層狀介質(zhì)中瑞利波頻散方程的解法綜述

呂政權(quán)

（鄭州新鄭綜合保稅區(qū)（鄭州航空港區(qū)）興港投資發(fā)展有限公司 鄭州 450019）

層狀介質(zhì)中瑞利波頻散方程的解法綜述

呂政權(quán)

（鄭州新鄭綜合保稅區(qū)（鄭州航空港區(qū)）興港投資發(fā)展有限公司 鄭州 450019）

近來(lái)，求解層狀介質(zhì)中瑞利波的頻散方程得到了一定的進(jìn)展。據(jù)此，簡(jiǎn)要地總結(jié)了求解瑞利波頻散方程的發(fā)展及其存在的問(wèn)題，并對(duì)各算法進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

0 引言

瑞利波法是一種新興的地球物理勘探方法，其涉及的問(wèn)題大致歸結(jié)為三個(gè)方面：數(shù)據(jù)的采集和處理、正演理論、數(shù)據(jù)的解釋及反演。對(duì)于層狀介質(zhì)，其相應(yīng)的問(wèn)題是：頻散曲線的提取、頻散曲線的正演理論和頻散曲線的解釋及反演。其中，頻散曲線的正演理論的關(guān)鍵在于求解層狀介質(zhì)中瑞利波的頻散方程。所謂頻散，是指在均質(zhì)、各向同性彈性定半空間中，瑞利波波速和頻率無(wú)關(guān)，而在層狀介質(zhì)中，瑞利波波速將隨頻率的不同而產(chǎn)生多個(gè)不同的波速。求解頻散方程，將涉及到數(shù)值穩(wěn)定和計(jì)算速度問(wèn)題。近幾十年來(lái)，數(shù)值計(jì)算方法得到了極大的發(fā)展，并在各個(gè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。面對(duì)經(jīng)典的頻散方程的解法中存在的高頻數(shù)值溢出和精度損失問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做出了卓有成效的研究。

目前，求解瑞利波頻散方程的解法主要有：(1) 傳遞矩陣法及其改進(jìn)的解析法；(2) 有限元法。

1 傳遞矩陣法及其改進(jìn)的解析法

瑞利波頻散方程的經(jīng)典解法是Thomson-Haskell傳遞矩陣法。Thomson (1950)[1]首次利用傳遞矩陣法建立了瑞利波的頻散方程，由于在推導(dǎo)過(guò)程中引入了介質(zhì)層之間位移不連續(xù)的假設(shè)，他得到結(jié)果是不正確的。Haskell(1953) [2]修正了Thomson的結(jié)果，得到了正確的瑞利波頻散方程。由于在直接求解Thomson Haskell頻散方程時(shí)，存在嚴(yán)重的高頻有效數(shù)字損失，得到的結(jié)果將嚴(yán)重失真。為了解決這個(gè)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者運(yùn)用數(shù)值計(jì)算方法，提出了相應(yīng)的改進(jìn)算法。

Knopoff(1964)[3]的方法屬一種類型。Knopoff不從Thomson Haskell的方程出發(fā)，而直接用行列式構(gòu)造頻散方程，然后將這些行列式分解為子行列式的乘積，從而達(dá)到了避免高頻有效數(shù)字損失的目的。此后，Schwab & Knopoff (1970)[4]建立了完整的求解算法，稱為Schwab-Knopoff法，但此方法過(guò)于復(fù)雜，不利于廣泛應(yīng)用。

Dunkin(1965)[5]和Watson(1970)[6]的方法屬δ矩陣法。Dunkin(1965)首次用δ矩陣代替Thomson-Haskell傳遞矩陣的算法，從而消除了方程中的指數(shù)函數(shù)平方項(xiàng)，克服了高頻有效數(shù)字損失。Watson(1970)在求解頻散方程時(shí)，將δ矩陣進(jìn)行了簡(jiǎn)化，減少了一定的計(jì)算量。凡友華(2001)[7]提出了無(wú)量綱實(shí)數(shù)傳遞矩陣算法，解決了高頻數(shù)值溢出及精度損失問(wèn)題。

Abo-Zena(1979)[8]通過(guò)一系列4階反對(duì)稱矩陣的循環(huán)計(jì)算得到了頻散方程，該法除避免了高頻有效數(shù)字損失外，還比以前的算法計(jì)算效率高。陳云敏(1989)[9]重新組織了Abo-Zena算法，將該法和δ矩陣法結(jié)合起來(lái)，提出了一種既能克服高頻有效數(shù)字損失，又具有快速運(yùn)算功能的改進(jìn)的解析法。但陳云敏(1992)[10]指出：對(duì)于軟夾層和硬夾層等特殊土層，改進(jìn)的解析法依然效果不好。呂政權(quán)(2013)[11]運(yùn)用陳云敏(1989)的算法，在頻率-波數(shù)域(f-k域)內(nèi)應(yīng)用Bisection算法搜索頻散方程的根，修正了改進(jìn)的解析法不能有效計(jì)算軟夾層或硬夾層介質(zhì)的說(shuō)法。

2 有限元法

Kausel & Roesset(1981)[12]提出的動(dòng)力剛度矩陣法屬有限元法。夏唐代(1992)[13]在研究了解析法和有限元法的基礎(chǔ)上，將半無(wú)限層采用解析法，成層介質(zhì)采用有限元法，兩者結(jié)合推導(dǎo)了有限元-解析法，但存在效率的問(wèn)題，且只能得到有限階模態(tài)的頻散曲線。呂政權(quán)(2014)[14]運(yùn)用夏唐代(1992)的算法，在頻率-波數(shù)域(f-k域)內(nèi)運(yùn)用Bisection算法搜索瑞利波頻散方程的根，該方法能快速、有效地求解層狀介質(zhì)中的瑞利波頻散方程。

3 結(jié)語(yǔ)

為了驗(yàn)證上述解法的準(zhǔn)確性、正確性和穩(wěn)定性，我們分別編制了三類算法的計(jì)算機(jī)程序：凡友華(2001)的快速矢量算法、呂政權(quán)(2013)的改進(jìn)的解析法、呂政權(quán)(2014)的有限元-解析法，并分別作了考題計(jì)算。結(jié)果表明：以上三種算法均能有效求解層狀介質(zhì)中瑞利波的頻散方程?？焖偈噶克惴ê透倪M(jìn)的解析法在計(jì)算速度上明顯優(yōu)于有限元-解析法，是目前較為快速的算法。但有限元-解析法能夠解決更為復(fù)雜的層狀介質(zhì)中的瑞利波頻散特性。

[1] Thomson W T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium[J]. Journal of Applied Physics, 1950, 21(2): 89-93.

[2] Haskell N A. The dispersion of surface wave on multilayered media[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1953, 43(1): 17-34.

[3] Knopoff L. A matrix method for elastic wave problems[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1964, 54(1): 431-438.

[4] Schwab F, Knopoff L. Surface-wave dispersion computations[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(2): 321-344.

[5] Dunkin J W. Computation of modal solution in layered elastic media at high frequencies[J]. Bulletin of the Seismological society of America, 1965, 55(2): 335-358.

[6] Waston H T. A note on fast computation of Rayleigh wave dispersion in the multilayered elastic half-space[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1970, 60(1): 161-166.

[7] 凡友華. 層狀介質(zhì)中瑞利面波頻散曲線的正反演研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2001.

[8] Abo-Zena. Dispersion function computations for unlimited of frequency values[J]. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 1979, 58(1): 91-105.

[9] 陳云敏. 成層土中的瑞利波及其譜分析測(cè)試技術(shù)[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 1989.

[10] 陳云敏, 吳世明. 成層地基的Rayleigh波特征方程的解法[J]. 浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1991, 25(1): 40-52.

[11] 呂政權(quán), 任青, 鄒宇等. 層狀地基中Rayleigh波頻散方程的改進(jìn)的解析法[J]. 水資源與水工程學(xué)報(bào), 2013, 25(6): 47-50.

[12] Kausel E, Roesset J M. Stiffness matrices for Layered Soils[J]. Bulletin of the Seismological Society of America, 1981, 71(6): 1743-1761.

[13] 夏唐代. 地基中表面波特性及其應(yīng)用[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 1992.

[14] 呂政權(quán), 任青, 鄒宇等. 層狀地基中Rayleigh波頻散方程的改進(jìn)的解析法[J]. 水資源與水工程學(xué)報(bào), 2013, 25(6): 47-50.

呂政權(quán)(1983-)，男，河南南陽(yáng)人，工學(xué)碩士，主要從事土-結(jié)構(gòu)共同作用、建設(shè)項(xiàng)目管理研究。

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1007-6344（2016）03-0264-01

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