

在學習相似三角形時，課本特別強調：“表示兩個三角形相似時要把對應頂點寫在的對應位置上.”也就是說，教師要重視相似三角形中的對應關系.但是，在解決三角形相似的一些實際問題時，有不少同學往往會忽略這一點.

相信；重視；對應關系

例1.S老師提出這樣一道思考題：如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O，試問△AOB與△DOC是否相似？

Z同學對此作了如下解答：

答：△AOB∽△DOC理由：因為AD∥BC，所以△AOD∽△BOC，所以，所以，又因為∠AOB=∠DOC，所以△AOB∽△DOC.

你認為該同學的解答是否正確？并說明理由.

分析：表面看來，這個同學的解答好像是沒有問題的，但事實上△AOB與△DOC不一定相似，問題出在哪里呢？仔細推敲他的解答過程，由AD∥BC，可知∠DAO=∠BCO，∠ADO=∠CBO，那么這兩個相似三角形的三組對應頂點分別為A與C，D與B，O與O，則Z同學的解答中“△AOD∽△BOC”的正確寫法為：△AOD∽△COB.從而此相似三角形的對應邊成比例的比例式應為，觀察此比例式可知，成比例的四條線段不能構成△AOB與△DOC的對應邊，因此，不能判定△AOB與△DOC相似.由此可知，該同學的解答不正確.

例2.一個鋼筋三腳架三邊長分別是20cm、50cm、60cm，現要再做一個與其相似的鋼筋三腳架，而只有長30cm和50cm的兩根鋼筋，要求以其中的一根為一邊，從另一根上截下兩段（允許有余料）作為另兩邊，則此鋼筋三腳架三邊所有可能的長度為____.

錯解：將50cm的鋼筋截成兩段，并設截成的兩段的長分別為xcm和ycm.

因為要做的一個鋼筋三腳架與原鋼筋三腳架相似，則根據相似三角形的對應邊成比例，可得，解之得x=10，y= 25.所以此鋼筋三腳架的三邊長分別為10cm、25cm、30cm.

分析：解決此題的關鍵是運用相似三角形的對應邊成比例，求截得兩邊的長.而此題中的邊的對應關系顯然具有不確定性，因此，確定邊的對應關系又是解決這個問題的前提條件和關鍵，錯解就是忽略了這一點.

正解：以30cm的鋼筋為一邊時，設另兩邊的長分別為xcm和ycm.因要做的一個鋼筋三腳架和原鋼筋三腳架相似，則根據邊的對應關系，可得比例式或或，解之得x=75，y=90（不滿足x+y≤50，舍去）或x=12，y= 36或x=10，y=25.

以50cm的鋼筋為一邊時，設另兩邊的長分別為xcm、ycm則x+y≤30＜50，兩邊之和小于第三邊，不能構成三角形.

因此，此鋼筋三腳架三邊的長分別為12cm、30cm、36cm或10cm、25cm、30cm.

例3.如圖2所示，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），試問：t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？錯解：當△QAP與△ABC相似時，有，即，解之，得t=1.2

圖2

答：t為1.2秒時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似.

分析：由題意，知∠QAP=∠B=90°，要求以QAP為頂點的三角形與△ABC相似，另一組對應角尚不明確，故需要分類討論.

因為∠QAP=∠B=90°，故

（1）當∠AQP=∠BAC時，有Rt△AQP∽Rt△BAC，得即，解之得t=1.2（2）當∠AQP=∠BCA時，有Rt△AQP∽Rt△BCA，可得，即，解之得t=3

答：t為1.2秒或3秒時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似.

重視相似三角形中的對應關系，注意對“對應”的理解，一方面能使我們易于分清相似三角形中對應的邊和角，另一方面還能使我們進一步理清實際問題中的各種可能。

［1］劉學俊.“用相似三角形解決問題2”教學設計［J］.數學學習與研究，2016（15）.

［2］張翔.例說相似三角形的綜合運用［J］.中學生數學，2016（18）.

·編輯 謝尾合