N-S方程強黏性接觸間斷波的漸近穩定性

鄭婷婷

(福建農林大學計算機與信息學院,福建福州350002)

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N-S方程強黏性接觸間斷波的漸近穩定性

鄭婷婷

(福建農林大學計算機與信息學院,福建福州350002)

摘要:構造了一類具有一般性質的強黏性接觸間斷波,它的初始一階導數的L2模以及溫度振幅|θ+-θ-|為一般常數.并且該黏性接觸間斷波就是N-S方程自由邊界問題漸近穩定極限,這種強黏性接觸間斷波比以往的黏性接觸間斷波更具有一般性意義.本文的證明方法是利用拋物方程的時間空間衰減估計進行N-S方程的常規能量估計.

關鍵詞:自由邊界;強黏性接觸間斷;漸近穩定

本文考慮的是一維N-S方程流體力學模型

此處v+與θ±(θ+>θ-)為正常數,而v0,θ0>0.并且v=v(x,t),u=u(x,t),θ=θ(x,t)與Rθ/v= p(v,θ)為對應的體積、速度、溫度和壓力.

這個問題被稱為自由邊界問題[1].該問題漸近穩定性的研究較多,尤其是各種弱波(即|θ--θ+|充分小)的小擾動問題,對N-S方程自由邊界問題、Cauchy問題以及流入問題都作了深入討論[2-9].然而,對于各種強波(即|θ--θ+|非充分小)的穩定性討論卻進展艱難,主要原因是|θ--θ+|的充分小條件在以往的參考文獻證明中都是必不可少的重要條件.文獻[10]將初值限制改為‖θ0-θ+‖L1?1.

本文去掉了文獻[10]中溫度初值的限制條件‖θ0-θ+‖L1(R+)?1,證明了|θ+-θ-|為任何常數,而溫度初值滿足‖θ0-θ+‖L1(R+)

設Hl(R+)表示第l階Sobolev空間,并且

C或Ci(i=1,2,3…)表示一般正常數,C(z)表示關于z的常數且limz→0C(z)=0.ε與εi(i=1,2, 3,…)為滿足Cauchy-Schwarz不等式的常數.

1 黏性接觸間斷波的構造

借用文獻[2,5,10]構造的想法,考慮方程組

其中:

且常數α=κ-1/2(見引理1),常數δ0>0充分小.則存在與α,δ0無關的常數M0,使得Θ0滿足如下關系:……